Cayley-Dickson konstruktion

I matematik producerar Cayley -Dickson-konstruktionen , uppkallad efter Arthur Cayley och Leonard Eugene Dickson , en sekvens av algebror över fältet av reella tal , var och en med dubbelt så stor dimension som den föregående. De algebror som produceras av denna process är kända som Cayley-Dickson algebror , till exempel komplexa tal , kvartjoner och oktonjoner . Dessa exempel är användbara sammansättningsalgebror som ofta används i matematisk fysik .

Cayley-Dickson-konstruktionen definierar en ny algebra som en kartesisk produkt av en algebra med sig själv, med multiplikation definierad på ett specifikt sätt (till skillnad från komponentvis multiplikation) och en involution som kallas konjugation . Produkten av ett element och dess konjugat (eller ibland kvadratroten av denna produkt) kallas normen .

Symmetrierna i det verkliga fältet försvinner när Cayley-Dickson-konstruktionen appliceras upprepade gånger: först förlora ordning , sedan kommutativitet av multiplikation, associativitet för multiplikation och nästa alternativitet .

Mer generellt tar Cayley-Dickson-konstruktionen vilken algebra som helst med involution till en annan algebra med en involution av två gånger dimensionen.

Hurwitzs teorem (sammansättningsalgebror) säger att de reella, komplexa talen, kvaternioner och oktonioner är de enda ( normerade ) divisionsalgebrorna (över de reella talen).

Synopsis

Cayley-Dickson algebras egenskaper
Algebra	Dimensionera	Beordrade	Multiplikationsegenskaper _				Nontriv. nolldelare _
Algebra	Dimensionera	Beordrade	Kommutativ	Associativ	Alternativ	Power-assoc.	Nontriv. nolldelare _
Riktiga nummer	1	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Nej
Komplext num.	2	Nej	Ja	Ja	Ja	Ja	Nej
Kvaternioner	4	Nej	Nej	Ja	Ja	Ja	Nej
Oktonioner	8	Nej	Nej	Nej	Ja	Ja	Nej
Sedenioner	16	Nej	Nej	Nej	Nej	Ja	Ja
	≥ 32	Nej	Nej	Nej	Nej	Ja	Ja

Cayley -Dickson-konstruktionen är på grund av att Leonard Dickson 1919 visar hur oktonionerna kan konstrueras som en tvådimensionell algebra över quaternions . I själva verket, med början med ett fält F , ger konstruktionen en sekvens av F -algebror med dimensionen ²ⁿ . För n = 2 är det en associativ algebra som kallas en kvartjonalgebra , och för n = 3 är det en alternativ algebra som kallas oktonionalgebra . Dessa instanser n = 1, 2 och 3 producerar sammansättningsalgebror som visas nedan.

Fallet n = 1 börjar med element ( a , b ) i F × F och definierar konjugatet ( a , b )* till ( a *, – b ) där a * = a i fallet n = 1, och bestäms därefter genom formeln. Kärnan i F - algebra ligger i definitionen av produkten av två element ( a , b ) och ( c , d ):

(a,b)\times (c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).

Proposition 1: För $z=(a,b)$ och $w=(c,d),$ är konjugatet av produkten $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$

bevis:

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{ *}-da)=(zw)^{*}.

Proposition 2: Om F -algebra är associativ och $N(z)=zz^{*}$ , då $N(zw)=N(z)N(w).$

bevis:

{\displaystyle N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^ {*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})} + termer som avbryter den associativa

egenskapen .

Stadier i konstruktionen av riktiga algebror

Detaljer om konstruktionen av de klassiska verkliga algebran är följande:

Komplexa tal som beställda par

De komplexa talen kan skrivas som ordnade par $(a, b)$ av reella tal $a$ och $b$ , där additionsoperatorn är komponentvis och med multiplikation definierad av

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,

Ett komplext tal vars andra komponent är noll associeras med ett reellt tal: det komplexa talet ( $a, 0)$ associeras med det reella talet $a$ .

