Split-quaternion

Split-kvarternion multiplikation

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	1	−i
k	k	j	i	1

I abstrakt algebra bildar split -quaternions eller coquaternions en algebraisk struktur som introducerades av James Cockle 1849 under det senare namnet. De bildar en associativ algebra av dimension fyra över de reella talen .

Efter introduktionen på 1900-talet av koordinatfria definitioner av ringar och algebror , bevisades det att algebra för split-quaternions är isomorf till ringen av 2×2 reella matriser . Så studiet av split-quaternions kan reduceras till studiet av reella matriser, och detta kan förklara varför det finns få omnämnanden av split-quaternions i den matematiska litteraturen på 20- och 2000-talen.

Definition

De delade kvaternionerna är de linjära kombinationerna (med reella koefficienter) av fyra baselement 1, i, j, k som uppfyller följande produktregler:

i ² = −1 ,

j ² = 1 ,

k ² = 1 ,

ij = k = −ji .

Genom associativitet innebär dessa relationer

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

och även ijk = 1 .

Så de delade kvaternionerna bildar ett reellt vektorrum av dimension fyra med {1, i, j, k} som bas . De bildar också en icke-kommutativ ring genom att utvidga ovanstående produktregler genom distribution till alla split-quaternions.

Låt oss betrakta de kvadratiska matriserna

${\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix }0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

De uppfyller samma multiplikationstabell som motsvarande split-quaternions. Eftersom dessa matriser utgör basen för de två med två matriser, funktionen som mappar 1, i, j, k till ${\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}} ,{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}$ (respektive) inducerar en algebra-isomorfism från de delade-kvarternionerna till de två med två reella matriser.

0 Ovanstående multiplikationsregler innebär att de åtta elementen 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k bildar en grupp under denna multiplikation, som är isomorf till den dihedriska gruppen D ₄ , symmetrigruppen för en kvadrat . Faktum är att om man betraktar en kvadrat vars hörn är de punkter vars koordinater är eller 1 , är matrisen ${\boldsymbol {i}}$ medursrotationen av ett kvarts varv, ${\ fetsymbol {j}}$ är symmetrin runt den första diagonalen, och ${\boldsymbol {k}}$ är symmetrin runt x- axeln.

Egenskaper

Liksom quaternionerna som introducerades av Hamilton 1843, bildar de en fyrdimensionell verklig associativ algebra . Men i likhet med matriserna och till skillnad från quaternionerna innehåller de split-quaternions icke-triviala nolldelare , nilpotenta element och idempotenter . (Till exempel ) 1/2 ( 1 + j) en idempotent nolldelare, och i − j är nilpotent. Som en algebra över de reella talen är algebra för split-quaternions isomorf med algebra på 2×2 reella matriser med den ovan definierade isomorfismen.

Denna isomorfism gör det möjligt att identifiera varje split-quaternion med en 2×2-matris. Så varje egenskap hos split-quaternions motsvarar en liknande egenskap hos matriser, som ofta heter annorlunda.

Konjugatet av en delad kvaternion q = w + x + y j + z k i , är q ^∗ = w − x i − y j − z k . När det gäller matriser är konjugatet kofaktormatrisen som erhålls genom att byta ut diagonalposterna och byta tecken de två andra posterna.

Produkten av en split-quaternion med dess konjugat är den isotropiska kvadratiska formen :

$N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{ 2}-z^{2},$

som kallas normen för split-quaternion eller determinanten för den associerade matrisen.

Den reella delen av en delad kvaternion q = w + x i + y j + z k är w = ( q ^∗ + q )/2 . Det är lika med spåret av tillhörande matris.

Normen av en produkt av två split-quaternions är produkten av deras normer. På motsvarande sätt är determinanten för en produkt av matriser produkten av deras determinanter.

Det betyder att split-quaternions och 2×2-matriser bildar en sammansättningsalgebra . Eftersom det finns split-quaternions som inte är noll med en nollnorm, bildar split-quaternions en "delad sammansättningsalgebra" - därav deras namn.

En split-quaternion med en noll-norm har en multiplikativ invers , nämligen q ^∗ / N ( q ) . När det gäller matris är detta Cramer-regel som hävdar att en matris är inverterbar om och endast dess determinant är icke-noll, och i detta fall är inversen av matrisen kvoten av kofaktormatrisen med determinanten.

Isomorfismen mellan split-quaternions och 2×2-matriser visar att den multiplikativa gruppen av split-quaternions med en norm som inte är noll är isomorf med $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R } ),$ och gruppen av delade kvaternioner av norm 1 är isomorf med $\operatörsnamn {SL} (2,\mathbb {R} ).$

Representation som komplexa matriser

Det finns en representation av split-quaternionerna som en enhetlig associativ subalgebra av 2×2- matriserna med komplexa poster. Denna representation kan definieras av algebrahomomorfismen som mappar en delad kvaternion w + x i + y j + z k till matrisen

${\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.$

Här är i ( kursiv ) den imaginära enheten , som inte får förväxlas med den grundläggande delade quaternion i ( upprätt romersk) .

