Frobenius teorem (real division algebror)

Inom matematiken , närmare bestämt i abstrakt algebra , kännetecknar Frobenius-satsen , bevisad av Ferdinand Georg Frobenius 1877, den finita dimensionella associativa divisionalgebran över de reella talen . Enligt satsen är varje sådan algebra isomorf till något av följande:

$R$ (de reella talen )
$C$ (de komplexa talen )
$H$ ( kvarternionerna ).

Dessa algebror har reell dimension $1, 2$ respektive $4$ . Av dessa tre algebror är $R$ och $C$ kommutativa , men $H$ är det inte.

Bevis

Huvudingredienserna för följande bevis är Cayley–Hamilton-satsen och algebras fundamentalsats .

Inför lite notation

Låt $D$ vara divisionsalgebra i fråga.
Låt $n$ vara dimensionen av $D$ .
Vi identifierar de reella multiplerna av $1$ med $R$ .
När vi skriver $a \leq 0$ för ett element $a$ i $D$ , antar vi tyst att $a$ finns i $R$ .
Vi kan betrakta $D$ som ett ändligt dimensionellt $R$ - vektorrum . Varje element $d$ i $D$ definierar en endomorfism av $D$ genom vänstermultiplikation, vi identifierar $d$ med den endomorfismen. Därför kan vi tala om spåret av $d$ , och dess karakteristiska och minimala polynom .
För varje $z$ i $C$ definiera följande reella kvadratiska polynom:

Q(z;x)=x^{2}-2\operatörsnamn {Re} (z)x+|z|^{2}=(xz)(x-{\overline {z}})\in \mathbf {R} [x].

Observera att om

z \in C ∖ R

så är

Q (z; x)

irreducerbar över

R

.

Påståendet

Nyckeln till argumentet är följande

Krav. Mängden

V

av alla element

a

av

D

så att

a 2 \leq 0

är ett vektordelrum av

D

med dimensionen

n-1

. Dessutom

D = R \oplus V

som

R

-vektorrum, vilket innebär att

V

genererar

D

som en algebra.

Bevis för påstående: Låt $m$ vara dimensionen av $D$ som ett $R$ -vektorrum, och välj $a$ i $D$ med det karakteristiska polynomet $p (x)$ . Med algebras grundläggande sats kan vi skriva

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})(x-z_{1})(x-{\overline {z_{1}}})\cdots (x-z_{s})(x-{\överlinje {z_{s}}}),\qquad t_{i}\in \mathbf {R} ,\quad z_{j}\in \mathbf {C} \backslash \mathbf {R} .

Vi kan skriva om $p (x)$ i termer av polynomen $Q (z; x)$ :

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})Q(z_{1};x)\cdots Q(z_{s};x).

Eftersom $z j ∈ C \ R$ , polynomen $Q (z j; x)$ är alla irreducerbara över $R$ . Av Cayley–Hamiltons sats, $p (a) = 0$ och eftersom $D$ är en divisionsalgebra, följer att antingen $a - t i = 0$ för något $i$ eller att $Q (z j; a) = 0$ för något $j$ . Det första fallet antyder att $a$ är verkligt. I det andra fallet följer det att $Q (z j; x)$ är det minimala polynomet av $a$ . Eftersom $p (x)$ har samma komplexa rötter som det minimala polynomet och eftersom det är verkligt följer det det

p(x)=Q(z_{j};x )^{k}=\left(x^{2}-2\operatörsnamn {Re} (z_{j})x+|z_{j}|^{2}\right)^{k}

Eftersom $p (x)$ är det karakteristiska polynomet för $a$ är koefficienten $x 2 k -1$ i $p (x)$ $tr(a)$ upp till ett tecken. Därför läser vi från ovanstående ekvation att vi har: $tr(a) = 0$ om och endast om $Re(z j) = 0$ , med andra ord $tr(a) = 0$ om och endast om $a 2 = -| z j | 2 < 0$ .

