Euklidisk vektor

Den här artikeln handlar om de vektorer som huvudsakligen används inom fysik och teknik för att representera riktade storheter. För matematiska vektorer i allmänhet, se Vektor (matematik och fysik) . För annan användning, se Vector (disambiguation) .

En vektor som pekar från A till B

Inom matematik , fysik och ingenjörskonst är en euklidisk vektor eller helt enkelt en vektor (kallas ibland en geometrisk vektor eller rumslig vektor ) ett geometriskt föremål som har storlek (eller längd ) och riktning . Vektorer kan läggas till andra vektorer enligt vektoralgebra . En euklidisk vektor representeras ofta av ett riktat linjesegment , eller grafiskt som en pil som förbinder en initial punkt A med en slutpunkt B , och betecknas med ${\overrightarrow {AB}}$ .

En vektor är vad som behövs för att "bära" punkten A till punkten B ; det latinska ordet vektor betyder "bärare". Det användes först av astronomer från 1700-talet som undersökte planetarisk revolution runt solen. Vektorns storlek är avståndet mellan de två punkterna, och riktningen avser förskjutningsriktningen från A till B . Många algebraiska operationer på reella tal som addition , subtraktion , multiplikation och negation har nära analoger för vektorer, operationer som lyder de välbekanta algebraiska lagarna för kommutativitet , associativitet och distributivitet . Dessa operationer och associerade lagar kvalificerar euklidiska vektorer som ett exempel på det mer generaliserade konceptet med vektorer som helt enkelt definieras som element i ett vektorrum .

Vektorer spelar en viktig roll i fysiken : hastigheten och accelerationen hos ett rörligt föremål och krafterna som verkar på det kan alla beskrivas med vektorer. Många andra fysiska storheter kan med fördel betraktas som vektorer. Även om de flesta av dem inte representerar avstånd (förutom till exempel position eller förskjutning ), kan deras storlek och riktning fortfarande representeras av längden och riktningen på en pil. Den matematiska representationen av en fysisk vektor beror på det koordinatsystem som används för att beskriva den. Andra vektorliknande objekt som beskriver fysiska kvantiteter och transformerar på liknande sätt under förändringar av koordinatsystemet inkluderar pseudovektorer och tensorer .

Historia

Vektorbegreppet, som vi känner det idag, är resultatet av en gradvis utveckling under en period på mer än 200 år. Ett dussintal personer bidrog avsevärt till dess utveckling. År 1835 Giusto Bellavitis grundidén när han etablerade begreppet equipollens . Arbetande i ett euklidiskt plan, gjorde han equipollent alla par parallella linjesegment av samma längd och orientering. I huvudsak insåg han en ekvivalensrelation på paren av punkter (bipoints) i planet, och byggde därmed upp det första utrymmet av vektorer i planet. Termen vektor introducerades av William Rowan Hamilton som en del av en quaternion , som är en summa q = s + v av ett reellt tal s (även kallat skalär ) och en 3-dimensionell vektor . Liksom Bellavit, såg Hamilton vektorer som representativa för klasser av ekipolerande riktade segment. Eftersom komplexa tal använder en imaginär enhet för att komplettera den reella linjen , ansåg Hamilton att vektorn v var den imaginära delen av en kvaternion:

Den algebraiskt imaginära delen, som är geometriskt konstruerad av en rät linje eller radievektor, som i allmänhet har för varje bestämd kvarternion, en bestämd längd och bestämd riktning i rymden, kan kallas vektordelen, eller helt enkelt vektorn för quaternion.

Flera andra matematiker utvecklade vektorliknande system i mitten av artonhundratalet, inklusive Augustin Cauchy , Hermann Grassmann , August Möbius , Comte de Saint-Venant och Matthew O'Brien . Grassmanns verk från 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Theory of the Ebb and Flow) var det första systemet för rumslig analys som liknar dagens system, och hade idéer som motsvarade korsprodukten, skalärprodukten och vektordifferentieringen. Grassmanns verk försummades till stor del fram till 1870-talet. Peter Guthrie Tait bar quaternion-standarden efter Hamilton. Hans 1867 Elementary Treatise of Quaternions inkluderade omfattande behandling av nabla- eller deloperatorn ∇. År 1878 publicerades Elements of Dynamic av William Kingdon Clifford . Clifford förenklade kvaternionstudien genom att isolera punktprodukten och korsprodukten av två vektorer från den kompletta kvaternionprodukten. Detta tillvägagångssätt gjorde vektorberäkningar tillgängliga för ingenjörer – och andra som arbetar i tre dimensioner och skeptiska till den fjärde.

Josiah Willard Gibbs , som exponerades för quaternions genom James Clerk Maxwells Treatise on Electricity and Magnetism , separerade deras vektordel för oberoende behandling. Den första halvan av Gibbs Elements of Vector Analysis, publicerad 1881, presenterar vad som i huvudsak är det moderna systemet för vektoranalys. År 1901 publicerade Edwin Bidwell Wilson Vector Analysis , anpassad från Gibbs föreläsningar, som förvisade allt omnämnande av quaternioner i utvecklingen av vektorkalkyl.