Det komplexa konjugatet $(a, b)*$ av $(a, b)$ ges av

(a,b)^{*}=(a^{*},-b)=(a,-b )

eftersom $a$ är ett reellt tal och är dess eget konjugat.

Konjugatet har egenskapen att

(a,b)^{*}(a, b)=(aa+bb,ab-ba)=\vänster(a^{2}+b^{2},0\höger),\,

vilket är ett icke-negativt reellt tal. På detta sätt definierar konjugering en norm , vilket gör de komplexa talen till ett normerat vektorutrymme över de reella talen: normen för ett komplext tal $z$ är

|z|=\left(z^{*}z\right)^{\frac {1}{2}}.\,

Dessutom, för alla icke-noll komplexa tal $z$ , ger konjugering en multiplikativ invers ,

z^{-1}={\frac {z^{*}}{|z|^{2}}}.

Eftersom ett komplext tal består av två oberoende reella tal, bildar de ett tvådimensionellt vektorrum över de reella talen.

Förutom att de är av högre dimension kan de komplexa talen sägas sakna en algebraisk egenskap hos de reella talen: ett reellt tal är sitt eget konjugat.

Kvaternioner

Cayley Q8-graf av kvartärnionmultiplikation som visar multiplikationscykler av i (röd), j (grön) och k (blå). Håll muspekaren över eller klicka på en sökväg i SVG-filen för att markera den.

Nästa steg i konstruktionen är att generalisera multiplikations- och konjugationsoperationerna.

Bilda ordnade par $(a, b)$ av komplexa tal $a$ och $b$ , med multiplikation definierad av

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,

Små variationer på denna formel är möjliga; de resulterande konstruktionerna kommer att ge strukturer som är identiska upp till tecken på baser.

Ordningen på faktorerna verkar udda nu, men kommer att vara viktig i nästa steg.

Definiera konjugatet $(a, b)*$ av $(a, b)$ med

(a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,

Dessa operatorer är direkta förlängningar av deras komplexa analoger: om $a$ och $b$ tas från den reella delmängden av komplexa tal, har utseendet på konjugatet i formlerna ingen effekt, så operatorerna är desamma som för de komplexa talen.

Produkten av ett element som inte är noll med dess konjugat är ett icke-negativt reellt tal:

{\begin{aligned}(a,b)^{*}(a,b)&=(a^{*},-b)(a,b)\\&=(a^{*} a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})\\&=\left(|a|^{2}+|b|^{2},0\höger).\ ,\end{aligned}}

Liksom tidigare ger konjugatet alltså en norm och en invers för varje sådant ordnat par. Så i den mening vi förklarade ovan, utgör dessa par en algebra ungefär som de reella talen. De är quaternionerna , namngivna av Hamilton 1843.

Eftersom en quaternion består av två oberoende komplexa tal, bildar de ett fyrdimensionellt vektorrum över de reella talen.

Multiplikationen av kvaternioner är dock inte riktigt som multiplikationen av reella tal; den är inte kommutativ – det vill säga om $p$ och $q$ är kvaternioner är det inte alltid sant att $pq = qp$ .

Oktonioner

Alla steg för att skapa ytterligare algebror är desamma från oktonioner och framåt.

Den här gången bildar du ordnade par $(p, q)$ av quaternions $p$ och $q$ , med multiplikation och konjugation definierade exakt som för quaternions:

(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,

Observera dock att eftersom kvaternionerna inte är kommutativa blir ordningen på faktorerna i multiplikationsformeln viktig – om den sista faktorn i multiplikationsformeln var $r * q$ snarare än $qr *$ , formeln för multiplikation av ett element med dess konjugat skulle inte ge ett reellt tal.

Av exakt samma skäl som tidigare, ger konjugationsoperatorn en norm och en multiplikativ invers av alla element som inte är noll.

Denna algebra upptäcktes av John T. Graves 1843 och kallas oktonionerna eller " Cayley -talen".

