Hyperkomplext tal

Ej att förväxla med surkomplexnummer .

"Hypernumber" omdirigerar hit. För utvidgningen av de reella talen som används i icke-standardiserad analys , se Hyperreal number .

I matematik är hyperkomplext tal en traditionell term för en del av en finitdimensionell enhetalgebra över fältet av reella tal . Studiet av hyperkomplexa tal i slutet av 1800-talet utgör grunden för modern grupprepresentationsteori .

Historia

På 1800-talet blev talsystem som kallas quaternions , tessarines , coquaternions , biquaternions och octonions etablerade begrepp i matematisk litteratur, läggs till de reella och komplexa talen . Konceptet med ett hyperkomplext tal täckte dem alla och krävde en disciplin för att förklara och klassificera dem.

Katalogiseringsprojektet började 1872 när Benjamin Peirce först publicerade sin Linear Associative Algebra och fördes vidare av hans son Charles Sanders Peirce . Det viktigaste är att de identifierade de nilpotenta och de idempotenta elementen som användbara hyperkomplexa tal för klassificeringar. Cayley -Dickson-konstruktionen använde involutioner för att generera komplexa tal, kvaternioner och oktonioner ur det reella talsystemet. Hurwitz och Frobenius bevisade satser som sätter gränser för hyperkomplexitet: Hurwitzs sats säger att änddimensionella reella kompositionsalgebror är realerna ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ komplexen $\mathbb {C}$ , kvarterna $\mathbb {H}$ , och oktonionerna $\mathbb {O}$ , och Frobenius-satsen säger att de enda verkliga associativa divisionsalgebrorna är ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ C $\ displaystyle \mathbb {C} }$ och $\mathbb {H}$ . År 1958 J. Frank Adams en ytterligare generalisering i termer av Hopf-invarianter på H -rum, som fortfarande begränsar dimensionen till 1, 2, 4 eller 8.

Det var matrisalgebra som utnyttjade de hyperkomplexa systemen. Först bidrog matriser med nya hyperkomplexa tal som 2 × 2 reella matriser (se Split-quaternion ) . Snart började matrisparadigmet förklara de andra när de blev representerade av matriser och deras operationer. År 1907 Joseph Wedderburn att associativa hyperkomplexa system kunde representeras av kvadratiska matriser eller direkt produkt av algebror av kvadratiska matriser. Från det datumet blev den föredragna termen för ett hyperkomplext system associativ algebra, vilket framgår av titeln på Wedderburns avhandling vid University of Edinburgh . Observera dock att icke-associativa system som oktonjoner och hyperboliska kvaternioner representerar en annan typ av hyperkomplexa tal.

Som Hawkins förklarar, är de hyperkomplexa talen språngbrädor för att lära sig om Lie-grupper och grupprepresentationsteori . Till exempel, 1929 Emmy Noether om "hyperkomplexa kvantiteter och representationsteori". 1973 publicerade Kantor och Solodovnikov en lärobok om hyperkomplexa tal som översattes 1989.

Karen Parshall har skrivit en detaljerad beskrivning av hyperkomplexa siffrors storhetstid, inklusive rollen som matematiker inklusive Theodor Molien och Eduard Study . För övergången till modern algebra ägnar Bartel van der Waerden trettio sidor åt hyperkomplexa tal i hans History of Algebra .

Definition

En definition av ett hyperkomplext tal ges av Kantor & Solodovnikov (1989) som ett element i en finitdimensionell algebra över de reella talen som är enhetliga men inte nödvändigtvis associativa eller kommutativa . Element genereras med reella talkoefficienter $(a_{0},\dots ,a_{n})$ för en bas $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$ . Där det är möjligt är det vanligt att välja basen så att $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$ . Ett tekniskt tillvägagångssätt för hyperkomplexa tal riktar uppmärksamheten först till de av dimension två.

Tvådimensionella verkliga algebror

Sats: Fram till isomorfism finns det exakt tre 2-dimensionella enhetalgebror över realtalen: de vanliga komplexa talen , de delade komplexa talen och de dubbla talen . I synnerhet är varje 2-dimensionell enhetlig algebra över realerna associativ och kommutativ.

Bevis: Eftersom algebra är tvådimensionell kan vi välja en bas {1, u }. Eftersom algebra är stängd under kvadrering kvadrerar det icke-reella baselementet u till en linjär kombination av 1 och u :

$u^{2}=a_{0}+a_{1}u$

₀ för vissa reella tal a och a ₁ .

