Degenererad bilinjär form

För annan användning, se Degeneration .

Inom matematiken , närmare bestämt linjär algebra , är en degenererad bilinjär form f ( x , y ) på ett vektorrum V en bilinjär form så att kartan från V till V ^∗ (det dubbla rummet av V ) ges av v ↦ ( x ↦ f ( x , v )) är inte en isomorfism . En ekvivalent definition när V är finitdimensionell är att den har en icke-trivial kärna: det finns några icke-noll x i V så att

$f(x,y)=0\,$ för alla $\,y\in V.$

Icke degenererade former

En icke degenererad eller icke-singular form är en bilinjär form som inte är degenererad, vilket betyder att $v\mapsto (x\mapsto f(x,v))$ är en isomorfism , eller motsvarande i ändliga dimensioner, om och endast om

$f(x,y)=0$ för alla $y\in V$ innebär att $x=0$ .

De viktigaste exemplen på icke degenererade former är inre produkter och symplektiska former . Symmetriska icke degenererade former är viktiga generaliseringar av inre produkter, i det att ofta allt som krävs är att kartan $V\to V^{*}$ är en isomorfism, inte positivitet. Till exempel är ett grenrör med en inre produktstruktur på dess tangentutrymmen ett riemannskt grenrör , medan avslappning av detta till en symmetrisk icke degenererad form ger ett pseudo-riemannskt grenrör .

Använda determinanten

Om V är finitdimensionell så är, i förhållande till någon grund för V , en bilinjär form degenererad om och endast om determinanten för den associerade matrisen är noll – om och bara om matrisen är singular , och följaktligen kallas degenererade former också singular former . På samma sätt är en icke-degenererad form en för vilken den associerade matrisen är icke-singular , och följaktligen kallas icke-degenererade former också till som icke-singularformer . Dessa uttalanden är oberoende av den valda grunden.

Besläktade föreställningar

Om det för en kvadratisk form Q finns en vektor som inte är noll v ∈ V så att Q ( v ) = 0, så är Q en isotropisk kvadratisk form . Om Q har samma tecken för alla vektorer som inte är noll, är det en bestämd kvadratisk form eller en anisotropisk kvadratisk form .

Det finns den närbesläktade föreställningen om en unimodulär form och en perfekt parning ; dessa är överens om fält men inte över allmänna ringar .

Exempel

Studiet av verkliga, kvadratiska algebror visar skillnaden mellan typer av kvadratiska former. Produkten zz * är en kvadratisk form för vart och ett av de komplexa talen , delade komplexa talen och dubbla talen . För z = x + ε y är dubbeltalsformen x ² som är en degenererad kvadratisk form . Det delade komplexa fallet är en isotropisk form, och det komplexa fallet är en bestämd form.

De viktigaste exemplen på icke degenererade former är inre produkter och symplektiska former. Symmetriska icke degenererade former är viktiga generaliseringar av inre produkter, i det att ofta allt som krävs är att kartan $V\to V^{*}$ är en isomorfism, inte positivitet. Till exempel är ett grenrör med en inre produktstruktur på dess tangentutrymmen ett riemannskt grenrör, medan avslappning av detta till en symmetrisk icke degenererad form ger ett pseudo-riemannskt grenrör.

Oändliga dimensioner

Observera att i ett oändligt dimensionellt utrymme kan vi ha en bilinjär form ƒ för vilken $v\mapsto (x\mapsto f(x,v))$ är injektiv men inte surjektiv . Till exempel, på utrymmet av kontinuerliga funktioner på ett slutet avgränsat intervall , formen

$f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)\,dx$

är inte surjektiv: till exempel är Dirac-delta-funktionen i det dubbla rummet men inte i den form som krävs. Å andra sidan uppfyller denna bilinjära form

$f(\phi ,\psi )=0$ för alla $\phi$ innebär att $\psi =0.\,$

I ett sådant fall där ƒ tillfredsställer injektivitet (men inte nödvändigtvis surjektivitet), sägs ƒ vara svagt icke degenererad .

Terminologi

Om f försvinner identiskt på alla vektorer sägs det vara totalt degenererat . Givet valfri bilinjär form f på V uppsättningen av vektorer

$\{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ för alla }}y\in V\ }$

bildar ett totalt degenererat delrum av V . Kartan f är icke degenererad om och endast om detta delrum är trivialt.

Geometriskt motsvarar en isotrop linje av den kvadratiska formen en punkt på den associerade kvadratiska hyperytan i projektivt utrymme . En sådan linje är dessutom isotrop för den bilinjära formen om och endast om motsvarande punkt är en singularitet . Över ett algebraiskt stängt fält garanterar Hilberts Nullstellensatz därför att den kvadratiska formen alltid har isotropa linjer, medan den bilinjära formen har dem om och bara om ytan är singular .

Se även

• Dubbelt system
• Linjär form – Linjär karta från ett vektorrum till dess skalärfält