Översikt

Inom fysik och teknik betraktas en vektor vanligtvis som en geometrisk enhet som kännetecknas av en storlek och en riktning. Det definieras formellt som ett riktat linjesegment , eller pil, i ett euklidiskt utrymme . I ren matematik definieras en vektor mer generellt som vilket element som helst i ett vektorrum . I detta sammanhang är vektorer abstrakta enheter som kan eller inte kan karakteriseras av en storlek och en riktning. Denna generaliserade definition innebär att de ovan nämnda geometriska enheterna är en speciell sorts vektorer, eftersom de är element i en speciell sorts vektorrymd som kallas euklidiskt utrymme . Denna speciella artikel handlar om vektorer strikt definierade som pilar i det euklidiska rymden. När det blir nödvändigt att skilja dessa speciella vektorer från vektorer som definieras i ren matematik, kallas de ibland för geometriska , rumsliga eller euklidiska vektorer.

Eftersom den är en pil har en euklidisk vektor en bestämd initialpunkt och slutpunkt . En vektor med fast initial och slutpunkt kallas en bunden vektor . När endast storleken och riktningen av vektorn spelar roll, är den speciella initiala punkten utan betydelse, och vektorn kallas en fri vektor . Således två pilar ${\stackrel {\,\longrightarrow }{AB}}$ och ${\stackrel {\,\longrightarrow }{A'B'}}$ i rymden representerar samma fria vektor om de har samma storlek och riktning: det vill säga de är ekvivalenta om fyrhörningen ABB′A′ är ett parallellogram . Om det euklidiska utrymmet är utrustat med ett val av ursprung , är en fri vektor ekvivalent med den bundna vektorn av samma storlek och riktning vars initiala punkt är ursprunget. Termen vektor har också generaliseringar till högre dimensioner och till mer formella tillvägagångssätt med mycket bredare tillämpningar.

Vidare information

I klassisk euklidisk geometri (dvs syntetisk geometri ) introducerades vektorer (under 1800-talet) som ekvivalensklasser under ekvivalents , av ordnade par av pekar; två par ( A , B ) och ( C , D ) är ekvivalenta om punkterna A , B , D , C , i denna ordning, bildar ett parallellogram . En sådan ekvivalensklass kallas en vektor , närmare bestämt en euklidisk vektor. Ekvivalensklassen för ( A , B ) betecknas ofta ${\overrightarrow {AB}}.$

En euklidisk vektor är alltså en ekvivalensklass av riktade segment med samma magnitud (t.ex. längden på linjesegmentet ( A , B ) ) och samma riktning (t.ex. riktningen från A till B ). Inom fysiken används euklidiska vektorer för att representera fysiska storheter som har både storlek och riktning, men som inte är belägna på en specifik plats, i motsats till skalärer som inte har någon riktning. Till exempel, hastighet , krafter och acceleration representeras av vektorer.

I modern geometri definieras euklidiska utrymmen ofta från linjär algebra . Närmare bestämt definieras ett euklidiskt utrymme E som en uppsättning till vilken ett inre produktrum av ändlig dimension är associerat över realerna ${\overrightarrow {E}},$ och en gruppåtgärd av additivgruppen av ${\overrightarrow {E}},$ som är fritt och transitivt (Se Affine space för detaljer om denna konstruktion). Elementen i ${\overrightarrow {E}}$ kallas översättningar . Det har bevisats att de två definitionerna av euklidiska utrymmen är ekvivalenta, och att ekvivalensklasserna under ekvilollens kan identifieras med översättningar.

Ibland betraktas euklidiska vektorer utan hänvisning till ett euklidiskt utrymme. I det här fallet är en euklidisk vektor ett element av ett normerat vektorrum med ändlig dimension över realerna, eller, typiskt, ett element av $\mathbb {R} ^{n}$ utrustad med punktprodukten . Detta är vettigt, eftersom tillägget i ett sådant vektorrum verkar fritt och transitivt på själva vektorrummet. Det vill säga, $\mathbb {R} ^{n}$ är ett euklidiskt rum, med sig självt som ett associerat vektorrum, och punktprodukten som en inre produkt.

Det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{n}$ presenteras ofta som det euklidiska rummet med dimensionen n . Detta motiveras av det faktum att varje euklidiskt utrymme med dimension n är isomorft till det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{n}.$ Mer exakt, givet ett sådant euklidiskt utrymme, kan man välja vilken punkt O som helst som ursprung . Genom Gram–Schmidt-processen kan man också hitta en ortonormal bas för det associerade vektorutrymmet (en bas så att den inre produkten av två basvektorer är 0 om de är olika och 1 om de är lika). Detta definierar kartesiska koordinater för vilken punkt P som helst i rummet ${\overrightarrow {OP}}.$ som koordinaterna på basis av vektorn Dessa val definierar en isomorfism av det givna euklidiska rummet på $\mathbb {R} ^{n},$ genom att mappa vilken punkt som helst till n -tupeln av dess kartesiska koordinater, och varje vektor till sin koordinatvektor .

Exempel i en dimension

Eftersom fysikerns kraftbegrepp har en riktning och en storlek, kan den ses som en vektor. Som ett exempel, betrakta en högeråtriktad kraft F på 15 newton . Om den positiva axeln också är riktad åt höger, så representeras F av vektorn 15 N, och om positiva pekar åt vänster, är vektorn för F −15 N. I båda fallen är storleken på vektorn 15 N. Likaså, vektorrepresentationen för en förskjutning Δ s på 4 meter skulle vara 4 m eller −4 m, beroende på dess riktning, och dess magnitud skulle vara 4 m oavsett.