Bilden av denna homomorfism är matrisringen som bildas av formens matriser

${\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},$

där upphöjd $^{*}$ anger ett komplext konjugat .

Denna homomorfism kartlägger de delade kvaternionerna i, j, k på matriserna

${\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i \\-i&0\end{pmatrix}}.$

Beviset för att denna representation är en algebrahomomorfism är enkelt men kräver några tråkiga beräkningar, som kan undvikas genom att utgå från uttrycket av split-quaternions som 2×2 reella matriser och använda matrislikhet . Låt S vara matrisen

$S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.$

Sedan, applicerad på representationen av split-quaternions som 2×2 reella matriser, är ovanstående algebrahomomorfism matrislikheten.

$M\mapsto S^{-1}MS.$

Det följer nästan omedelbart att för en delad kvaternion representerad som en komplex matris, är konjugatet matrisen för kofaktorerna, och normen är determinanten.

Med representation av delade kvaternioner som komplexa matriser. matriserna för kvaternioner av norm 1 är exakt elementen i den speciella enhetsgruppen SU(1,1) . Detta används för i hyperbolisk geometri för att beskriva hyperboliska rörelser av Poincaré-skivmodellen .

Generering från delade-komplexa tal

Split-quaternions kan genereras genom modifierad Cayley-Dickson-konstruktion liknande metoden av LE Dickson och Adrian Albert . för divisionalgebrorna C , H och O . Multiplikationsregeln

$$(a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*} b,\ da+bc^{*})$$

används vid framställning av den fördubblade produkten i de verkliga delade fallen. Det dubblerade konjugatet $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ så att

$$N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).$$

Om a och b är delade-komplexa tal och delad-kvaternion $q=(a,b)=(( w+zj),(y+xj)),$

sedan

$$N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2 }+x^{2}-y^{2}-z^{2}.$$

Stratifiering

I det här avsnittet studeras och klassificeras subalgebrerna som genereras av en enstaka delad-kvarternion.

Låt p = w + x i + y j + z k vara en delad kvaternion. Dess w = 1/2 ) . ( p + p ^* reella del är _ Låt q = p – w = 1/2 icke del ( p – p ^* ) vara dess -realistiska . Man har q ^* = – q , och därför $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ Det följer att $p^{2}$ är ett reellt tal om och endast p är antingen ett reellt tal ( q = 0 och p = w ) eller en rent icke-reell delad kvaternion ( w = 0 och p = q ).

Strukturen för subalgebra $\mathbb {R} [p]$ som genereras av p följer rakt på sak. En har

$\mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\ mitt a,b\in \mathbb {R} \},$

och detta är en kommutativ algebra . Dess dimension är två utom om p är reell (i detta fall är subalgebra helt enkelt $\mathbb {R}$ ).

De icke reella elementen i $\mathbb {R} [p]$ vars kvadrat är reell har formen aq med $a\in \mathbb {R} .$

Tre fall måste övervägas, vilka beskrivs i de följande underavsnitten.

Nilpotent fodral

Med ovanstående notation, om $q^{2}=0,$ (det vill säga om q är nilpotent ), så är N ( q ) = 0 , det vill säga $x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.$ Detta innebär att det finns w och t i $\mathbb {R}$ så att 0 ≤ t < 2 π och

$p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .$

Detta är en parametrisering av alla split-quaternions vars icke verkliga del är nilpotent.

Detta är också en parametrisering av dessa subalgebra genom punkterna i en cirkel: de delade kvarternationerna av formen $\mathrm {i} +\cos(t )\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k}$ bildar en cirkel ; en subalgebra genererad av ett nilpotent element innehåller exakt en punkt i cirkeln; och cirkeln innehåller ingen annan punkt.

Den algebra som genereras av ett nilpotent element är isomorf till $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ och till planet med dubbla tal .

Nedbrytbart fodral

Hyperboloid av två ark , källa till split-complex imaginärer

Detta är fallet när N ( q ) >0 . Låter ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ har man

$q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

Det följer att 1 / n q tillhör hyperboloiden av två ark med ekvation $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ Därför finns det reella tal n , t , u så att 0 ≤ t < 2 π och

$p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm { k} .$

Detta är en parametrisering av alla split-quaternions vars icke verkliga del har en positiv norm.

Detta är också en parametrisering av motsvarande subalgebra genom paren av motsatta punkter i en hyperboloid av två ark: de delade kvarterna av formen $\cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\ mathrm {k}$ bildar en hyperboloid av två ark; en subalgebra genererad av en split-quaternion med en icke-real del av positiv norm innehåller exakt två motsatta punkter på denna hyperboloid, en på varje ark; och hyperboloiden innehåller inte någon annan punkt.

