Normalt antal

För flyttalsbetydelsen i beräkning, se normalt antal (beräkning) .

Inom matematiken sägs ett reellt tal helt enkelt vara normalt i en heltalsbas b om dess oändliga siffersekvens är jämnt fördelad i den meningen att vart och ett av b - siffervärdena har samma naturliga täthet 1/ b . Ett tal sägs vara normalt i basen b om, för varje positivt heltal n , alla möjliga strängar n siffror långa har densitet b ^{− n} .

Intuitivt innebär ett tal som helt enkelt är normalt att ingen siffra förekommer oftare än någon annan. Om ett tal är normalt förekommer ingen ändlig kombination av siffror av en given längd oftare än någon annan kombination av samma längd. Ett normalt antal kan ses som en oändlig sekvens av myntslag ( binära ) eller tärningskast ( bas 6 ). Även om det kommer att finnas sekvenser som 10, 100 eller fler på varandra följande svansar (binära) eller femmor (bas 6) eller till och med 10, 100 eller fler upprepningar av en sekvens som tail-head (två på varandra följande myntvändningar) eller 6 -1 (två på varandra följande kast med en tärning), kommer det också att finnas lika många av alla andra sekvenser av samma längd. Ingen siffra eller sekvens är "favorerad".

Ett tal sägs vara normalt (kallas ibland absolut normalt ) om det är normalt i alla heltalsbaser större än eller lika med 2.

Medan ett allmänt bevis kan ges att nästan alla reella tal är normala (vilket betyder att uppsättningen av icke-normala tal har Lebesgue-mått noll), är detta bevis inte konstruktivt , och endast ett fåtal specifika tal har visat sig vara normala. Till exempel Chaitins konstant normal (och oberäkningsbar ). Det är allmänt trott att de (beräknbara) talen √ 2 , π och e är normala, men ett bevis förblir svårfångat.

Definitioner

Låt Σ vara ett ändligt alfabet av b -siffror, Σ ^ω mängden av alla oändliga sekvenser som kan dras från det alfabetet, och Σ ^∗ uppsättningen av ändliga sekvenser, eller strängar . Låt S ∈ Σ ^ω vara en sådan sekvens. För varje a i Σ låt N _S ( a , n ) beteckna antalet gånger siffran a förekommer i de första n siffrorna i sekvensen S . Vi säger att S helt enkelt är normalt om gränsen

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(a,n)}{n}}={\frac {1}{b}}$$

för varje a . Låt nu w vara valfri ändlig sträng i Σ ^∗ och låt N _S ( w , n ) vara antalet gånger strängen w visas som en delsträng i de första n siffrorna i sekvensen S . (Till exempel, om S = 01010101 ... , då N _S ( 010 , 8) = 3 .) S är normalt om, för alla finita strängar w ∈ Σ ^∗ ,

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(w,n)}{n}}={\frac {1}{b^{|w|}}}$$

0 där | w | anger längden på strängen w . Med andra ord S normalt om alla lika långa strängar förekommer med lika asymptotisk frekvens. Till exempel, i en normal binär sekvens (en sekvens över alfabetet 0 { , 1 } ), och 1 förekommer vardera med frekvensen 1 ⁄ 2 ; 00 , 01 , 10 och 11 förekommer var och en med frekvensen 1⁄4 ; 000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , 110 och 111 förekommer var och en med frekvensen 1 ⁄ 8 ; etc. Grovt sett är sannolikheten att hitta strängen w i någon given position i S exakt den förväntade om sekvensen hade producerats slumpmässigt .

Antag nu att b är ett heltal större än 1 och x är ett reellt tal . Betrakta den oändliga siffersekvensexpansionen S _{x , b} av x i basen b positionsnummersystemet (vi ignorerar decimalkomma). Vi säger att x helt enkelt är normal i bas b om sekvensen S _{x , b} helt enkelt är normal och att x är normal i bas b om sekvensen S _{x , b} är normal. Talet x kallas ett normalt tal (eller ibland ett absolut normalt tal ) om det är normalt i basen b för varje heltal b större än 1.