I fysik och teknik

Vektorer är grundläggande inom de fysiska vetenskaperna. De kan användas för att representera vilken kvantitet som helst som har magnitud, har riktning och som följer reglerna för vektoraddition. Ett exempel är hastighet , vars storlek är hastighet . Till exempel kan hastigheten 5 meter per sekund uppåt representeras av vektorn (0, 5) (i 2 dimensioner med den positiva y -axeln som 'upp'). En annan kvantitet som representeras av en vektor är kraft , eftersom den har en storlek och riktning och följer reglerna för vektoraddition. Vektorer beskriver också många andra fysiska storheter, såsom linjär förskjutning, förskjutning , linjär acceleration, vinkelacceleration , linjär rörelsemängd och rörelsemängd . Andra fysiska vektorer, såsom det elektriska och magnetiska fältet , representeras som ett system av vektorer vid varje punkt i ett fysiskt utrymme; det vill säga ett vektorfält . Exempel på storheter som har storlek och riktning, men som inte följer reglerna för vektoraddition, är vinkelförskjutning och elektrisk ström. Följaktligen är dessa inte vektorer.

I det kartesiska rymden

I det kartesiska koordinatsystemet kan en bunden vektor representeras genom att identifiera koordinaterna för dess initiala och slutpunkt. Till exempel bestämmer punkterna A = (1, 0, 0) och B = (0, 1, 0) i rymden den bundna vektorn ${\overrightarrow {AB}}$ som pekar från punkten x = 1 på x -axeln till punkten y = 1 på y -axeln.

I kartesiska koordinater kan en fri vektor tänkas i termer av en motsvarande bunden vektor, i denna mening, vars initiala punkt har koordinaterna för ursprunget O = (0, 0, 0) . Den bestäms sedan av koordinaterna för den bundna vektorns slutpunkt. Den fria vektorn som representeras av (1, 0, 0) är alltså en vektor med längdenhet – som pekar längs den positiva x -axelns riktning.

Denna koordinatrepresentation av fria vektorer tillåter att deras algebraiska egenskaper uttrycks på ett bekvämt numeriskt sätt. Till exempel är summan av de två (fria) vektorerna (1, 2, 3) och (−2, 0, 4) den (fria) vektorn

$$(1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.$$

Euklidiska och affina vektorer

I de geometriska och fysiska miljöerna är det ibland möjligt att på ett naturligt sätt associera en längd eller magnitud och en riktning till vektorer. Dessutom är begreppet riktning strikt associerat med begreppet en vinkel mellan två vektorer. Om prickprodukten av två vektorer är definierad - en skalärvärderad produkt av två vektorer - så är det också möjligt att definiera en längd; prickprodukten ger en bekväm algebraisk karakterisering av både vinkeln (en funktion av prickprodukten mellan två valfria vektorer som inte är noll) och längden (kvadratroten av prickprodukten av en vektor i sig). I tre dimensioner är det vidare möjligt att definiera korsprodukten , som tillhandahåller en algebraisk karakterisering av arean och orienteringen i rymden av parallellogrammet som definieras av två vektorer (används som sidor av parallellogrammet). I vilken dimension som helst (och i synnerhet högre dimensioner) är det möjligt att definiera den yttre produkten , som (bland annat) tillhandahåller en algebraisk karakterisering av området och orienteringen i rymden av den n -dimensionella parallellotopen definierad av n vektorer.

I ett pseudo-euklidiskt utrymme kan en vektors kvadratiska längd vara positiv, negativ eller noll. Ett viktigt exempel är Minkowski-rummet (vilket är viktigt för vår förståelse av speciell relativitet ).

Det är dock inte alltid möjligt eller önskvärt att definiera längden på en vektor. Denna mer generella typ av rumslig vektor är föremål för vektorrum (för fria vektorer) och affina mellanrum (för bundna vektorer, som var och en representeras av ett ordnat par av "punkter"). Ett fysiskt exempel kommer från termodynamik , där många kvantiteter av intresse kan betraktas som vektorer i ett utrymme utan någon uppfattning om längd eller vinkel.

Generaliseringar

Inom fysik, såväl som matematik, identifieras en vektor ofta med en tupel av komponenter, eller lista med tal, som fungerar som skalära koefficienter för en uppsättning basvektorer . När basen transformeras, till exempel genom rotation eller sträckning, transformeras också komponenterna i vilken vektor som helst i termer av den basen i motsatt mening. Vektorn i sig har inte förändrats, men basen har, så vektorns komponenter måste ändras för att kompensera. Vektorn kallas kovariant eller kontravariant , beroende på hur transformationen av vektorns komponenter är relaterad till transformationen av basen. I allmänhet är kontravarianta vektorer "regelbundna vektorer" med avståndsenheter (såsom en förskjutning), eller avstånd gånger någon annan enhet (såsom hastighet eller acceleration); kovarianta vektorer, å andra sidan, har enheter av ett-över-avstånd som gradient . Om du ändrar enheter (ett specialfall av en förändring av basen) från meter till millimeter, en skalfaktor på 1/1000, blir en förskjutning på 1 m 1000 mm - en kontravariant förändring i numeriskt värde. Däremot blir en gradient på 1 K /m 0,001 K/mm – en kovariansförändring i värde (för mer, se kovarians och kontravarians av vektorer ). Tensorer är en annan typ av kvantitet som beter sig på detta sätt; en vektor är en typ av tensor .

I ren matematik är en vektor vilket element som helst i ett vektorrum över något fält och representeras ofta som en koordinatvektor . Vektorerna som beskrivs i den här artikeln är ett mycket speciellt fall av denna allmänna definition, eftersom de är kontravarierande med avseende på det omgivande rummet. Kontravarians fångar den fysiska intuitionen bakom idén att en vektor har "storlek och riktning".