Eftersom en oktonion består av två oberoende kvartjoner, bildar de ett åttadimensionellt vektorrum över de reella talen.

Förökningen av oktonjoner är till och med märkligare än kvaternioners; förutom att det är icke-kommutativt är det inte associativt – det vill säga om $p$ , $q$ och $r$ är oktonioner är det inte alltid sant att $(pq) r = p (qr)$ .

På grund av denna icke-associativitet har oktonioner ingen matrisrepresentation .

Ytterligare algebror

Algebra omedelbart efter oktonionerna kallas sedenioner . Den behåller en algebraisk egenskap som kallas kraftassociativitet , vilket betyder att om $s$ är en sedenion, $s n s m = s n + m$ , men förlorar egenskapen att vara en alternativ algebra och kan därför inte vara en sammansättningsalgebra .

Cayley-Dickson-konstruktionen kan bäras i oändlighet , vid varje steg producerar en kraftassociativ algebra vars dimension är dubbelt så stor som algebra i föregående steg. Alla algebror som genereras på detta sätt över ett fält är kvadratiska : det vill säga varje element uppfyller en andragradsekvation med koefficienter från fältet.

1954 undersökte RD Schafer algebrorna som genererades av Cayley-Dickson-processen över ett fält $F$ och visade att de tillfredsställer den flexibla identiteten . Han bevisade också att varje härledningsalgebra av en Cayley–Dickson-algebra är isomorf till härledningsalgebra för Cayley-tal, en 14-dimensionell Lie-algebra över $F$ . ^{[ citat behövs ]}

Modifierad Cayley–Dickson-konstruktion

Cayley–Dickson-konstruktionen, med utgångspunkt från de reella talen $\mathbb {R}$ , genererar sammansättningsalgebran $\mathbb {C}$ (de komplexa talen ) , $\mathbb {H }$ ( kvarternionerna ), och $\mathbb {O}$ ( oktonionerna ). Det finns också sammansättningsalgebror vars norm är en isotropisk kvadratisk form , som erhålls genom en liten modifiering, genom att ersätta minustecknet i definitionen av produkten av ordnade par med ett plustecken, enligt följande:

(a,b)(c,d)=(ac+d^{*}b,da+bc^{*}).

När denna modifierade konstruktion appliceras på ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ erhåller man de split-komplexa talen , som är ringisomorfa till den direkta produkten $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ;$ efter det får man split-quaternionerna , en associativ algebra som är isomorf till den för de 2 × 2 reella matriserna ; och split-octonions , som är isomorfa till $Zorn(R)$ . Att applicera den ursprungliga Cayley-Dickson-konstruktionen på de delade komplexen resulterar också i split-quaternions och sedan split-octonions.

General Cayley–Dickson konstruktion

Albert (1942 , s. 171) gav en lätt generalisering och definierade produkten och involutionen på $B = A \oplus A$ för $A$ en algebra med involution (med $(xy)* = y * x *$ ) att vara

{\begin{aligned} (p,q)(r,s)&=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,\\(p,q)^{*}&=(p^ {*},-q)\,\end{aligned}}

för $γ$ en additiv karta som pendlar med $*$ och vänster och höger multiplikation med vilket element som helst. (Över realerna är alla val av $γ$ ekvivalenta med −1, 0 eller 1.) I denna konstruktion är $A$ en algebra med involution, vilket betyder:

$A$ är en abelsk grupp under $+$
$A$ har en produkt som är vänster och höger fördelande över $+$
$A$ har en involution $*$ , med $(x *)* = x$ , $(x + y)* = x * + y *$ , $(xy)* = y * x *$ .

Algebra $B = A \oplus A$ producerad av Cayley–Dickson-konstruktionen är också en algebra med involution.

$B$ ärver fastigheter från $A$ oförändrade enligt följande.

