Klassificering av Clifford algebror

I abstrakt algebra , i synnerhet i teorin om icke-degenererade kvadratiska former på vektorrum , har strukturerna av finita dimensionella reella och komplexa Clifford-algebror för en icke-degenererad kvadratisk form klassificerats fullständigt. I varje fall är Clifford-algebra algebra isomorf till en hel matrisring över R , C eller H (kvarternionerna ) , eller till en direkt summa av två kopior av en sådan algebra, dock inte på ett kanoniskt sätt. Nedan visas att distinkta Clifford-algebror kan vara algebra-isomorfa , vilket är fallet med Cl _2,0 ( R ) och Cl _1,1 ( R ), som båda är isomorfa som ringar till ringen av två och två matriser över de reella talen.

Notation och konventioner

Clifford -produkten är den uppenbara ringprodukten för Clifford-algebra, och alla algebrahomomorfismer i den här artikeln gäller denna ringprodukt. Andra produkter som definieras inom Clifford algebror, som exteriörprodukten , används inte här. Den här artikeln använder (+) tecken konventionen för Clifford multiplikation så att

v^{2}=Q(v)

för alla vektorer v ∈ V , där Q är den kvadratiska formen på vektorrummet V . Vi kommer att beteckna algebra för n × n matriser med poster i divisionalgebra K med M _n ( K ) eller M( n , K ) . Den direkta summan av två sådana _{identiska algebror kommer} Mn ( K⊕K ) ) Mn ( K _att ⊕Mn ( K ) = _Mn2 ( K _{) , vilket}^är betecknas med isomorft till .

Bott periodicitet

Clifford-algebror uppvisar en 2-faldig periodicitet över de komplexa talen och en 8-faldig periodicitet över de reella talen, vilket är relaterat till samma periodiciteter för homotopigrupper i den stabila enhetsgruppen och den stabila ortogonala gruppen , och kallas Bott-periodicitet . Sambandet förklaras av den geometriska modellen av slingrums tillvägagångssätt till Bott-periodicitet: deras 2-/8-faldiga periodiska inbäddningar av de klassiska grupperna i varandra (motsvarande isomorfismgrupper av Clifford-algebras), och deras successiva kvotienter är symmetriska utrymmen som är homotopi ekvivalenta med slingutrymmena i den enhetliga/ortogonala gruppen.

Komplext fodral

Det komplexa fallet är särskilt enkelt: varje icke degenererad kvadratisk form på ett komplext vektorrum är ekvivalent med standarddiagonalformen

Q(u)=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{ n}^{2},

där n = dim V , så det finns i huvudsak bara en Clifford-algebra i varje dimension. Detta beror på att de komplexa talen inkluderar $i$ med vilken $-u_{k}^{2}=+(iu_{k})^{2 }$ och så positiva eller negativa termer är likvärdiga. Vi kommer att beteckna Clifford-algebra på C ⁿ med standardkvadratformen med Cl _n ( C ).

Det finns två separata fall att överväga, beroende på om n är jämnt eller udda. När n är jämn är algebra Cl _n ( C ) central enkel och är därför enligt Artin-Wedderburns sats isomorf till en matrisalgebra över C . När n är udda inkluderar mitten inte bara skalärerna utan även pseudoskalärerna (grad n element). Vi kan alltid hitta en normaliserad pseudoskalär ω så att ω ² = 1 . Definiera operatörerna

P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega ).

Dessa två operatorer bildar en komplett uppsättning ortogonala idempotenter , och eftersom de är centrala ger de en nedbrytning av Cl _n ( C ) till en direkt summa av två algebror

\operatorname {Cl} _{n}(\mathbf {C} )=\operatörsnamn {Cl} _{ n}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \operatörsnamn {Cl} _{n}^{-}(\mathbf {C} ),

var

\operatörsnamn {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )=P_{\pm }\operatörsnamn {Cl} _{n}(\mathbf {C} ).

Algebrorna $\operatorname {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )$ är bara de positiva och negativa egenrymden för ω och P _± är bara projektionsoperatörer. Eftersom ω är udda blandas dessa algebror av α (den linjära kartan på V definierad av v ↦ − v ):

\alpha \left(\operatörsnamn {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )\right )=\operatörsnamn {Cl} _{n}^{\mp }(\mathbf {C} ),

och därför isomorf (eftersom α är en automorfism ). Dessa två isomorfa algebra är var och en central enkla och så, återigen, isomorfa till en matrisalgebra över C . Storleken på matriserna kan bestämmas utifrån det faktum att dimensionen av Cl _n ( C ) är 2 ⁿ . Vad vi har då är följande tabell:

n	Cl _n ( C )
2 m	M(2 ^m , C )
2 m +1	M(2 ^m , C ) ⊕ M(2 ^m , C )

Den jämna subalgebra av Cl _n ( C ) är (icke-kanoniskt) isomorf till Cl _{n −1} ( C ). När n är jämn, kan den jämna subalgebra identifieras med blockets diagonala matriser (när de är uppdelade i 2×2 blockmatris) . När n är udda är den jämna subalgebran de element av M(2 ^m , C ) ⊕ M(2 ^m , C ) för vilka de två faktorerna är identiska. Att välja endera biten ger sedan en isomorfism med Cl _{n −1} ( C ) ≅ M(2 ^m , C ) .

