Övernaturligt tal

Hasse diagram av gitter av övernaturliga tal; andra primtal än 2 och 3 utelämnas för enkelhets skull.

Inom matematiken är de övernaturliga talen , ibland kallade generaliserade naturliga tal eller Steinitztal , en generalisering av de naturliga talen . De användes av Ernst Steinitz 1910 som en del av hans arbete med fältteori .

Ett övernaturligt tal $\omega$ är en formell produkt :

$\omega =\prod _{p}p^{n_{p}},$

där $p$ löper över alla primtal , och varje $n_{p}$ är noll, ett naturligt tal eller oändlighet . Ibland används ${\displaystyle v_{p}(\omega )} istället för$$n_{p}$ . Om ingen $n_{p}=\infty$ och det bara finns ett ändligt antal icke-noll $n_{p}$ så återställer vi de positiva heltalen. Lite mindre intuitivt, om alla $n_{p}$ är $\infty$ , får vi noll. Övernaturliga tal sträcker sig bortom naturliga tal genom att tillåta möjligheten för oändligt många primtalsfaktorer och genom att tillåta ett givet primtal att dividera $\omega$ "oändligt ofta", genom att ta det primtalets motsvarande exponent som symbolen $\infty$ .

Det finns inget naturligt sätt att lägga till övernaturliga tal, men de kan multipliceras med $\prod _{p}p^{n_ {p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}$ . På samma sätt sträcker sig begreppet delbarhet till de övernaturliga med $\omega _{1}\mid \omega _{2}$ om ${\ displaystyle v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})}$ för alla $p$ . Begreppet minsta gemensamma multipel och största gemensamma divisor kan också generaliseras för övernaturliga tal, genom att definiera

$\displaystyle \operatörsnamn {lcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{ p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}$

och

$\displaystyle \operatörsnamn {gcd} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{ p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}$ .

Med dessa definitioner är gcd eller lcm för oändligt många naturliga tal (eller övernaturliga tal) ett övernaturligt tal. Vi kan också utöka de vanliga $p$ -adiska ordningsfunktionerna till övernaturliga tal genom att definiera $v_{p}(\omega )=n_{p}$ för varje ${ \displaystyle p}$ .

Övernaturliga tal används för att definiera ordningar och index för profinita grupper och undergrupper, i vilket fall många av satserna från finita gruppteorin överförs exakt. De används för att koda de algebraiska förlängningarna av ett ändligt fält .

Övernaturliga tal uppstår också i klassificeringen av likformigt hyperfinita algebror .

Se även

• Vinstgivande heltal

•    Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989). Oändliga algebraiska förlängningar av finita fält . Samtida matematik. Vol. 95. Providence, RI: American Mathematical Society . s. 23–26. ISBN 0-8218-5101-2 . Zbl 0674.12009 .
•    Efrat, Ido (2006). Värderingar, beställningar och Milnor K -teori . Matematiska undersökningar och monografier. Vol. 124. Providence, RI: American Mathematical Society . sid. 125. ISBN 0-8218-4041-X . Zbl 1103.12002 .
•    Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Fältaritmetik . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 11 (3:e upplagan). Springer-Verlag . sid. 520. ISBN 978-3-540-77269-9 . Zbl 1145.12001 .

externa länkar

• Planet Math: Övernaturligt tal