Dubbel quaternion

Plakett på Broom bridge (Dublin) till minne av Hamiltons uppfinning av quaternions

Inom matematiken är de dubbla kvaternionerna en 8-dimensionell verklig algebra som är isomorf till tensorprodukten av kvaternionerna och de dubbla talen . Sålunda kan de konstrueras på samma sätt som kvaternionerna, förutom att använda dubbla tal istället för reella tal som koefficienter. En dubbel kvaternion kan representeras i formen A + ε B , där A och B är vanliga kvartjoner och ε är den dubbla enheten, som uppfyller ε 2 = 0 och pendlar med varje element i algebra. Till skillnad från quaternions bildar de dubbla quaternions inte en divisionsalgebra .

Inom mekanik används de dubbla kvaternionerna som ett talsystem för att representera stela transformationer i tre dimensioner. Eftersom utrymmet för dubbla kvaternioner är 8-dimensionellt och en stel transformation har sex reella frihetsgrader, tre för translationer och tre för rotationer, används dubbla kvaternioner som följer två algebraiska begränsningar i denna applikation.

På samma sätt som rotationer i 3D-rymden kan representeras av kvaternioner av enhetslängd, kan stela rörelser i 3D-rymden representeras av dubbla kvaternioner av enhetslängd. Detta faktum används i teoretisk kinematik (se McCarthy), och i applikationer till 3D- datorgrafik , robotik och datorseende . Polynom med koefficienter givna av (reell norm som inte är noll) dubbla kvaternioner har också använts i samband med design av mekaniska länkar .

Historia

WR Hamilton introducerade quaternions 1843, och 1873 fick WK Clifford en bred generalisering av dessa siffror som han kallade biquaternions , vilket är ett exempel på vad som nu kallas en Clifford-algebra .

År 1898 använde Alexander McAulay Ω med Ω 2 = 0 för att generera den dubbla quaternion algebra. Hans terminologi om "oktonioner" höll dock inte fast då dagens oktonioner är en annan algebra.

I Ryssland utvecklade Aleksandr Kotelnikov dubbla vektorer och dubbla kvaternioner för användning i studiet av mekanik.

År 1891 insåg Eduard Study att denna associativa algebra var idealisk för att beskriva gruppen av rörelser i det tredimensionella rummet . Han vidareutvecklade idén i Geometrie der Dynamen 1901. BL van der Waerden kallade strukturen "Study biquaternions", en av tre åttadimensionella algebror som kallas biquaternions .

Formler

För att beskriva operationer med dubbla quaternioner är det bra att först överväga quaternions .

En kvaternion är en linjär kombination av baselementen 1, i , j och k . Hamiltons produktregel för i , j och k skrivs ofta som

Beräkna i ( ijk ) = − jk = − i , för att få jk = i , och ( ijk ) k = − ij = − k eller ij = k . Nu eftersom j ( jk ) = ji = − k , ser vi att denna produkt ger ij = − ji , som kopplar kvarternioner till egenskaperna hos determinanter.

0 Ett bekvämt sätt att arbeta med kvaternionprodukten är att skriva en kvaternion som summan av en skalär och en vektor (strängt taget en bivector ), det vill säga 0 A = a + A , där a är ett reellt tal och . A = A 1 i + A2j + A3k är en tredimensionell vektor Vektorpunkten och korsoperationerna kan nu användas för att definiera kvaternionprodukten av 0 A = a + A och 0 C = c + C som

En dubbelkvarternion brukar beskrivas som en kvartjon med dubbla tal som koefficienter. Ett dubbeltal är ett ordnat par â =( a , b ) . Två dubbla tal adderas komponentvis och multiplicera med regeln â ĉ = ( a , b ) ( c , d ) = ( ac , ad + bc ) . Dubbla tal skrivs ofta på formen â = a + ε b , där ε är den dubbla enheten som pendlar med i , j , k och har egenskapen ε 2 = 0 .

Resultatet är att en dubbel kvaternion kan skrivas som ett ordnat par av kvaternioner ( A , B ) . Två dubbla kvaternioner adderas komponentvis och multiplicera med regeln,

Det är bekvämt att skriva en dubbelkvarternion som summan av en dubbel skalär och en dubbelvektor, 0 Â = â + A , där 0 â = ( a , b ) och A = ( A , B ) är den dubbla vektorn som definierar en skruv . Denna notation tillåter oss att skriva produkten av två dubbla kvaternioner som

Tillägg

Tillägget av dubbla kvaternioner definieras komponentvis så att givet,

och

sedan

Multiplikation

Multiplikation av två dubbla kvaternioner följer av multiplikationsreglerna för kvaternionenheterna i, j, k och kommutativ multiplikation med den dubbla enheten ε. I synnerhet givet

och

sedan

Observera att det inte finns någon BD- term, eftersom definitionen av dubbla tal kräver att ε 2 = 0 .