Att använda den vanliga metoden att komplettera kvadraten genom att subtrahera a ₁ u och lägga till kvadratkomplementet a
² ₁ / 4 till båda sidorna ger

$u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{ 1}^{2}.$

Alltså ${\textstil \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u} }^{2}}$ där ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ De tre fallen beror på detta verkliga värde:

• Om 4 a ₀ = − a ₁ ² ger ovanstående formel ũ ² = 0 . Därför ũ direkt identifieras med det nilpotenta elementet $\epsilon$ av basen $\{1,~\epsilon \}$ för de dubbla talen.
• Om 4 a ₀ > − a ₁ ² ger formeln ovan ũ ² > 0 . Detta leder till de delade komplexa talen som har normaliserad bas $\{1,~j\}$ med $j^{2}=+1$ . För att få j från ũ måste det senare delas med det positiva reella talet ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1 }{4}}a_{1}^{2}}}}$ som har samma kvadrat som ũ har.
• Om 4 a ₀ < − a ₁ ² ger formeln ovan ũ ² < 0 . Detta leder till de komplexa talen som har normaliserat basen $\{1,~i\}$ med $i^{2}=-1$ . För att ge i från ũ måste det senare delas med ett positivt reellt tal ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4} }a_{1}^{2}-a_{0}}}}$ som kvadrerar till negativt av ũ ² .

De komplexa talen är den enda 2-dimensionella hyperkomplexa algebra som är ett fält . Algebror som de delade komplexa talen som inkluderar icke-reala rötter av 1 innehåller också idempotenter ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ och nolldelare $(1+j)(1-j)=0$ , så sådana algebror kan inte vara divisionsalgebror . Dessa egenskaper kan dock visa sig vara mycket meningsfulla, till exempel för att beskriva Lorentz-transformationerna av speciell relativitet .

I en 2004 års upplaga av Mathematics Magazine har de tvådimensionella reella algebrorna formaterats till "generaliserade komplexa tal". Idén om korsförhållandet mellan fyra komplexa tal kan utvidgas till de 2-dimensionella reella algebran.

Högdimensionella exempel (mer än en icke-real axel)

Clifford algebror

En Clifford-algebra är den enhetliga associativa algebra som genereras över ett underliggande vektorrum utrustat med en kvadratisk form . Över de reella talen motsvarar detta att kunna definiera en symmetrisk skalär produkt, u ⋅ v = 1 / 2 ( uv + vu ) som kan användas för att ortogonalisera den kvadratiska formen, för att ge en bas { e ₁ , ... , e _k } så att:

$${\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i =j,\\0&i\not =j.\end{cases}}$$

Att pålägga stängning under multiplikation genererar ett multivektorutrymme som spänner över en bas av 2 ^k element, {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., e ₁ e ₂ , ..., e ₁ e ₂ e ₃ , . ..}. Dessa kan tolkas som grunden för ett hyperkomplext talsystem. Till skillnad från basen { e ₁ , ..., e _k } behöver de återstående baselementen inte anti-pendla, beroende på hur många enkla byten som måste utföras för att byta de två faktorerna. Så e ₁ e ₂ = − e ₂ e ₁ , men e ₁ ( e ₂ e ₃ ) = +( e ₂ e ₃ ) e ₁ .

Om man lägger undan baserna som innehåller ett element e _i så att e _i ² = 0 (dvs riktningar i det ursprungliga utrymmet över vilket den kvadratiska formen degenererades ) , kan de återstående Clifford-algebrorna identifieras med etiketten Cl _{p , q} ( ${ \displaystyle \mathbb {R} }$ ), vilket indikerar att algebra är konstruerad från p enkla grundelement med e _i ² = +1 , q med e _i ² = −1 , och där $\mathbb {R}$ indikerar att detta ska vara en Clifford-algebra över realerna - dvs koefficienter för element i algebra ska vara reella tal.

Dessa algebror, kallade geometriska algebror , bildar en systematisk uppsättning, som visar sig vara mycket användbar i fysikproblem som involverar rotationer , faser eller snurrar , särskilt inom klassisk och kvantmekanik , elektromagnetisk teori och relativitetsteori .

Exempel inkluderar: de komplexa talen Cl _0,1 ( $\mathbb {R}$ ), delade-komplexa talen Cl _1,0 ( $\mathbb {R}$ ), kvaternioner Cl _0,2 ( $\mathbb {R}$ ), split-biquaternions Cl _0,3 ( $\mathbb {R}$ ), split-quaternions Cl _1,1 ( $\mathbb {R}$ ) ≈ Cl _2,0 ( $\mathbb {R}$ ) (den naturliga algebra för tvådimensionellt rymd); Cl _3,0 ( $\mathbb {R}$ ) (den naturliga algebra för tredimensionellt rymd, och algebra för Pauli-matriserna ); och rumtidsalgebra Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ).