Så $V$ är delmängden av alla $a$ med $tr(a) = 0$ . I synnerhet är det ett vektorunderrum. Rang -nollitetssatsen antyder då att $V$ har dimensionen $n - 1$ eftersom det är kärnan i $\operatornamn {tr} :D\to \mathbf {R}$ . Eftersom $R$ och $V$ är disjunkta (dvs de uppfyller $\mathbf {R} \cap V=\{0\}$ ), och deras dimensioner summerar till $n$ , har vi att $D = R \oplus V$ .

Slutet

För $a, b$ i $V$ definierar $B (a, b) = ( - ab - ba)/2$ . På grund av identiteten $(a + b) 2 - a 2 - b 2 = ab + ba$ , följer att $B (a, b)$ är reell. Dessutom, eftersom $a 2 \leq 0$ , har vi: $B (a, a) > 0$ för $a \neq 0$ . Således $B$ en positiv definitiv symmetrisk bilinjär form , med andra ord en inre produkt på $V$ .

Låt $W$ vara ett delrum av $V$ som genererar $D$ som en algebra och som är minimalt med avseende på denna egenskap. Låt $e 1, ..., e n$ vara en ortonormal bas för $W$ med avseende på $B$ . Då innebär ortonormalitet att:

e_{i}^{2}=-1,\quad e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}.

Om $n = 0$ så är $D$ isomorf till $R$ .

Om $n = 1$ , så genereras $D av$ $1$ och $e 1$ under förutsättning att förhållandet $e 21 = -1$ . Därför är det isomorft till $C$ .

Om $n = 2$ har det visats ovan att $D$ genereras av $1, e 1, e 2$ beroende på relationerna

e_{1}^{2}= e_{2}^{2}=-1,\quad e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},\quad (e_{1}e_{2})(e_{1} e_{2})=-1.

Detta är just relationerna för $H$ .

Om $n > 2 kan$ D $inte$ vara en divisionsalgebra. Antag att $n > 2$ . Låt $u = e 1 e 2 e n$ . Det är lätt att se att $u 2 = 1$ (detta fungerar bara om $n > 2$ ). Om $D$ vore en divisionsalgebra, innebär $0 = u 2 - 1 = (u - 1)(u + 1)$ $u = \pm1$ , vilket i sin tur betyder: $e n = \mp e 1 e 2$ och så $e 1, .. ., e n -1$ genererar $D$ . Detta motsäger minimaliteten hos $W$ .

Anmärkningar och relaterade resultat

Det faktum att $D$ genereras av $e 1, ..., e n$ beroende av ovanstående relationer betyder att $D$ är Clifford-algebra för $R n$ . Det sista steget visar att de enda riktiga Clifford-algebrorna som är divisionsalgebror är $0 Cℓ , Cℓ 1$ och $Cℓ 2$ .
Som en konsekvens är de enda kommutativa divisionsalgebrorna $R$ och $C$ . Observera också att $H$ inte är en $C$ -algebra. Om så vore fallet måste mitten av $H$ innehålla $C$ , men mitten av $H$ är $R$ . Därför är den enda änddimensionella divisionalgebra över $C$ $C$ själv.
Denna sats är nära besläktad med Hurwitzs sats , som säger att de enda reella normerade divisionalgebrorna är $R, C, H$ , och den (icke-associativa) algebran $O$ .
Pontryagin variant. Om $D$ är en ansluten , lokalt kompakt delningsring , då är $D = R, C$ eller $H.$

Ray E. Artz (2009) Scalar Algebras and Quaternions , Theorem 7.1 "Frobenius Classification", sida 26.
Ferdinand Georg Frobenius (1878) " Über lineare Substitutionen und bilineare Formen ", Journal für die reine und angewandte Mathematik 84:1–63 ( Crelle's Journal ). Omtryckt i Gesammelte Abhandlungen Band I, s. 343–405.
Yuri Bahturin (1993) Basic Structures of Modern Algebra , Kluwer Acad. Pub. s. 30–2 ISBN 0-7923-2459-5 .
Leonard Dickson (1914) Linjära algebras , Cambridge University Press . Se §11 "Algebra av riktiga kvartjoner; dess unika plats bland algebror", sidorna 10 till 12.
RS Palais (1968) "The Classification of Real Division Algebras" American Mathematical Monthly 75:366–8.
Lev Semenovich Pontryagin , Topological Groups , sid 159, 1966.