Framställningar

Vektorer anges vanligtvis med gemener fetstil, som i $\mathbf {u}$ , $\mathbf {v}$ och $\mathbf {w}$ , eller med gemener kursiv fetstil, som i en . ( Versala bokstäver används vanligtvis för att representera matriser .) Andra konventioner inkluderar ${\vec {a}}$ eller en , särskilt i handstil. Alternativt använder vissa en tilde (~) eller en vågig understrykning under symbolen, t.ex. ${\displaystyle {\underset {^{\sim }}{a}}} ,$ som är en konvention för att indikera fetstil. Om vektorn representerar ett riktat avstånd eller förskjutning från en punkt A till en punkt B (se figur), kan den också betecknas som ${\stackrel {\longrightarrow }{AB}}$ eller AB . I tysk litteratur var det särskilt vanligt att representera vektorer med små frakturbokstäver som ${\mathfrak {a}}$ .

Vektorer visas vanligtvis i grafer eller andra diagram som pilar (riktade linjesegment ), som illustreras i figuren. Här kallas punkten A för utgångspunkten , svansen , basen eller initialpunkten , och punkten B kallas huvudet , spetsen , slutpunkten , slutpunkten eller slutpunkten . Pilens längd är proportionell mot vektorns magnitud , medan riktningen i vilken pilen pekar indikerar vektorns riktning.

På ett tvådimensionellt diagram önskas ibland en vektor vinkelrät mot diagrammets plan . Dessa vektorer visas vanligtvis som små cirklar. En cirkel med en prick i mitten (Unicode U+2299 ⊙) indikerar en vektor som pekar ut från framsidan av diagrammet, mot betraktaren. En cirkel med ett kors inskrivet (Unicode U+2297 ⊗) indikerar en vektor som pekar in i och bakom diagrammet. Dessa kan ses som att man tittar på spetsen på en pil och tittar på en pils rörelser bakifrån.

En vektor i det kartesiska planet, som visar positionen för en punkt A med koordinater (2, 3).

För att kunna beräkna med vektorer kan den grafiska representationen vara för krånglig. Vektorer i ett n -dimensionellt euklidiskt utrymme kan representeras som koordinatvektorer i ett kartesiskt koordinatsystem . En vektors slutpunkt kan identifieras med en ordnad lista med n reella tal ( n - tuppel ). Dessa siffror är koordinaterna för vektorns ändpunkt, med avseende på ett givet kartesiskt koordinatsystem , och kallas vanligtvis skalära komponenter (eller skalära projektioner ) av vektorn på koordinatsystemets axlar.

skrivs vektorn från origo O = (0, 0) till punkten A = (2, 3) helt enkelt som

$$\mathbf {a} =(2,3).$$

Uppfattningen att vektorns svans sammanfaller med ursprunget är implicit och lätt att förstå. Den mer explicita notationen ${\overrightarrow {OA}}$ anses därför vanligtvis inte nödvändig (och används faktiskt sällan)

I det tredimensionella euklidiska rymden (eller R ³ ) identifieras vektorer med tripplar av skalära komponenter:

$$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).$$

också skrivit,

$$\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).$$

Detta kan generaliseras till n-dimensionell euklidisk rymd (eller Rn ⁾ .

$$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n-1},a_{n}).$$

Dessa siffror är ofta ordnade i en kolumnvektor eller radvektor , särskilt när det handlar om matriser , enligt följande:

$$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2} \ a_{3}]^{\operatörsnamn {T} }.$$

Ett annat sätt att representera en vektor i n -dimensioner är att introducera standardbasvektorerna . Till exempel, i tre dimensioner, finns det tre av dem:

$${\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e } }_{3}=(0,0,1).$$

Dessa har den intuitiva tolkningen som vektorer av enhetslängd som pekar uppåt x- , y- och z -axeln för ett kartesiskt koordinatsystem . I termer av dessa kan vilken vektor a som helst i R ³ uttryckas i formen:

$$\mathbf {a} =(a_{1 },a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\$$

eller

$$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3 }{\mathbf {e} }_{3},$$

där a ₁ , a ₂ , a ₃ kallas vektorkomponenterna (eller vektorprojektioner ) av a på basvektorerna eller, ekvivalent, på de motsvarande kartesiska axlarna x , y och z (se figur), medan a ₁ , a ₂ , a3 är de respektive skalära komponenterna (eller skalära projektioner) _.

I inledande fysikläroböcker betecknas standardbasvektorerna ofta $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ istället (eller ${ \displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} } , där hattsymbolen ^$ typiskt sett betecknar enhetsvektorer ) . I _{detta fall betecknas skalär-} och vektorkomponenterna a _x , a _y , a _{z respektive} a x , a _y , a _z (observera skillnaden i fetstil). Således,

$$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} } +a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }.$$

Notationen e _i är kompatibel med indexnotationen och summeringskonventionen som vanligtvis används inom matematik, fysik och teknik på högre nivåer.

Nedbrytning eller upplösning

Ytterligare information: Basis (linjär algebra)

Som förklarats ovan beskrivs en vektor ofta av en uppsättning vektorkomponenter som sammanlagt bildar den givna vektorn. Typiskt är dessa komponenter projektioner av vektorn på en uppsättning ömsesidigt vinkelräta referensaxlar (basvektorer). Vektorn sägs vara nedbruten eller upplöst med avseende på den mängden.

Illustration av tangentiella och normala komponenter av en vektor till en yta.

Nedbrytningen eller upplösningen av en vektor till komponenter är inte unik, eftersom den beror på valet av de axlar som vektorn projiceras på.