Detta ger oss multiplikationstabellen (observera att multiplikationsordningen är rad gånger kolumnen):

Multiplikationstabell för dubbla kvaternionenheter
(rad x kolumn) 1 i j k ε ε i e j e k
1 1 i j k ε ε i e j e k
i i −1 k j ε i −ε e k −ε j
j j k −1 i e j −ε k −ε ε i
k k j jag −1 e k e j −ε i −ε
ε ε ε i e j e k 0 0 0 0
ε i ε i −ε e k −ε j 0 0 0 0
e j e j −ε k −ε ε i 0 0 0 0
e k e k e j −ε i −ε 0 0 0 0

Konjugera

Konjugatet av en dubbel quaternion är förlängningen av konjugatet av en quaternion, det vill säga

Liksom med kvaternioner, är konjugatet av produkten av dubbla kvaternioner, Ĝ = ÂĈ , produkten av deras konjugat i omvänd ordning,

Det är användbart att introducera funktionerna Sc(∗) och Vec(∗) som väljer skalär- och vektordelarna i en kvartärnion, eller de dubbla skalära och dubbla vektordelarna i en dubbelkvaternion. I synnerhet om 0 Â = â + A , då

Detta tillåter definitionen av konjugatet av  som

eller,

Produkten av en dubbel kvaternion med dess konjugatutbyten

Detta är en dubbel skalär som är storleken i kvadrat på den dubbla kvartjonen.

Dubbeltalskonjugat

En andra typ av konjugat av en dubbelkvarternion ges genom att ta dubbeltalskonjugatet, givet av

Kvaternion- och dubbeltalskonjugaten kan kombineras till en tredje form av konjugat som ges av

I samband med dubbla kvaternioner kan termen "konjugat" användas för att betyda kvartjonkonjugatet, dubbeltalskonjugatet eller båda.

Norm

Normen för en dubbel quaternion | Â | beräknas med hjälp av konjugatet för att beräkna | Â | = Â Â * . Detta är ett dubbeltal som kallas storleken på den dubbla kvartjonen. Dubbla quaternioner med | Â | = 1 är enhetsdubbla kvaternioner .

Dubbla kvaternioner av magnitud 1 används för att representera rumsliga euklidiska förskjutningar. Lägg märke till att kravet att   * = 1 , introducerar två algebraiska begränsningar för komponenterna i  , dvs.

Omvänd

Om p + ε q är en dubbelkvarternion, och p inte är noll, så ges den inversa dubbelkvaternionen av

p -1 (1 - ε q p -1 ).

Elementen i delrummet { ε q : q ∈ H } har alltså inte inverser. Detta delrum kallas ett ideal inom ringteorin. Det råkar vara det unika maximala idealet för ringen av dubbla tal.

Gruppen av enheter i dubbeltalsringen består då av tal som inte är i idealet. De dubbla talen bildar en lokal ring eftersom det finns ett unikt maximalt ideal. Gruppen av enheter är en Lie - grupp och kan studeras med hjälp av exponentiell mappning . Dubbla kvaternioner har använts för att uppvisa transformationer i den euklidiska gruppen . Ett typiskt element kan skrivas som en skruvtransformation .

Dubbla kvaternioner och rumsliga förskjutningar

En fördel med den dubbla kvaternionformuleringen av sammansättningen av två rumsliga förskjutningar D B = ([ RB ] , b ) och DA = ([ RA ], a ) är att den resulterande dubbla kvaternionen direkt ger skruvaxeln och dual vinkeln för den sammansatta förskjutningen D C = D B D A .

I allmänhet är den dubbla kvaternionen associerad med en rumslig förskjutning D = ([ A ], d ) konstruerad från dess skruvaxel S = ( S , V ) och den dubbla vinkeln ( φ , d ) där φ är rotationen omkring och d glidningen längs denna axel, som definierar förskjutningen D . Den associerade dubbla quaternion ges av,

Låt sammansättningen av förskjutningen D B med D A vara förskjutningen D C = D B D A . Skruvaxeln och dubbla vinkeln för D C erhålls från produkten av de dubbla kvaternionerna av D A och D B , som ges av

Det vill säga att den sammansatta förskjutningen D C =D B D A har den associerade dubbla kvarternionen som ges av

Utöka denna produkt för att få

Dela båda sidor av denna ekvation med identiteten

för att uppnå

Detta är Rodrigues formel för skruvaxeln för en sammansatt förskjutning definierad i termer av skruvaxlarna för de två förskjutningarna. Han härledde denna formel 1840.

De tre skruvaxlarna A, B och C bildar en rumslig triangel och de dubbla vinklarna vid dessa hörn mellan de vanliga normalerna som bildar sidorna av denna triangel är direkt relaterade till de dubbla vinklarna för de tre rumsliga förskjutningarna.