Elementen i algebra Cl _{p , q} ( $\mathbb {R}$ ) bildar en jämn subalgebra Cl
^[0] _{q +1, p} ( $\mathbb {R}$ ) av algebra Cl _{q +1, p} ( $\mathbb {R}$ ), som kan användas för att parametrisera rotationer i den större algebra. Det finns alltså ett nära samband mellan komplexa tal och rotationer i tvådimensionellt rum; mellan kvaternioner och rotationer i tredimensionellt utrymme; mellan delade-komplexa tal och (hyperboliska) rotationer ( Lorentz-transformationer ) i 1+1-dimensionellt rum, och så vidare.

Medan Cayley-Dickson och split-complex konstruktioner med åtta eller fler dimensioner inte är associativa med avseende på multiplikation, behåller Clifford algebror associativitet vid valfritt antal dimensioner.

1995 skrev Ian R. Porteous om "The recognition of subalgebras" i sin bok om Clifford algebras. Hans förslag 11.4 sammanfattar de hyperkomplexa fallen:

Låt A vara en verklig associativ algebra med enhetselement 1. Då

• 1 genererar $\mathbb {R}$ ( algebra av reella tal ),
• ₀ vilken tvådimensionell subalgebra som helst som genereras av ett element e i A så att ₀ e ² = −1 är isomorf till $\mathbb {C}$ ( algebra av komplexa tal ),
• ₀ vilken tvådimensionell subalgebra som helst som genereras av ett element e av A så att ₀ e ² = 1 är isomorf till $\mathbb {R}$ ² (par av reella tal med komponentvis produkt, isomorf till algebra av split- komplexa tal ),
• ₀ vilken fyrdimensionell subalgebra som helst som genereras av en uppsättning { e , e ₁ } av ömsesidigt anti-pendlingselement av A så att $e_{0}^{2}=e_{1} ^{2}=-1$ är isomorft till $\mathbb {H}$ ( algebra för kvartjoner ) ,
• ₀ vilken fyrdimensionell subalgebra som helst som genereras av en uppsättning { e , e ₁ } av ömsesidigt anti-pendlingselement av A så att $e_{0}^{2}=e_{1}^ {2}=1$ är isomorf till M ₂ ( $\mathbb {R}$ ) (2 × 2 reella matriser , coquaternions ),
• ₀ vilken åttadimensionell subalgebra som helst som genereras av en uppsättning { e , e ₁ , e ₂ } av ömsesidigt anti-pendlingselement av A så att $e_{0}^{ 2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ är isomorft till ² $\mathbb {H}$ ( delade biquaternions ),
• ₀ vilken åttadimensionell subalgebra som helst som genereras av en uppsättning { e , e ₁ , e ₂ } av ömsesidigt anti-pendlingselement av A så att $e_{0}^{2 }=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ är isomorft till M ₂ ( $\mathbb {C}$ ) ( 2 × 2 komplexa matriser, biquaternions , Pauli algebra ).

För förlängning bortom de klassiska algebrorna, se Klassificering av Clifford-algebror .

Cayley-Dickson konstruktion

Ytterligare information: Cayley–Dickson-konstruktion

Cayley Q8-graf av kvartärnionmultiplikation som visar multiplikationscykler av i (röd), j (grön) och k (blå). Håll muspekaren över eller klicka på en sökväg i SVG-filen för att markera den.

Alla Clifford-algebror Cl _{p , q} ( $\mathbb {R}$ ) förutom de reella talen, komplexa talen och kvartjonerna innehåller icke-reella element som kvadrerar till +1; och så kan inte vara divisionsalgebror. Ett annat tillvägagångssätt för att utöka de komplexa talen tas av Cayley-Dickson-konstruktionen . Detta genererar talsystem med dimensionen 2 ⁿ , n = 2, 3, 4, ..., med baser $\left\{1,i_{1} ,\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$ , där alla icke-reella grundelement motpendlar och uppfyller $i_{m}^{2} =-1$ . I 8 eller fler dimensioner ( n ≥ 3 ) är dessa algebror icke-associativa. I 16 eller fler dimensioner ( n ≥ 4 ) har dessa algebror också nolldelare .

De första algebrorna i denna sekvens är de fyrdimensionella quaternionerna , åttadimensionella oktonionerna och 16-dimensionella sedenioner . En algebraisk symmetri går förlorad med varje ökning i dimensionalitet: kvartjonmultiplikation är inte kommutativ , oktonjonmultiplikation är icke- associativ och normen för sedenioner är inte multiplikativ.