Dessutom används kartesiska enhetsvektorer som $\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}}$ som grund för att representera en vektor är inte obligatoriskt. Vektorer kan också uttryckas i termer av en godtycklig grund, inklusive enhetsvektorerna för ett cylindriskt koordinatsystem ( ${\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol { \hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}}$ ) eller sfäriskt koordinatsystem ( ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol { \hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}})$ . De två sistnämnda valen är mer bekväma för att lösa problem som har cylindrisk respektive sfärisk symmetri.

Valet av bas påverkar inte egenskaperna hos en vektor eller dess beteende under transformationer.

En vektor kan också brytas upp med avseende på "icke-fixerade" basvektorer som ändrar sin orientering som en funktion av tid eller rum. Till exempel kan en vektor i tredimensionellt utrymme sönderdelas med avseende på två axlar, respektive normal , och tangent till en yta (se figur). Dessutom relaterar de radiella och tangentiella komponenterna i rotationsradie . en vektor till ett objekts Den förra är parallell med radien och den senare är ortogonal mot den.

I dessa fall kan var och en av komponenterna i sin tur dekomponeras med avseende på ett fast koordinatsystem eller basuppsättning (t.ex. ett globalt koordinatsystem eller tröghetsreferensram ).

Grundläggande egenskaper

Följande avsnitt använder det kartesiska koordinatsystemet med basvektorer

$${\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)$$

och antar att alla vektorer har origo som en gemensam baspunkt. En vektor a kommer att skrivas som

$${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}.$$

Jämlikhet

Två vektorer sägs vara lika om de har samma storlek och riktning. På motsvarande sätt kommer de att vara lika om deras koordinater är lika. Alltså två vektorer

$${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$$

och

$${\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}$$

är lika om

$$a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,$$

Motsatta, parallella och antiparallella vektorer

Två vektorer är motsatta om de har samma storlek men motsatt riktning. Så två vektorer

$${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$$

och

$${\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}$$

är motsatta om

$$a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,$$

Två vektorer är parallella om de har samma riktning men inte nödvändigtvis samma storlek, eller antiparallella om de har motsatt riktning men inte nödvändigtvis samma storlek.

Addition och subtraktion

Ytterligare information: Vektorutrymme

Summan av a och b av två vektorer kan definieras som

$$\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf { e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.$$

Den resulterande vektorn kallas ibland den resulterande vektorn av a och b .

Tillägget kan representeras grafiskt genom att placera svansen av pilen b vid spetsen av pilen a och sedan rita en pil från svansen av a till spetsen av b . Den nya pilen som ritas representerar vektorn a + b , som illustreras nedan:

Denna additionsmetod kallas ibland parallellogramregeln eftersom a och b bildar sidorna av ett parallellogram och a + b är en av diagonalerna. Om a och b är bundna vektorer som har samma baspunkt kommer denna punkt också att vara baspunkten för a + b . Man kan geometriskt kontrollera att a + b = b + a och ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Skillnaden mellan a och b är

$$\mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf { e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.$$

Subtraktion av två vektorer kan illustreras geometriskt enligt följande: för att subtrahera b från a placerar du svansarna på a och b i samma punkt och ritar sedan en pil från huvudet på b till huvudet på a . Denna nya pil representerar vektorn (-b) + a , där (-b) är motsatsen till b , se ritning. Och (-b) + a = a − b .

Skalär multiplikation

Huvudartikel: Skalär multiplikation

Skalär multiplikation av en vektor med en faktor 3 sträcker ut vektorn.

En vektor kan också multipliceras, eller skalas om, med ett reellt tal r . I samband med konventionell vektoralgebra kallas dessa reella tal ofta skalärer (från skala ) för att skilja dem från vektorer. Operationen att multiplicera en vektor med en skalär kallas skalär multiplikation . Den resulterande vektorn är

$$r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.$$

Intuitivt, multiplicera med ett skalärt r sträcker ut en vektor med faktorn r . Geometriskt kan detta visualiseras (åtminstone i fallet när r är ett heltal) som att placera r kopior av vektorn på en linje där ändpunkten för en vektor är startpunkten för nästa vektor.

Om r är negativ, ändrar vektorn riktning: den vänder sig runt med en vinkel på 180°. Två exempel ( r = −1 och r = 2) ges nedan:

De skalära multiplikationerna − a och 2 a av en vektor a

Skalär multiplikation är distributiv över vektoraddition i följande betydelse: r ( a + b ) = r a + r b för alla vektorer a och b och alla skalärer r . Man kan också visa att a − b = a + (−1) b .

Längd

Längden eller storleken eller normen för vektorn a betecknas med ‖ a ‖ eller , mindre vanligt, | a |, som inte ska förväxlas med det absoluta värdet (en skalär "norm").

Längden på vektorn a kan beräknas med den euklidiska normen ,

$$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2} ^{2}+a_{3}^{2}}},$$

vilket är en konsekvens av Pythagoras sats eftersom basvektorerna e ₁ , e ₂ , e ₃ är ortogonala enhetsvektorer.

Detta råkar vara lika med kvadratroten av punktprodukten, som diskuteras nedan, av vektorn med sig själv:

$$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.$$

Enhetsvektor

Normaliseringen av en vektor a till en enhetsvektor â

Huvudartikel: Enhetsvektor

En enhetsvektor är vilken vektor som helst med längden ett; normalt används enhetsvektorer helt enkelt för att indikera riktning. En vektor med godtycklig längd kan delas med sin längd för att skapa en enhetsvektor. Detta är känt som att normalisera en vektor. En enhetsvektor indikeras ofta med en hatt som i â .