Den algebra som genereras av en split-quaternion med en icke-real del av positiv norm är isomorf till $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1 \rangle$ och till planet för delade-komplexa tal . Det är också isomorft (som en algebra) till $\mathbb {R} ^{2}$ av avbildningen definierad av ${\textstil (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

Oupplösligt fall

Hyperboloid av ett ark , källa till imaginära enheter . (den vertikala axeln kallas x i artikeln)

Detta är fallet när N ( q ) < 0 . Låter ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ har man

$q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

Det följer att 1 / n q tillhör hyperboloiden för ett ark av ekvationen $y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.$ Därför finns det reella tal n , t , u så att 0 ≤ t < 2 π och

$p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm { k} .$

Detta är en parametrisering av alla split-quaternions vars icke verkliga del har en negativ norm.

Detta är också en parametrisering av motsvarande subalgebror med paren av motsatta punkter i en hyperboloid i ett ark: de delade kvarterna av formen $\sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\ mathrm {k}$ bildar en hyperboloid av ett ark; en subalgebra genererad av en split-quaternion med en icke-real del av negativ norm innehåller exakt två motsatta punkter på denna hyperboloid; och hyperboloiden innehåller inte någon annan punkt.

Den algebra som genereras av en split-quaternion med en icke-real del av negativ norm är isomorf till $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1 \rangle$ och till fält $\mathbb {C}$ av komplexa tal .

Stratifiering enligt normen

0 bildar de rent icke-realistiska delade kvaternionerna av norm –1, 1 och en hyperboloid av ett ark, en hyperboloid av två ark respektive en cirkulär kon i utrymmet för icke-reala kvartioner.

Dessa ytor är parvis asymptota och skär inte varandra. Deras komplement består av sex sammankopplade regioner:

• de två områdena på den konkava sidan av hyperboloiden av två ark, där $N(q)>1$
• de två områdena mellan hyperboloiden av två ark och konen, där $0<N(q)<1$
• området mellan könen och hyperboloiden i ett ark där $-1<N(q)<0$
• regionen utanför hyperboloiden för ett ark, där $N(q)<-1$

Denna stratifiering kan förfinas genom att betrakta split-quaternions av en fast norm: för varje reellt tal n ≠ 0 bildar de rent icke-reala split-quaternions av norm n en hyperboloid. Alla dessa hyperboloider är asymptoter till ovanstående kon, och ingen av dessa ytor skär någon annan. Eftersom uppsättningen av de rent icke-realistiska delade kvaternionerna är den disjunkta föreningen av dessa ytor, ger detta den önskade skiktningen.

Historiska anteckningar

Coquaternionerna introducerades ursprungligen (under det namnet) 1849 av James Cockle i London–Edinburgh–Dublin Philosophical Magazine . De inledande artiklarna av Cockle återkallades i 1904 års bibliografi av Quaternion Society . Alexander Macfarlane kallade strukturen hos vektorer med split-quaternion för ett exsfäriskt system när han talade vid International Congress of Mathematicians i Paris 1900.

Enhetssfären övervägdes 1910 av Hans Beck. Till exempel visas den dihedriska gruppen på sidan 419. Strukturen i split-quaternion har också nämnts kort i Mathematics Annals .

1995 placerade Ian Porteous split-quaternions i sammanhanget av Clifford algebra och hyperkomplexa tal .

Synonymer

• Para-kvaternioner (Ivanov och Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) Förgreningsrör med para-kvaternioniska strukturer studeras i differentialgeometri och strängteori . I den para-kvaternioniska litteraturen ersätts k med −k.
• Exsfäriskt system (Macfarlane 1900)
• Split-quaternions (Rosenfeld 1988)
• Antiquaternions (Rosenfeld 1988)
• Pseudoquaternions (Yaglom 1968 Rosenfeld 1988)

Se även

• Pauli matriser
• Split-biquaternions
• Split-oktonioner
• Dubbla quaternioner

Vidare läsning

• Brody, Dorje C. och Eva-Maria Graefe . "Om komplicerad mekanik och coquaternions." Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Parahermitian and paraquaternionic manifolds", Differential Geometry and its Applications 23 , s. 205–234, arXiv : math.DG/0310415 , MR 2158044 .
• Mohaupt, Thomas (2006), "New developments in special geometry", arXiv : hep-th/0602171 .
• Özdemir, M. (2009) "The roots of a split quaternion", Applied Mathematics Letters 22:258–63. [1]
• Özdemir, M. & AA Ergin (2006) "Rotations with timelike quaternions in Minkowski 3-space", Journal of Geometry and Physics 56: 322–36. [2]
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Några algebraiska och analytiska egenskaper hos coquaternion algebra, Advances in Applied Clifford Algebras .