Cayley–Dickson-konstruktionen kan modifieras genom att sätta in en extra skylt i vissa skeden. Den genererar sedan de "delade algebrorna" i samlingen av sammansättningsalgebror istället för divisionsalgebrorna:

split-komplexa tal med bas $\{1,\,i_{1}\}$ som uppfyller $\ i_{1}^{2}=+1$ ,

split-quaternions med basen ${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}} som$ uppfyller $\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{ 2}=+1$ och

delade oktonioner med bas $\{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\ }$ uppfyller $\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1$ , $\ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2 }=i_{7}^{2}=+1.$

Till skillnad från de komplexa talen är de delade-komplexa talen inte algebraiskt slutna och innehåller vidare icke-triviala nolldelare och icke-triviala idempotenter . Liksom med quaternionerna är split-quaternions inte kommutativa, utan innehåller vidare nilpotenter ; de är isomorfa till kvadratmatriserna av dimension två. Split-oktonjoner är icke-associativa och innehåller nilpotenter.

Tensor produkter

Tensorprodukten av två valfri algebra är en annan algebra, som kan användas för att producera många fler exempel på hyperkomplexa talsystem .

Speciellt att ta tensorprodukter med de komplexa talen (som betraktas som algebror över de reella) leder till fyrdimensionella tessariner $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ , åttadimensionella biquaternions ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} } ,$ och 16-dimensionella komplexa oktonioner $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O}$ .

Ytterligare exempel

• bikomplexa tal : ett 4-dimensionellt vektorrum över de reella, 2-dimensionellt över de komplexa talen, isomorft till tessariner.
• multikomplexa tal : 2 ⁿ -dimensionella vektorrum över de reella, 2 ^{n −1} -dimensionella över de komplexa talen
• sammansättningsalgebra : algebra med en kvadratisk form som komponerar med produkten

Se även

• Sedenioner
• Thomas Kirkman
• Georg Scheffers
• Richard Brauer
• Hyperkomplex analys

Vidare läsning

• Alfsmann, Daniel (2006), "Om familjer av 2^N-dimensionella hyperkomplexa algebror lämpliga för digital signalbehandling" (PDF), 14 :e europeiska signalbehandlingskonferensen, Florens, Italien , s. 1–4
• Artin, Emil (1965) [1928], "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen; Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen", i Lang, Serge ; Tate, John T. (red.), The Collected Papers of Emil Artin , Addison-Wesley , s. 301–345
•    Baez, John (2002), "The Octonions" , Bulletin of the American Mathematical Society , 39 ( 2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-02 , ISSN -9904 , S2CID 586512
• Cartan, Élie (1908), "Les systèmes de nombres complex et les groupes de transformations", Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées , vol. jag 1 . och Ouvres slutför T.2 pt. 1, sid. 107-246.
• Herzberger, Max (1923), "Ueber Systeme hyperkomplexer Grössen" , Doktorsavhandling , Friedrich Wilhelm University , arkiverad från originalet 2021-01-30 , hämtad 2015-09-20
•   La Duke, Jeanne (1983), "Studien av linjära associativa algebror i USA, 1870–1927", i Srinivasan, B.; Sally, J. (red.), Emmy Noether i Bryn Mawr: Proceedings of a Symposium Sponsored by Association for Women in Mathematics in Honor of Emmy Noethers 100th Birthday , Springer, s. 147–159, ISBN 978-0-387- 90838-0
•   Olariu, Silviu (2002), Complex Numbers in N Dimensions , North-Holland Mathematics Studies, vol. 190, Elsevier , ISBN 0-444-51123-7
•   Sabadini, Irene ; Shapiro, Michael; Sommen, Frank, red. (2009), Hypercomplex Analysis and Applications , Birkhauser, ISBN 978-3-7643-9892-7
•   Taber, Henry (1904), "On Hypercomplex Number Systems", Transactions of the American Mathematical Society , 5 (4): 509–548, doi : 10.2307/1986280 , JSTOR 1986280
• MacLagan Wedderburn, JH (1908), "On Hypercomplex Numbers" , Proceedings of the London Mathematical Society , s2-6 (1): 77–118, doi : 10.1112/plms/s2-6.1.77

externa länkar

• "Hypercomplex number" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Hyperkomplext tal" . MathWorld .
• Study, E., om system av komplexa tal och deras tillämpning på teorin om transformationsgrupper ( PDF) (engelsk översättning)
• Frobenius, G., Theory of hypercomplex quantities (PDF) (engelsk översättning)