Matrisform av dubbel quaternion multiplikation

Matrisrepresentationen av quaternion-produkten är bekväm för programmering av quaternion-beräkningar med hjälp av matrisalgebra, vilket också är sant för dubbla quaternion-operationer.

Kvaternionprodukten AC är en linjär transformation av operatorn A av komponenterna i kvartjonen C, därför finns det en matrisrepresentation av A som arbetar på vektorn som bildas av komponenterna i C.

Montera komponenterna i kvartärnionen 0 C = c + C i arrayen 0 C = (C 1 , C 2 , C 3 , c ) . Lägg märke till att komponenterna i vektordelen av quaternion listas först och skalären listas sist. Detta är ett godtyckligt val, men när denna konvention väl har valts måste vi följa den.

Kvaternionprodukten AC kan nu representeras som matrisprodukten

Produkten AC kan också ses som en operation av C på komponenterna i A, i vilket fall vi har

00 Den dubbla kvaternionprodukten Ĉ = (A, B)(C, D) = (AC, AD+BC) kan formuleras som en matrisoperation enligt följande. Montera komponenterna av Ĉ till den åttadimensionella arrayen Ĉ = (C 1 , C 2 , C 3 , c , D 1 , D 2 , D 3 , d ), sedan ges ÂĈ av 8x8-matrisprodukten

Som vi såg för kvaternioner kan produkten ÂĈ ses som operationen av Ĉ på koordinatvektorn Â, vilket betyder att ÂĈ också kan formuleras som,

Mer om rumsliga förskjutningar

Den dubbla kvaternionen för en förskjutning D=([A], d ) kan konstrueras från kvartärnionen S=cos(φ/2) + sin(φ/2) S som definierar rotationen [A] och vektorkvaternionen konstruerad från translationsvektorn d , given av D = di i + d 2 j + d 3 k. Med denna notation ges den dubbla kvaternionen för förskjutningen D=([A], d ) av

Låt Plücker-koordinaterna för en linje i riktningen x genom en punkt p i en rörlig kropp och dess koordinater i den fasta ramen som är i riktningen X genom punkten P ges av,

Sedan omvandlar den dubbla kvarteringen av förskjutningen av denna kropp Plücker-koordinater i den rörliga ramen till Plücker-koordinater i den fasta ramen med formeln

Med hjälp av matrisformen för den dubbla kvaternionprodukten blir detta,

Denna beräkning hanteras enkelt med hjälp av matrisoperationer.

Dubbla kvaternioner och 4×4 homogena transformationer

Det kan vara användbart, särskilt i stela kroppsrörelser, att representera enhetsdubbla kvaternioner som homogena matriser . Som ges ovan kan en dubbel kvaternion skrivas som: där r och d båda är kvaternioner. r - kvarternionen är känd som den reella eller roterande delen och -kvarternionen är känd som den dubbla delen eller förskjutningsdelen.

Rotationsdelen kan ges av

där är rotationsvinkeln kring riktningen som ges av enhetsvektor . Förskjutningsdelen kan skrivas som

.

Dual-quaternion motsvarigheten till en 3D-vektor är

och dess transformation med ges av

.

Dessa dubbla kvaternioner (eller faktiskt deras transformationer på 3D-vektorer) kan representeras av den homogena transformationsmatrisen

där den 3×3 ortogonala matrisen ges av

För 3D-vektorn

omvandlingen av T ges av

Anslutning till Clifford algebror

Förutom att vara tensorprodukten av två Clifford-algebror, quaternions och de dubbla talen , har de dubbla quaternions två andra formuleringar i termer av Clifford-algebror.

För det första är dubbla kvaternioner isomorfa till Clifford-algebra genererade av 3 antipendlingselement , , med och . Om vi ​​definierar och , så impliceras relationerna som definierar de dubbla kvaternionerna av dessa och vice versa. För det andra är de dubbla kvaternionerna isomorfa till den jämna delen av Clifford-algebra som genereras av 4 antipendlingselement med

För detaljer, se Clifford algebras: dubbla quaternions .

Eponymer

Eftersom både Eduard Study och William Kingdon Clifford använde och skrev om dubbla quaternions, refererar ibland författare till dubbla quaternions som "Study biquaternions" eller "Clifford biquaternions". Den senare eponymen har också använts för att hänvisa till split-biquaternions . Läs artikeln av Joe Rooney länkad nedan för att se en anhängare av WK Cliffords påstående. Eftersom påståendena från Clifford och Study är i strid, är det bekvämt att använda den nuvarande beteckningen dual quaternion för att undvika konflikter.

Se även

Anteckningar

Källor

Vidare läsning

externa länkar

  • DQrobotics : ett fristående bibliotek med öppen källkod för att använda dubbla kvaternioner inom robotmodellering och kontroll.