En given oändlig sekvens är antingen normal eller inte normal, medan ett reellt tal, som har olika bas- b- expansion för varje heltal b ≥ 2 , kan vara normalt i en bas men inte i en annan (i vilket fall det inte är ett normalt tal ). För baser r och s med log r /log s rationell (så att r = b ^m och s = b ⁿ ) är varje talnormal i bas r normal i bas s . För baser r och s med log r / log s irrationella, finns det oräkneligt många normala tal i varje bas men inte den andra.

En disjunktiv sekvens är en sekvens där varje ändlig sträng förekommer. En normal sekvens är disjunktiv, men en disjunktiv sekvens behöver inte vara normal. Ett rikt tal i bas b är en vars expansion i bas b är disjunktiv: en som är disjunktiv till varje bas kallas absolut disjunktiv eller sägs vara ett lexikon . En talnormal i bas b är rik på bas b , men inte nödvändigtvis omvänt. Det reella talet x är rikt på bas b om och endast om mängden { x b ⁿ mod 1: n ∈ N } är tät i enhetsintervallet .

Vi definierade ett tal som helt enkelt normalt i bas b om varje enskild siffra visas med frekvensen 1 ⁄ b . För en given bas b kan ett tal helt enkelt vara normalt (men inte normalt eller b -tät, ) b -tät (men inte helt enkelt normalt eller normalt), normalt (och därmed helt enkelt normalt och b -tät), eller ingen av dessa. Ett tal är absolut onormalt eller absolut onormalt om det inte helt enkelt är normalt i någon bas.

Egenskaper och exempel

Begreppet ett normalt tal introducerades av Émile Borel ( 1909 ). Med hjälp av Borel-Cantelli-lemmat bevisade han att nästan alla reella tal är normala, vilket fastställer förekomsten av normala tal. Wacław Sierpiński ( 1917 ) visade att det är möjligt att ange ett särskilt sådant nummer. Becher och Figueira ( 2002 ) bevisade att det finns ett beräkningsbart absolut normalt tal. Även om denna konstruktion inte direkt ger siffrorna för de konstruerade talen, visar den att det i princip är möjligt att räkna upp varje siffra i ett visst normaltal.

Uppsättningen av icke-normala tal, trots att den är "stor" i betydelsen att den är oräknelig , är också en nollmängd (eftersom dess Lebesgue-mått som en delmängd av de reella talen är noll, så det tar i princip inget utrymme inom det reella tal). Dessutom är de icke-normala talen (liksom de normala talen) täta i realtalen: uppsättningen av icke-normala tal mellan två distinkta reella tal är icke-tom eftersom den innehåller varje rationellt tal (i själva verket är det oräkneligt oändlig och till och med comeagre ). Till exempel finns det oräkneligt många tal vars decimalexpansion (i bas 3 eller högre) inte innehåller siffran 1, och inget av dessa tal är normalt.

Champernownes konstant

0,1234567891011121314151617181920212223242526272829...,

erhålls genom att sammanfoga decimalrepresentationerna av de naturliga talen i ordning, är normal i bas 10. Likaså är de olika varianterna av Champernownes konstant (som görs genom att utföra samma sammanlänkning i andra baser) normala i sina respektive baser (till exempel basen -2 Champernowne-konstanten är normal i bas 2), men de har inte visats vara normala i andra baser.

