Period (algebraisk geometri)

I algebraisk geometri är en period ett tal som kan uttryckas som en integral av en algebraisk funktion över en algebraisk domän . Summor och produkter av perioder förblir perioder, så perioderna bildar en ring .

Maxim Kontsevich och Don Zagier gav en översikt över perioder och introducerade några gissningar om dem. Perioder uppstår också vid beräkning av de integraler som uppstår från Feynman-diagram , och det har varit intensivt arbete med att försöka förstå sambanden.

Definition

Ett reellt tal är en punkt om det är av formen

\int _{P(x,y,z,\ldots )\geq 0 }Q(x,y,z,\ldots )\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\ldots

där $P$ är ett polynom och $Q$ en rationell funktion på $\mathbb {R} ^{n}$ med rationella koefficienter . Ett komplext tal är en period om dess reella och imaginära delar är perioder.

En alternativ definition tillåter $P$ och $Q$ att vara algebraiska funktioner ; detta ser mer allmänt ut, men är likvärdigt. Koefficienterna för de rationella funktionerna och polynomen kan också generaliseras till algebraiska tal eftersom irrationella algebraiska tal kan uttryckas i termer av områden med lämpliga domäner.

I den andra riktningen kan $Q$ begränsas till att vara konstantfunktionen $1$ eller $-1$ , genom att ersätta integranden med en integral på $\pm 1$ över en region definierad av ett polynom i ytterligare variabler. Med andra ord är en (icke-negativ) period volymen av en region i $\mathbb {R} ^{n}$ definierad av en polynomolikhet .

Exempel

Förutom de algebraiska talen är följande siffror kända för att vara punkter:

Den naturliga logaritmen för ett positivt algebraiskt tal a , vilket är $\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x$
$π$ $=\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x$
Elliptiska integraler med rationella argument
Alla zetakonstanter ( Riemann-zetafunktionen för ett heltal ) och flera zetavärden
Specialvärden för hypergeometriska funktioner vid algebraiska argument
Γ ( p / q ) ^q för naturliga tal p och q .

Ett exempel på ett reellt tal som inte är en period ges av Chaitins konstant Ω . Alla andra icke- beräknbara tal ger också ett exempel på ett reellt tal som inte är en punkt. För närvarande finns det inga naturliga exempel på beräkningsbara tal som har visat sig inte vara perioder, men det är möjligt att konstruera artificiella exempel. Troliga kandidater för tal som inte är punkter inkluderar e , 1/ $π$ , och Euler-Mascheroni-konstanten γ .

Egenskaper och motivation

Perioderna är avsedda att överbrygga gapet mellan de algebraiska talen och de transcendentala talen . Klassen av algebraiska tal är för snäv för att inkludera många vanliga matematiska konstanter , medan uppsättningen av transcendentala tal inte kan räknas , och dess medlemmar är i allmänhet inte beräkningsbara .

Uppsättningen av alla perioder kan räknas, och alla perioder är beräkningsbara och i synnerhet definierbara .

Gissningar

Många av de konstanter som är kända för att vara perioder ges också av integraler av transcendentala funktioner . Kontsevich och Zagier noterar att det "tycks inte finnas någon universell regel som förklarar varför vissa oändliga summor eller integraler av transcendentala funktioner är perioder".

Kontsevich och Zagier antog att om en period ges av två olika integraler, så kan varje integral omvandlas till den andra genom att endast använda integralernas linjäritet (i både integranden och domänen), förändringar av variabler och Newton – Leibniz formel

\int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a )

(eller, mer allmänt, Stokes formel ).

En användbar egenskap hos algebraiska tal är att likheten mellan två algebraiska uttryck kan bestämmas algoritmiskt. Kontsevichs och Zagiers gissningar skulle antyda att jämlikhet mellan perioder också kan avgöras: olikhet mellan beräkningsbara realer är känd rekursivt uppräknad ; och omvänt , om två integraler överensstämmer, kan en algoritm bekräfta det genom att pröva alla möjliga sätt att omvandla en av dem till den andra.

Det antas att Eulers tal e och Euler–Mascheroni-konstanten γ inte är perioder.

Generaliseringar

Perioderna kan utökas till exponentiella perioder genom att tillåta integranden $Q$ att vara produkten av en algebraisk funktion och exponentialen av en algebraisk funktion. Denna förlängning inkluderar alla algebraiska potenser av e , gammafunktionen för rationella argument och värden för Bessel- funktioner .

Kontsevich och Zagier föreslår att det finns "indikationer" på att perioder naturligt kan generaliseras ännu mer, för att inkludera Eulers konstant γ. Med denna inkludering är "alla klassiska konstanter perioder i lämplig mening".

Se även

Kontsevich, Maxim ; Zagier, Don (2001). "Perioder" (PDF) . I Engquist, Björn; Schmid, Wilfried (red.). Matematik obegränsad—2001 och framåt . Berlin, New York City: Springer . s. 771–808. ISBN 9783540669135 . MR 1852188 .

Marcolli, Matilde (2010). "Feynman-integraler och motiv". European Congress of Mathematics . Eur. Matematik. Soc. Zürich. s. 293–332. arXiv : 0907.0321 .

Fotnoter

Vidare läsning

Belkale, Prakash; Brosnan, Patrick (2003), "Periods and Igusa local zeta functions", International Mathematics Research Notices , 2003 (49): 2655–2670, doi : 10.1155/S107379280313142X , ISSN 92802 ,-5MR 92802 , -5MR 92201
Waldschmidt, Michel (2006), "Transcendence of periods: the state of the art" (PDF) , Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN 1558-8599 , MR 2251476

externa länkar

PlanetMath: Period

Nummersystem _
Uppsättningar av definierbara siffror	Naturliga tal ( $\mathbb {N}$ ) Heltal ( $\mathbb {Z}$ ) Rationala tal ( $\mathbb {Q}$ ) Konstruerbara siffror Algebraiska tal ( $\mathbb {A}$ ) Stängda nummer Perioder Beräknbara siffror Aritmetiska tal Mängdteoretiskt definierbara tal Gaussiska heltal
Sammansättning algebror	Divisionsalgebror : Reella tal ( $\mathbb {R}$ ) Komplexa tal ( $\mathbb {C}$ ) Kvaternioner ( $\mathbb {H}$ ) Oktonioner ( $\mathbb {O}$ )
Delade typer	Över $\mathbb {R}$ : Split-komplexa tal Split-quaternions Split-oktonioner över $\mathbb {C}$ : Bikomplexa tal Biquaternions Bioktonioner
Annat hyperkomplex	Dubbla nummer Dubbla quaternioner Dubbla-komplexa tal Hyperboliska kvaternioner Sedenioner ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternions Multikomplexa tal Geometrisk algebra / Clifford algebra Algebra av fysiskt utrymme Rumtidsalgebra
Andra typer	grundtal Utökade naturliga tal Irrationella siffror Luddiga siffror Hyperrealistiska siffror Levi-Civita fält Surrealistiska siffror Transcendentala tal Ordningstal p -adic tal ( p -adic solenoider ) Övernaturliga siffror Superrealistiska siffror Normala siffror
Klassificering Lista