Bikomplext tal

"Tessarine" omdirigerar hit. För riktiga tessariner, se Split-complex number .

I abstrakt algebra är ett bikomplext tal ett par ( w , z ) av komplexa tal konstruerade av Cayley-Dickson-processen som definierar det bikomplexa konjugatet $(w,z )^{*}=(w,-z)$ , och produkten av två bikomplexa tal som

$(u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).$

Då den bikomplexa normen ges av

$(w,z)^{*}(w,z) =(w,-z)(w,z)=(w^{2}+z^{2},0),$ en kvadratisk form i den första komponenten.

De bikomplexa talen bildar en kommutativ algebra över C av dimension två, som är isomorft till den direkta summan av algebran C ⊕ C .

Produkten av två bikomplexa tal ger ett kvadratisk formvärde som är produkten av de individuella kvadratiska formerna av talen: en verifiering av denna egenskap hos den kvadratiska formen av en produkt hänvisar till Brahmagupta-Fibonacci- identiteten . Denna egenskap hos den kvadratiska formen av ett bikomplext tal indikerar att dessa tal bildar en sammansättningsalgebra . Faktum är att bikomplexa tal uppstår på binarionnivån för Cayley–Dickson-konstruktionen baserat på $\mathbb {C}$ med norm z ² .

Det allmänna bikomplexa talet kan representeras av matrisen ${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}} ,$ som har determinanten $w^{2}+z^{2}$ . Sålunda överensstämmer den sammansättningsegenskapen för den kvadratiska formen med den sammansättningsegenskapen för determinanten.

Bikomplexa tal har två distinkta imaginära enheter . Eftersom multiplikation är associativ och kommutativ, måste produkten av dessa imaginära enheter ha positiv en för sin kvadrat. Ett sådant element som denna produkt har kallats en hyperbolisk enhet .

Som en riktig algebra

Tessarin multiplikation

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	− j
j	j	k	1	i
k	k	− j	i	−1

Bikomplexa tal bildar en algebra över C av dimension två, och eftersom C har dimension två över R , är de bikomplexa talen en algebra över R av dimension fyra. Faktum är att den verkliga algebra är äldre än den komplexa; den kallades tessariner 1848 medan den komplexa algebra inte introducerades förrän 1892.

En grund för tessarin 4-algebra över R specificerar z = 1 och z = − i , vilket ger matriserna ${\displaystyle k={\begin{pmatrix}0&i$ . När identitetsmatrisen identifieras med 1, då är en tessarin t = w + zj .

Historia

Ämnet för flera imaginära enheter undersöktes på 1840-talet. I en lång serie "On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra" som började 1844 i Philosophical Magazine , kommunicerade William Rowan Hamilton ett system som multiplicerade enligt quaterniongruppen . År 1848 Thomas Kirkman om sin korrespondens med Arthur Cayley angående ekvationer på enheterna som bestämmer ett system av hyperkomplexa tal.

Tessariner

År 1848 introducerade James Cockle tessarinerna i en serie artiklar i Philosophical Magazine .

En tessarin är ett hyperkomplext tal av formen

$t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R }$

där $ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+ 1.$ Cockle använde tessariner för att isolera den hyperboliska cosinusserien och den hyperboliska sinusserien i den exponentiella serien. Han visade också hur nolldelare uppstår i tessariner, vilket inspirerade honom att använda termen "omöjliga". Tessarinerna är nu mest kända för sin subalgebra av verkliga tessariner ${\displaystyle t=w+yj\ } ,$ även kallade split-complex numbers , som uttrycker parametriseringen av enhetens hyperbel .

Bikomplexa tal

I en Mathematische Annalen -tidning från 1892 introducerade Corrado Segre bikomplexa tal , som bildar en algebra som är isomorf till tessarinerna.