För att normalisera en vektor a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , skala vektorn med den reciproka av dess längd ‖a‖ . Det är:

$$\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e } _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}} {\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}$$

Noll vektor

Huvudartikel: Noll vektor

0 Nollvektorn är vektorn med längden noll . Utskriven i koordinater är vektorn (0, 0, 0) , och den betecknas vanligtvis ${\vec {0}}$ , , eller helt enkelt 0. Till skillnad från alla andra vektorer har den en godtycklig eller obestämd riktning, och kan inte normaliseras (det vill säga det finns ingen enhetsvektor som är en multipel av nollvektorn). Summan av nollvektorn med någon vektor a är a (det vill säga 0 + a = a ).

Punkt produkt

Huvudartikel: Punktprodukt

Punktprodukten av två vektorer a och b (kallas ibland den inre produkten , eller, eftersom dess resultat är en skalär, skalärprodukten ) betecknas med a ∙ b, och definieras som:

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf { b} \right\|\cos \theta ,$$

där θ är måttet på vinkeln mellan a och b (se trigonometrisk funktion för en förklaring av cosinus). Geometriskt betyder det att a och b ritas med en gemensam startpunkt, och sedan multipliceras längden av a med längden på komponenten av b som pekar i samma riktning som a .

Punktprodukten kan också definieras som summan av produkterna av komponenterna i varje vektor som

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.$$

Cross produkt

Huvudartikel: Korsprodukt

Korsprodukten (även kallad vektorprodukten eller yttre produkten ) är bara meningsfull i tre eller sju dimensioner . Korsprodukten skiljer sig från punktprodukten främst genom att resultatet av korsprodukten av två vektorer är en vektor. Korsprodukten, betecknad a × b , är en vektor vinkelrät mot både a och b och definieras som

$$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\ mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n}$$

där θ är måttet på vinkeln mellan a och b , och n är en enhetsvektor vinkelrät mot både a och b som fullbordar ett högerhänt system. Högerhänthetsbegränsningen är nödvändig eftersom det finns två enhetsvektorer som är vinkelräta mot både a och b , nämligen n och (− n ).

En illustration av korsprodukten

Korsprodukten a × b definieras så att a , b och a × b också blir ett högerhänt system (även om a och b inte nödvändigtvis är ortogonala ). Detta är högerregeln .

Längden av a × b kan tolkas som arean av parallellogrammet som har a och b som sidor.

Korsprodukten kan skrivas som

$${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} ){\mathbf {e} }_{3}.$$

För godtyckliga val av rumslig orientering (det vill säga tillåter både vänsterhänta och högerhänta koordinatsystem) är korsprodukten av två vektorer en pseudovektor istället för en vektor (se nedan).

Skalär trippelprodukt

Huvudartikel: Skalär trippelprodukt

Den skalära trippelprodukten (även kallad boxprodukten eller blandad trippelprodukt ) är egentligen inte en ny operator, utan ett sätt att applicera de andra två multiplikationsoperatorerna på tre vektorer. Den skalära trippelprodukten betecknas ibland med ( a b c ) och definieras som:

$$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).$$

Den har tre primära användningsområden. För det första är det absoluta värdet av boxprodukten volymen av parallellepipeden som har kanter som definieras av de tre vektorerna. För det andra är den skalära trippelprodukten noll om och endast om de tre vektorerna är linjärt beroende , vilket lätt kan bevisas genom att överväga att för att de tre vektorerna inte ska göra en volym måste de alla ligga i samma plan. För det tredje är boxprodukten positiv om och endast om de tre vektorerna a , b och c är högerhänta.

I komponenter ( med avseende på en högerhänt ortonormal basis ), om de tre vektorerna betraktas som rader (eller kolumner, men i samma ordning), är den skalära trippelprodukten helt enkelt determinanten för 3-av-3- matrisen med de tre vektorerna som rader

$$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2 }&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}$$

Den skalära trippelprodukten är linjär i alla tre poster och antisymmetrisk i följande mening:

$$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).$$

Konvertering mellan flera kartesiska baser

Alla exempel hittills har handlat om vektorer uttryckta i termer av samma bas, nämligen e- basen { e ₁ , e ₂ , e ₃ }. En vektor kan emellertid uttryckas i termer av ett valfritt antal olika baser som inte nödvändigtvis är inriktade med varandra, och fortfarande förblir samma vektor. I e -basen uttrycks en vektor a , per definition, som

$$\mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.$$

De skalära komponenterna i e- basen är per definition,

$${\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\ \r&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}$$

I en annan ortonormal bas n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ } som inte nödvändigtvis är justerad med e , uttrycks vektorn a som

$$\mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}$$

och de skalära komponenterna i n -basen är per definition,

$${\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\ \w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}$$

Värdena för p , q , r , och u , v , w relaterar till enhetsvektorerna på ett sådant sätt att den resulterande vektorsumman är exakt samma fysiska vektor a i båda fallen. Det är vanligt att stöta på vektorer som är kända i termer av olika baser (till exempel en bas fixerad till jorden och en andra bas fixerad till ett fordon i rörelse). I ett sådant fall är det nödvändigt att utveckla en metod för att konvertera mellan baser så att de grundläggande vektoroperationerna som addition och subtraktion kan utföras. Ett sätt att uttrycka u , v , w i termer av p , q , r är att använda kolumnmatriser tillsammans med en riktningscosinusmatris som innehåller informationen som relaterar de två baserna. Ett sådant uttryck kan bildas genom att ovanstående ekvationer ersätts med form

$${\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf { n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf { n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf { n} _{3}.\end{aligned}}$$

Fördelning av punktmultiplikationen ger

$${\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{ 2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w& =p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e } _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}$$