Verkligt fall

Det verkliga fallet är betydligt mer komplicerat, uppvisar en periodicitet på 8 snarare än 2, och det finns en 2-parametersfamilj av Clifford-algebror.

Klassificering av kvadratiska former

För det första finns det icke-isomorfa kvadratiska former av en given grad, klassificerade efter signatur.

Varje icke degenererad kvadratisk form på ett verkligt vektorrum är ekvivalent med standarddiagonalformen:

Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{ p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}

där n = p + q är dimensionen av vektorrummet. Heltalsparet ( p , q ) kallas signaturen för kvadratformen. Det verkliga vektorrummet med denna kvadratiska form betecknas ofta R ^{p , q} . Clifford-algebra på Rp ^{q , q} betecknas Cl _{p , (} R ) .

En standard ortonormalbas { e _i } för R ^{p , q} består av n = p + q ömsesidigt ortogonala vektorer, varav p har norm +1 och q av vilka har norm −1.

Enhet pseudoskalär

Enheten pseudoskalär i Cl _{p , q} ( R ) definieras som

\omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.

Detta är både ett slags Coxeter-element (produkt av reflektioner) och ett längsta element i en Coxeter-grupp i Bruhat-ordningen ; detta är en analogi. Den motsvarar och generaliserar en volymform (i den yttre algebra ; för den triviala kvadratiska formen är enheten pseudoskalär en volymform), och lyfter reflektion genom origo (vilket betyder att bilden av enheten pseudoskalär är reflektion genom origo, i den ortogonala gruppen ).

För att beräkna kvadraten $\omega ^{2}=(e_{1}e_{2}\cdots e_{n} )(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})$ , man kan antingen vända ordningen på den andra gruppen, vilket ger ${ \displaystyle {\mbox{sgn}}(\sigma )e_{1}e_{2}\cdots e_{n}e_{n}\cdots e_{2}e_{1}} , eller tillämpa en perfekt blandning$ , vilket ger ${\mbox{sgn}}(\sigma )(e_{1}e_{1}e_{2}e_{2} \cdots e_{n}e_{n})$ . Dessa båda har tecken $(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{ n(n-1)/2}$ , som är 4-periodisk ( bevis ), och kombinerat med $e_{i}e_{i}=\pm 1$ , visar detta att kvadraten på ω ges av

\omega ^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{q}= (-1)^{\frac {(pq)(pq-1)}{2}}={\begin{cases}+1&p-q\equiv 0,1\mod {4}\\-1&p-q\ ekv. 2,3\mod {4}.\end{cases}}

Observera att, till skillnad från det komplexa fallet, är det i allmänhet inte möjligt att hitta en pseudoskalär som kvadrerar till +1.

Centrum

Om n (motsvarande p − q ) är jämn, är algebra Cl _{p , q} ( R ) central enkel och så isomorf till en matrisalgebra över R eller H enligt Artin–Wedderburns sats .

Om n (motsvarande p − q ) är udda så är algebra inte längre central enkel utan har snarare ett centrum som inkluderar såväl pseudoskalärerna som skalärerna. Om n är udda och ω ² = +1 (motsvarande, om p − q ≡ 1 (mod 4) ) så sönderfaller, precis som i det komplexa fallet, algebra Cl _{p , q} ( R ) till en direkt summa av isomorfa algebror

\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} ) =\operatörsnamn {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatörsnamn {Cl} _{p,q}^{-}(\mathbf {R} ),

var och en är central enkel och så isomorf till matrisalgebra över R eller H .

Om n är udda och ω ² = −1 (motsvarande, om p − q ≡ −1 (mod 4) ) så är mitten av Cl _{p , q} ( R ) isomorft till C och kan betraktas som en komplex algebra. Som en komplex algebra är den central enkel och så isomorf till en matrisalgebra över C .