Segre läste WR Hamiltons Lectures on Quaternions (1853) och WK Cliffords verk . Segre använde en del av Hamiltons notation för att utveckla sitt system med bikomplexa tal : Låt h och i vara element som kvadrerar till −1 och som pendlar. Sedan, förutsatt är associativ , måste produkten hi kvadrera till +1. Den algebra som är konstruerad utifrån { 1, h , i , hi } är då densamma som James Cockles tessariner, representerade med en annan grund. Segre noterade att element

$g=(1-hi)/2,\quad g'=(1+hi)/2$ är idempotenta .

När bikomplexa tal uttrycks i termer av basen { 1, h , i , − hi } är deras ekvivalens med tessariner uppenbar. Att titta på den linjära representationen av dessa isomorfa algebror visar överensstämmelse i den fjärde dimensionen när det negativa tecknet används; betrakta provprodukten som ges ovan under linjär representation.

Bibinarions

Den moderna teorin om sammansättningsalgebror placerar algebra som en binarionkonstruktion baserad på en annan binarionkonstruktion, därav bibinarionerna . Unionsnivån i Cayley-Dickson-processen måste vara ett fält, och från och med det reella fältet uppstår de vanliga komplexa talen som divisionsbinarioner, ett annat fält. Således kan processen börja igen för att bilda bibinarioner. Kevin McCrimmon noterade förenklingen av nomenklaturen som termen binarion ger i sin text A Taste of Jordan Algebras (2004).

Polynomrötter

Skriv ² C = C ⊕ C och representera element av det genom ordnade par ( u , v ) av komplexa tal. Eftersom algebra för tessariner T är isomorf till ² C , är ringarna av polynom T [X] och ² C [ X ] också isomorfa, men polynom i den senare algebra delas:

$\sum _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})(u,v)^{k}\quad =\quad \left({\summa _{k= 1}^{n}a_{i}u^{k}},\quad \sum _{k=1}^{n}b_{k}v^{k}\right).$

Följaktligen, när en polynomekvation $f(u,v)=(0,0)$ i denna algebra sätts, reduceras den till två polynomekvationer på C . Om graden är n , så finns det n rötter för varje ekvation: ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n},\ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}.} Alla ordnade$ par $(u_{i},v_{j})\!$ från denna uppsättning rötter kommer att uppfylla den ursprungliga ekvationen i ² C [ X ], så den har n ² rötter.

På grund av isomorfismen med T [ X ] finns det en överensstämmelse mellan polynom och en överensstämmelse mellan deras rötter. Därför har tessarinpolynomen av grad n också n ² rötter, räknat multiplicitet av rötter .

Ansökningar

Bikomplext tal visas som mitten av CAPS (komplexifierad algebra av fysiskt utrymme ), vilket är Clifford-algebra $Cl(3,\mathbb {C} )$ . Eftersom det linjära utrymmet för CAPS kan ses som det fyrdimensionella utrymmet spänner { $1,e_{1},e_{2},e_{3}}$ över { $1,i,k,j$ }.

Tessariner har använts i digital signalbehandling .

Bikomplexa tal används i vätskemekanik. Användningen av bikomplex algebra förenar två distinkta tillämpningar av komplexa tal: representationen av tvådimensionella potentiella flöden i det komplexa planet och den komplexa exponentialfunktionen .

Vidare läsning

•   G. Baley Price (1991) An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions Marcel Dekker ISBN 0-8247-8345-X
•   F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) The Mathematics of Minkowski Space-Time with an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers , Birkhäuser Verlag , Basel ISBN 978-3-7643-8613-9
• Alpay D, Luna-Elizarrarás ME, Shapiro M, Struppa DC. (2014) Grunderna i funktionell analys med bikomplexa skalärer och bikomplex Schur-analys , Cham, Schweiz: Springer Science & BusinessMedia
• Luna-Elizarrarás ME, Shapiro M, Struppa DC, Vajiac A. (2015) Bikomplexa holomorfa funktioner: algebra, geometri och analys av bikomplexa tal , Cham, Schweiz: Birkhäuser