Att ersätta varje prickprodukt med en unik skalär ger

$${\begin{aligned }u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31 }p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}$$

och dessa ekvationer kan uttryckas som singelmatrisekvationen

$${\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_ {22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}.$$

Denna matrisekvation relaterar de skalära komponenterna för a i n -basen ( u , v och w ) med de i e- basen ( p , q och r ). _Varje matriselement cjk är riktningen cosinus _som relaterar nj till ek _. Termen cosinus för riktning hänvisar till cosinus för vinkeln mellan två enhetsvektorer, som också är lika med deras prickprodukt . Därför,

$${\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{ 1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\ mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_ {31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _ {2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$$

Genom att hänvisa kollektivt till e ₁ , e ₂ , e ₃ som e- basen och till n ₁ , n ₂ , n ₃ som n - basen, är matrisen som innehåller alla c _jk känd som " transformationsmatrisen från e till n " , eller " rotationsmatrisen från e till n " (eftersom den kan föreställas som "rotationen" av en vektor från en bas till en annan), eller "riktningscosinusmatrisen från e till n " (eftersom den innehåller riktningscosinus) . Egenskaperna för en rotationsmatris är sådana att dess invers är lika med dess transponering . Detta betyder att "rotationsmatrisen från e till n " är transponeringen av "rotationsmatrisen från n till e ".

Egenskaperna för en riktningscosinusmatris, C är:

• determinanten är enhet, |C| = 1;
• inversen är lika med transponeringen;
• raderna och kolumnerna är ortogonala enhetsvektorer, därför är deras punktprodukter noll.

Fördelen med denna metod är att en riktningscosinusmatris vanligtvis kan erhållas oberoende genom att använda Euler-vinklar eller en kvaternion för att relatera de två vektorbaserna, så att basomvandlingarna kan utföras direkt, utan att behöva räkna ut alla punktprodukter som beskrivs ovan .

Genom att applicera flera matrismultiplikationer i följd kan vilken vektor som helst uttryckas i vilken bas som helst så länge som uppsättningen av riktningscosinus är känd som relaterar de successiva baserna.

Andra dimensioner

Med undantag för kors- och trippelprodukterna generaliserar formlerna ovan till två dimensioner och högre dimensioner. Till exempel generaliserar addition till två dimensioner som

$$(a_{ 1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{ 2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){ \mathbf {e} }_{2},$$

och i fyra dimensioner som

$${\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf { e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+ b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3 }){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}$$

Korsprodukten generaliserar inte lätt till andra dimensioner, även om den närbesläktade exteriörprodukten gör det, vars resultat är en bivector . I två dimensioner är detta helt enkelt en pseudoskalär

$$(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} } _{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1} \mathbf {e} _{2}.$$

En sjudimensionell korsprodukt liknar korsprodukten genom att dess resultat är en vektor som är ortogonal mot de två argumenten; det finns dock inget naturligt sätt att välja en av de möjliga sådana produkterna.

Fysik

Vektorer har många användningsområden inom fysik och andra vetenskaper.

Längd och enheter

I abstrakta vektorrum beror pilens längd på en dimensionslös skala . Om den representerar till exempel en kraft, är "skalan" av fysisk dimension längd/kraft. Således finns det typiskt konsistens i skalan mellan kvantiteter av samma dimension, men annars kan skalförhållanden variera; till exempel, om "1 newton" och "5 m" båda representeras med en pil på 2 cm, är skalorna 1 m:50 N respektive 1:250. Lika längder på vektorer av olika dimension har ingen speciell betydelse om det inte finns någon proportionalitetskonstant inneboende i systemet som diagrammet representerar. Även längden på en enhetsvektor (av dimensionslängd, inte längd/kraft, etc.) har ingen koordinatsystem-invariant signifikans.

Vektorvärderade funktioner

Huvudartikel: Vektorvärderad funktion

Ofta inom områdena fysik och matematik utvecklas en vektor i tiden, vilket betyder att den beror på en tidsparameter t . Till exempel, om r representerar positionsvektorn för en partikel, så ger r ( t ) en parametrisk representation av partikelns bana. Vektorvärderade funktioner kan differentieras och integreras genom att differentiera eller integrera vektorns komponenter, och många av de välbekanta reglerna från kalkyl fortsätter att gälla för derivatan och integralen av vektorvärderade funktioner.

Position, hastighet och acceleration

Positionen för en punkt x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) i det tredimensionella rummet kan representeras som en positionsvektor vars baspunkt är origo

$${\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.$$

Positionsvektorn har längddimensioner .

Givet två punkter x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) är deras förskjutning en vektor

$${\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{ 2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.$$

som anger positionen för y relativt x . Längden på denna vektor ger det raka avståndet från x till y . Förskjutning har måtten längd.

Hastigheten v för en punkt eller partikel är en vektor, dess längd ger hastigheten . För konstant hastighet kommer läget vid tidpunkten t att vara

$${\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},$$

₀ där x är positionen vid tidpunkten t = 0. Hastighet är tidsderivatan av position. Dess dimensioner är längd/tid.

Acceleration a av en punkt är vektor som är tidsderivatan av hastighet. Dess dimensioner är längd/tid ² .