Om $A$ har en identitet $1 A$ , så har $B$ en identitet $(1 A, 0)$ .
Om $A$ har egenskapen att $x + x *$ , $xx *$ associerar och pendlar med alla element, så har $B också det$ . Denna egenskap antyder att vilket element som helst genererar en kommutativ associativ *-algebra, så i synnerhet algebra är kraftassociativ.

Andra egenskaper hos $A$ inducerar endast svagare egenskaper hos $B$ :

Om $A$ är kommutativ och har trivial involution, så är $B$ kommutativ.
Om $A$ är kommutativ och associativ så är $B$ associativ.
Om $A$ är associativ och $x + x *$ , $xx *$ associerar och pendlar med allt, då är $B en$ alternativ algebra .

Anteckningar

Albert, AA (1942), "Kvadratiska former tillåter sammansättning", Annals of Mathematics , Second Series, 43 (1): 161–177, doi : 10.2307/1968887 , JSTOR 1968887 , MR 0006140 (se sid.
Baez, John (2002), "The Octonions" , Bulletin of the American Mathematical Society , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-ID 8 , S6C21X 8 . (Se " Avsnitt 2.2, The Cayley–Dickson Construction ")
Dickson, LE (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 20 (3): 155–171, doi : 10.2307/1967865 , JSTOR 1967865
Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). "Stora förintare i Cayley-Dickson algebras II". Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269-292. arXiv : math/0702075 . Bibcode : 2007math......2075B .
Kantor, IL; Solodownikow, AS (1978), Hyperkomplexe Zahlen , Leipzig: BG Teubner (följande referens ger den engelska översättningen av denna bok)
Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), Hypercomplex numbers , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96980-0 , MR 0996029
Hamilton, William Rowan (1847), "On Quaternions" , Proceedings of the Royal Irish Academy , 3 : 1–16, ISSN 1393-7197
Roos, Guy (2008). "Exceptionella symmetriska domäner §1: Cayley algebras". I Gilligan, Bruce; Roos, Guy (red.). Symmetrier i komplex analys . Samtida matematik. Vol. 468. American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4459-5 .

Vidare läsning

Daboul, Jamil; Delbourgo, Robert (1999). "Matrisrepresentationer av oktonioner och generaliseringar". Journal of Mathematical Physics . 40 (8): 4134–50. arXiv : hep-th/9906065 . Bibcode : 1999JMP....40.4134D . doi : 10.1063/1.532950 . S2CID 16932871 .

Nummersystem _
Uppsättningar av definierbara siffror	Naturliga tal ( $\mathbb {N}$ ) Heltal ( $\mathbb {Z}$ ) Rationala tal ( $\mathbb {Q}$ ) Konstruerbara siffror Algebraiska tal ( $\mathbb {A}$ ) Stängda nummer Perioder Beräknbara siffror Aritmetiska tal Mängdteoretiskt definierbara tal Gaussiska heltal
Sammansättning algebror	Divisionsalgebror : Reella tal ( $\mathbb {R}$ ) Komplexa tal ( $\mathbb {C}$ ) Kvaternioner ( $\mathbb {H}$ ) Oktonioner ( $\mathbb {O}$ )
Delade typer	Över $\mathbb {R}$ : Split-komplexa tal Split-quaternions Split-oktonioner över $\mathbb {C}$ : Bikomplexa tal Biquaternions Bioktonioner
Annat hyperkomplex	Dubbla nummer Dubbla quaternioner Dubbla-komplexa tal Hyperboliska kvaternioner Sedenioner ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternions Multikomplexa tal Geometrisk algebra / Clifford algebra Algebra av fysiskt utrymme Rumtidsalgebra
Andra typer	grundtal Utökade naturliga tal Irrationella siffror Luddiga siffror Hyperrealistiska siffror Levi-Civita fält Surrealistiska siffror Transcendentala tal Ordningstal p -adic tal ( p -adic solenoider ) Övernaturliga siffror Superrealistiska siffror Normala siffror
Klassificering Lista