Copeland –Erdős konstant

0,23571113171923293137414347535961677173798389...,

erhållen genom att sammanfoga primtalen i bas 10, är ​​normal i bas 10, vilket bevisats av AH Copeland och Paul Erdős ( 1946 ). Mer allmänt visade de senare författarna att det reella talet representerat i bas b av sammanlänkningen

0. f (1) f (2) f (3)...,

där f ( n ) är det n: ^te primtal uttryckt i bas b , är normalt i bas b . Besicovitch ( 1935 ) bevisade att talet representerat av samma uttryck, med f ( n ) = n ² ,

0,149162536496481100121144...,

erhålls genom att sammanfoga kvadrattalen i bas 10, är ​​normal i bas 10. Harold Davenport och Erdős ( 1952 ) bevisade att talet representerat av samma uttryck, där f är vilket icke-konstant polynom som helst vars värden på de positiva heltal är positiva heltal , uttryckt i bas 10, är ​​normalt i bas 10.

Nakai och Shiokawa ( 1992 ) bevisade att om f ( x ) är vilket icke-konstant polynom som helst med reella koefficienter så att f ( x ) > 0 för alla x > 0, då det reella talet som representeras av sammanlänkningen

0.[ f (1)][ f (2)][ f (3)]...,

där [ f ( n )] är heltalsdelen av f ( n ) uttryckt i bas b , är normal i bas b . (Detta resultat inkluderar som specialfall alla ovan nämnda resultat från Champernowne, Besicovitch och Davenport & Erdős.) Författarna visar också att samma resultat gäller ännu mer generellt när f är någon funktion av formen

f ( x ) = α· x ^β + α ₁ · x ^{β ₁} + ... + α _d · x ^{β _d} ,

där αs och βs är reella tal med β > β ₁ > β ₂ > ... > β _d ≥ 0, och f ( x ) > 0 för alla x > 0.

Bailey och Crandall ( 2002 ) visar en explicit oräkneligt oändlig klass av b -normala tal genom att störa Stoneham-tal .

Det har varit ett svårfångat mål att bevisa normaliteten hos tal som inte är konstgjorda konstruerade. Även om √ 2 , π , ln(2) och e starkt antas vara normala, är det fortfarande inte känt om de är normala eller inte. Det har inte ens bevisats att alla siffror faktiskt förekommer oändligt många gånger i decimalexpansionerna av dessa konstanter (till exempel, i fallet med π, är det populära påståendet "varje sträng av tal så småningom förekommer i π" inte känt för att vara sant ). Det har också antagits att varje irrationellt algebraiskt tal är absolut normalt (vilket skulle antyda att √ 2 är normalt), och inga motexempel är kända i någon bas. Inget irrationellt algebraiskt tal har dock visat sig vara normalt i någon bas.

Icke-normala siffror

Inget rationellt tal är normalt i någon bas, eftersom siffersekvenserna av rationella tal så småningom är periodiska . Ett rationellt tal kan dock helt enkelt vara normalt i en viss bas. Till exempel, ${13{,},71}{13{,},71}{13{,},11} {,}111}}={\frac {123,\!456,\!789}{9,\!999,\!999,\!999}}=0.{\overline {0123456789}}} är helt$ enkelt normal i bas 10.

Martin ( 2001 ) ger ett exempel på ett irrationellt tal som är absolut onormalt. Låta

$$f\left(n\right)={\begin{cases}n ^{\frac {f\left(n-1\right)}{n-1}},&n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right)\\4,&n=2 \end{cases}}$$

$$\alpha =\prod _{m=2}\{f} \left(m\right)}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{9}}\right) \left(1-{\frac {1}{64}}\right)\left(1-{\frac {1}{152587890625}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^ {\left(5^{15}\right)}}}\right)\ldots =0,6562499999956991\underbrace {99999\ldots 99999} _{23,747,291,559}852840420169072$$

Då är α ett Liouville-tal och är helt onormalt.