Kraft, energi, arbete

Kraft är en vektor med dimensionerna massa×längd/tid ² och Newtons andra lag är skalär multiplikation

$${\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }$$

Arbete är prickprodukten av kraft och förskjutning

$$E={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).$$

Vektorer, pseudovektorer och transformationer

En alternativ karaktärisering av euklidiska vektorer, särskilt inom fysiken, beskriver dem som listor över kvantiteter som beter sig på ett visst sätt under en koordinattransformation . En kontravariant vektor krävs för att ha komponenter som "transformerar motsatt till basen" under förändringar av bas . Vektorn i sig förändras inte när basen transformeras; istället gör komponenterna i vektorn en förändring som avbryter förändringen i basen. Med andra ord, om referensaxlarna (och basen som härrör från den) roterades i en riktning, skulle komponentrepresentationen av vektorn rotera på motsatt sätt för att generera samma slutvektor. På liknande sätt, om referensaxlarna sträcktes i en riktning, skulle komponenterna i vektorn reduceras på ett exakt kompenserande sätt. Matematiskt, om basen genomgår en transformation som beskrivs av en inverterbar matris M , så att en koordinatvektor x transformeras till x ′ = M x , så måste en kontravariant vektor v transformeras på liknande sätt via v ′ = M $^ {-1}$ v . Detta viktiga krav är det som skiljer en kontravariant vektor från någon annan trippel av fysiskt meningsfulla storheter. Till exempel, om v består av x , y och z -komponenterna av hastighet , då är v en kontravariant vektor: om koordinaterna för rymden sträcks ut, roteras eller vrids, då transformeras hastighetens komponenter på samma sätt . Å andra sidan, till exempel, skulle en trippel bestående av längden, bredden och höjden av en rektangulär låda kunna utgöra de tre komponenterna i en abstrakt vektor, men denna vektor skulle inte vara kontravariant, eftersom rotation av rutan inte ändrar lådans längd, bredd och höjd. Exempel på kontravarianta vektorer inkluderar förskjutning , hastighet , elektriskt fält , momentum , kraft och acceleration .

differentialgeometrins språk är kravet att komponenterna i en vektor transformerar enligt samma matris för koordinatövergången ekvivalent med att definiera en kontravariant vektor som en tensor av kontravariant rang ett. Alternativt definieras en kontravariant vektor som en tangentvektor och reglerna för att transformera en kontravariant vektor följer av kedjeregeln .

Vissa vektorer transformerar som kontravarierande vektorer, förutom att när de reflekteras genom en spegel vänder de och får ett minustecken. En transformation som växlar högerhänthet till vänsterhänthet och vice versa som en spegel gör sägs ändra rummets orientering . En vektor som får ett minustecken när rummets orientering ändras kallas en pseudovektor eller en axiell vektor . Vanliga vektorer kallas ibland sanna vektorer eller polära vektorer för att skilja dem från pseudovektorer. Pseudovektorer förekommer oftast som korsprodukten av två vanliga vektorer.

Ett exempel på en pseudovektor är vinkelhastighet . När du kör i en bil och tittar framåt har vart och ett av hjulen en vinkelhastighetsvektor som pekar åt vänster. Om världen reflekteras i en spegel som växlar vänster och höger sida av bilen, reflektionen av denna vinkelhastighetsvektor åt höger, men hjulets faktiska vinkelhastighetsvektor pekar fortfarande åt vänster, motsvarande minus skylt. Andra exempel på pseudovektorer inkluderar magnetfält , vridmoment eller mer allmänt vilken korsprodukt som helst av två (sanna) vektorer.

Denna distinktion mellan vektorer och pseudovektorer ignoreras ofta, men den blir viktig för att studera symmetriegenskaper . Se paritet (fysik) .

Se även

• Affint utrymme , som skiljer mellan vektorer och punkter
• Array (datastruktur)
• Banach utrymme
• Clifford algebra
• Komplext tal
• Koordinatsystem
• Kovarians och kontravarians av vektorer
• Fyrvektor , en icke-euklidisk vektor i Minkowskis rymd (dvs fyrdimensionell rumtid), viktig i relativitetsteori
• Funktionsutrymme
• Grassmanns Ausdehnungslehre _
• Hilbert utrymme
• Normal vektor
• Noll vektor
• Position (geometri)
• Pseudovektor
• Kvaternion
• Tangentiala och normala komponenter (av en vektor)
• Tensor
• Enhetsvektor
• Vektor bunt
• Vektorkalkyl
• Vektor notation
• Vektorvärderad funktion

Anteckningar

Matematiska behandlingar

•   Apostol, Tom (1967). Kalkyl . Vol. 1: Envariabelkalkyl med en introduktion till linjär algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1 .
•   Apostol, Tom (1969). Kalkyl . Vol. 2: Multivariabelkalkyl och linjär algebra med applikationer. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5 .
•   Heinbockel, JH (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics , Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4 .
•   Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2:a upplagan), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4 .
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Vector" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Kane, Thomas R.; Levinson, David A. (1996), Dynamics Online , Sunnyvale, Kalifornien: OnLine Dynamics .
•   Lang, Serge (1986). Introduktion till linjär algebra (2:a uppl.). Springer. ISBN 0-387-96205-0 .
•   Pedoe, Daniel (1988). Geometri: En omfattande kurs . Dover. ISBN 0-486-65812-0 .

Fysiska behandlingar

•   Aris, R. (1990). Vektorer, tensorer och vätskemekanikens grundläggande ekvationer . Dover. ISBN 978-0-486-66110-0 .
•   Feynman, Richard ; Leighton, R.; Sands, M. (2005). "Kapitel 11". Feynman-föreläsningarna om fysik . Vol. I (2:a uppl.). Addison Wesley. ISBN 978-0-8053-9046-9 .

externa länkar

• "Vector" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Vektoridentiteter online ( PDF )
• Introducing Vectors En konceptuell introduktion ( tillämpad matematik )