Klassificering

Allt som allt finns det tre egenskaper som bestämmer klassen av algebra Cl _{p , q} ( R ):

signatur mod 2: n är jämnt/udda: central enkel eller inte
signatur mod 4: ω ² = ±1 : om inte central enkel, centrum är R ⊕ R eller C
signatur mod 8: Brauer-klassen för algebra ( n jämn) eller jämn subalgebra ( n udda) är R eller H

Var och en av dessa egenskaper beror endast på signaturen p − q modulo 8. Den fullständiga klassificeringstabellen ges nedan. Storleken på matriserna bestäms av kravet att Cl _{p , q} ( R ) har dimensionen 2 ^{p + q} .

p − q mod 8	ω ²	Cl _{p , q} (R) ( n = p + q )	p − q mod 8	ω ²	Cl _{p , q} (R) ( n = p + q )
0	+	M(2n ^{/ 2} , R )	1	+	M(2 ^{( n −1)/2} , R ) ⊕ M(2 ^{( n −1)/2} , R )
2	−	M(2 ^n/2 , R )	3	−	M(2 ^{( n -1)/2} , C )
4	+	M(2 ^{( n -2)/2} , H )	5	+	M(2 ^{( n −3)/2} , H ) ⊕ M(2 ^{( n −3)/2} , H )
6	−	M(2 ^{( n -2)/2} , H )	7	−	M(2 ^{( n -1)/2} , C )

kan ses att av alla matrisringtyper som nämns finns det bara en typ som delas mellan både komplexa och reella algebror: typen M(2 ^{m ,} C ). Till exempel bestäms _Cl2 ( C ) och Cl3,0 ₍ R ) båda till att vara _M2 ( C ). Det är viktigt att notera att det finns en skillnad i de klassificerande isomorfismer som används. Eftersom Cl ₂ ( C ) är algebra isomorf via en C -linjär karta (som nödvändigtvis är R -linjär), och Cl _3,0 ( R ) är algebra isomorf via en R -linjär karta, Cl ₂ ( C ) och Cl _3,0 ( R ) är R -algebra isomorfa.

En tabell över denna klassificering för p + q ≤ 8 följer. Här p + q vertikalt och p − q går horisontellt (t.ex. algebran Cl _1,3 ( R ) ≅ M ₂ ( H ) finns i rad 4, kolumn −2).

8

7

6

5

4

3

2

1

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

0

R

1

R ²

C

2

M ₂ ( R )

H

3

M ₂ ( C )

M ₂² ( R )

M ₂ ( C )

H ²

4

M ₂ ( H )

M ₄ ( R )

M ₂ ( H )

5

M ₂² ( H )

M ₄ ( C )

M ₄² ( R )

M ₄ ( C )

M ₂² ( H )

M ₄ ( C )

6

M ₄ ( H )

M ₈ ( R )

M ₄ ( H )

M ₈ ( R )

7

M ₈ ( C )

M ₄² ( H )

M ₈ ( C )

M ₈² ( R )

M ₈ ( C )

M ₄² ( H )

M ₈ ( C )

M ₈² ( R )

8

M ₁₆ ( R )

M ₈ ( H )

M ₁₆ ( R )

M ₈ ( H )

M ₁₆ ( R )

ω ²

+

−

+

−

+

−

+

−

+

Symmetrier

Det finns ett trassligt nät av symmetrier och relationer i tabellen ovan.

{ \begin{aligned}\operatörsnamn {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )&=\mathrm {M} _{2}(\operatörsnamn {Cl} _{p,q} (\mathbf {R} ))\\\operatörsnamn {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )&=\operatörsnamn {Cl} _{p,q+4}(\mathbf {R } )\end{aligned}}

Att gå över 4 fläckar i valfri rad ger en identisk algebra.

Från dessa Bott periodicitet följer:

\operatörsnamn {Cl} _{p+8,q}(\mathbf {R} )=\operatörsnamn {Cl} _{p+4,q+4}(\mathbf {R} )=M_{2 ^{4}}(\operatörsnamn {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).

Om signaturen uppfyller p − q ≡ 1 (mod 4) då

\operatörsnamn {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatörsnamn {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} ).

(Tabellen är symmetrisk om kolumner med signatur ..., −7, −3, 1, 5, ...)

Så om signaturen uppfyller p − q ≡ 1 (mod 4) ,

\operatörsnamn {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatörsnamn {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} )=\operatörsnamn {Cl} _{p-k+k,q+k}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatörsnamn {Cl} _{pk,q}(\mathbf {R } ))=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatörsnamn {Cl} _{p,qk}(\mathbf {R} )).

Se även

Dirac algebra Cl _1,3 ( C )
Pauli algebra Cl _3,0 ( R )
Rymdtidsalgebra Cl _1,3 ( R )
Clifford modul
Spin representation

Budinich, Paolo; Trautman, Andrzej (1988). Det spinoriala schackbrädet . Springer Verlag. ISBN 978-3-540-19078-3 .
Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (2016). Spinngeometri . Princeton Mathematical Series. Vol. 38. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8391-2 .
Porteous, Ian R. (1995). Clifford Algebras och de klassiska grupperna . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 50. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55177-9 .