Ortogonalisering
I linjär algebra är ortogonalisering processen att hitta en uppsättning ortogonala vektorer som spänner över ett visst delrum . Formellt, med utgångspunkt i en linjärt oberoende uppsättning vektorer { v 1 , ... , v k } i ett inre produktutrymme (oftast det euklidiska rummet Rn ), resulterar ortogonalisering i en uppsättning ortogonala vektorer { u 1 , .. . , u k } som genererar samma delrum som vektorerna v 1 , ... , v k . Varje vektor i den nya uppsättningen är ortogonal mot alla andra vektorer i den nya uppsättningen; och den nya uppsättningen och den gamla uppsättningen har samma linjära spann .
Dessutom, om vi vill att de resulterande vektorerna alla ska vara enhetsvektorer , normaliserar vi varje vektor och proceduren kallas ortonormalisering .
Ortogonalisering är också möjlig med avseende på alla symmetriska bilinjära former (inte nödvändigtvis en inre produkt, inte nödvändigtvis över reella tal ), men standardalgoritmer kan stöta på division med noll i denna mer allmänna miljö.
Ortogonaliseringsalgoritmer
Metoder för att utföra ortogonalisering inkluderar:
- Gram–Schmidt-processen , som använder projektion
- Hushållarförvandling , som använder reflektion
- Ger rotation
- Symmetrisk ortogonalisering, som använder singularvärdets dekomposition
När man utför ortogonalisering på en dator är hushållartransformationen vanligtvis att föredra framför Gram-Schmidt-processen eftersom den är mer numeriskt stabil , dvs avrundningsfel tenderar att ha mindre allvarliga effekter.
Å andra sidan producerar Gram-Schmidt-processen den j:te ortogonaliserade vektorn efter den j:te iterationen, medan ortogonalisering med hjälp av Householder-reflektioner producerar alla vektorer endast i slutet. Detta gör endast Gram-Schmidt-processen tillämpbar för iterativa metoder som Arnoldi-iterationen .
Givens-rotationen är lättare parallelliserad än hushållartransformationer.
Symmetrisk ortogonalisering formulerades av Per-Olov Löwdin .
Lokal ortogonalisering
För att kompensera för förlusten av användbar signal i traditionella brusdämpande tillvägagångssätt på grund av felaktigt parameterval eller otillräckliga antaganden om brusnedsättning, kan en viktningsoperator appliceras på den initialt avbrutna sektionen för att hämta användbar signal från den initiala brussektionen. Den nya brusreduceringsprocessen kallas den lokala ortogonaliseringen av signal och brus. Den har ett brett utbud av tillämpningar inom många signalbehandlings- och seismiska utforskningsfält.
Se även
- ^ Löwdin, Per-Olov (1970). "Om nonortogonalitetsproblemet" . Framsteg inom kvantkemi . Vol. 5. Elsevier. s. 185–199.
- ^ Chen, Yangkang; Fomel, Sergey (2015). "Slumpmässig brusdämpning med lokal signal-och-brus-ortogonalisering". Geofysik . 80 (6): WD1–WD9. doi : 10.1190/GEO2014-0227.1 .