Egenskaper

Ytterligare egenskaper för normala tal inkluderar:

• Varje reellt tal som inte är noll är produkten av två normala tal. Detta följer av det allmänna faktum att varje tal är produkten av två tal från en mängd $X\subseteq \mathbb {R} ^{+}$ om komplementet till X har måttet 0.
• Om x är normal i bas b och a ≠ 0 är ett rationellt tal, så är $x\cdot a$ också normal i bas b .
• Om $A\subseteq \mathbb {N}$ är tät (för varje $\alpha <1$ och för alla tillräckligt stora n , ${\displaystyle |A\cap \{1,\ldots ,n\}|\geq n^{\alpha }}) och$ a $\displaystyle a_{1}, a_{2},a_{3},\ldots }$ är bas- b- expansionerna av elementen i A , sedan talet $0.a_{1}a_{2} a_{3}\ldots$ , bildad genom att sammanfoga elementen i A , är normal i basen b (Copeland och Erdős 1946). Av detta följer att Champernownes tal är normalt i bas 10 (eftersom mängden av alla positiva heltal uppenbarligen är tät) och att Copeland–Erdős konstant är normal i bas 10 (eftersom primtalssatsen antyder att mängden primtal är tät ).
• En sekvens är normal om och endast om varje block av lika längd visas med samma frekvens. (Ett block med längden k är en delsträng med längden k som förekommer vid en position i sekvensen som är en multipel av k : t.ex. det första längd- k- blocket i S är S [1.. k ], det andra längd- k -blocket är S [ k +1..2 k ], etc.) Detta var implicit i Ziv och Lempels ( 1978 ) arbete och uttryckligen uttryckt i Bourke, Hitchcocks och Vinodchandrans ( 2005 ) arbete.
• Ett tal är normalt i bas b om och bara om det helt enkelt är normalt i bas b ^k för alla $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ . Detta följer av den föregående blockkarakteriseringen av normalitet: Eftersom det n: ^te blocket med längden k i dess bas b -expansion motsvarar den n : ^te siffran i dess bas b ^k -expansion, är ett tal helt enkelt normalt i basen b ^k om och endast om block av längden k uppträder i dess bas b expansion med lika frekvens.
• Ett tal är normalt om och bara om det helt enkelt är normalt i varje bas. Detta följer av den tidigare karakteriseringen av bas b- normalitet.
• Ett tal är b -normalt om och endast om det finns en uppsättning positiva heltal $m_{1}<m_{2}<m_{3}<\cdots$ där tal är helt enkelt normalt i baser b ^m för alla $m\in \{m_{1},m_{2},\ldots \}.$ Ingen ändlig mängd räcker för att visa att talet är b -normalt.
• Alla normala sekvenser är stängda under ändliga variationer : lägga till, ta bort eller ändra ett ändligt antal siffror i en normal sekvens gör det normalt. På liknande sätt, om ett ändligt antal siffror läggs till, tas bort från eller ändras i någon helt enkelt normal sekvens, är den nya sekvensen fortfarande helt enkelt normal.

Anslutning till finite-state maskiner

Agafonov visade en tidig koppling mellan finita-tillståndsmaskiner och normala sekvenser: varje oändlig delsekvens vald från en normal sekvens av ett reguljärt språk är också normal. Med andra ord, om man kör en finita-tillståndsmaskin på en normal sekvens, där var och en av finita-tillståndsmaskinens tillstånd är märkta antingen "output" eller "no output", och maskinen matar ut den siffra som den läser nästa efter att ha angett en "output"-tillstånd, men matar inte ut nästa siffra efter att ha angett ett "ingen output-tillstånd", då blir sekvensen den matar ut normal.

En djupare koppling finns med finite-state gamblers (FSGs) och information lossless finite-state compressors (ILFSCs).

• En finite-state spelare (aka finite-state martingale ) är en finite-state maskin över ett ändligt alfabet $\Sigma$ , vars tillstånd är märkta med procentandelar av pengar att satsa på varje siffra i $\Sigma$ . Till exempel, för en FSG över det binära alfabetet $\Sigma =\{0,1\}$ , satsar det aktuella tillståndet q någon procent $q_{0 }\i [0,1]$ av spelarens pengar på biten 0, och den återstående $q_{1}=1-q_{0}$ bråkdelen av spelarens pengar på biten 1. Pengsatsningen på siffran som kommer härnäst i inmatningen (totala pengar gånger procent insats) multipliceras med $|\Sigma |$ , och resten av pengarna är förlorade. Efter att biten har lästs övergår FSG till nästa tillstånd enligt den inmatning som den mottagit. En FSG d lyckas på en oändlig sekvens S om den, med start från $1, gör obegränsade pengar att satsa på sekvensen; dvs om
  $$\limsup _{n\to \infty }d(S\upharpoonright n)=\infty ,$$
  där $d(S\upharpoonright n)$ är summan pengar spelaren d har efter att ha läst de första n siffrorna i S (se limit superior ).
• En finit-state-kompressor är en finite-state-maskin med utgångssträngar som märker dess tillståndsövergångar , inklusive möjligen den tomma strängen. (Eftersom en siffra läses från inmatningssekvensen för varje tillståndsövergång är det nödvändigt att kunna mata ut den tomma strängen för att överhuvudtaget uppnå någon komprimering). En informationsförlustfri finit-state-kompressor är en finite-state-kompressor vars indata unikt kan återställas från dess utgång och slutliga tillstånd. Med andra ord, för en finita-tillståndskompressor C med tillståndsmängd Q är C informationsförlustfri om funktionen ${\displaystyle f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{$ × , som mappar ingångssträngen för C till utgångssträngen och sluttillståndet för C , är 1–1 . Kompressionstekniker som Huffman-kodning eller Shannon-Fano-kodning kan implementeras med ILFSCs. En ILFSC C komprimerar en oändlig sekvens S if
  $$\liminf _{n\to \infty }{\frac {|C(S\upharpoonright n)|}{n}}<1,$$
  där $|C(S\upharpoonright n)|$ är antalet siffror som matas ut av C efter att ha läst de första n siffrorna i S . Kompressionsförhållandet ( gränsen sämre ovan) kan alltid göras lika med 1 av 1-tillståndets ILFSC som helt enkelt kopierar dess indata till utgången.

Schnorr och Stimm visade att ingen FSG kan lyckas i någon normal sekvens, och Bourke, Hitchcock och Vinodchandran visade det omvända . Därför:

En sekvens är normal om och endast om det inte finns någon finite-state spelare som lyckas med den.

Ziv och Lempel visade:

En sekvens är normal om och endast om den är inkompressibel av någon informationsförlustfri finita-tillståndskompressor

(de visade faktiskt att sekvensens optimala kompressionsförhållande över alla ILFSCs är exakt dess entropihastighet , ett kvantitativt mått på dess avvikelse från normalitet, vilket är 1 exakt när sekvensen är normal). Eftersom LZ-komprimeringsalgoritmen komprimerar asymptotiskt såväl som vilken ILFSC som helst, betyder detta att LZ-komprimeringsalgoritmen kan komprimera vilken icke-normal sekvens som helst.

Dessa karakteriseringar av normala sekvenser kan tolkas som att "normal" = "slumpmässigt ändligt tillstånd"; dvs de normala sekvenserna är just de som verkar slumpmässiga för vilken finita-tillståndsmaskin som helst. Jämför detta med de algoritmiskt slumpmässiga sekvenserna , som är de oändliga sekvenserna som verkar slumpmässiga för vilken algoritm som helst (och faktiskt har liknande spel- och komprimeringskarakteriseringar med Turing-maskiner som ersätter maskiner med ändligt tillstånd).

Anslutning till ekvifördelade sekvenser

Ett tal x är normalt i bas b om och endast om sekvensen ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ är ekvifördelad modulo 1, eller motsvarande, med hjälp av Weyls kriterium , om och endast om

$$\lim _{n\högerpil \infty }{\frac {1}{n} }\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi imb^{k}x}=0\quad {\text{ för alla heltal }}m\geq 1.$$

Denna koppling leder till terminologin att x är normal i basen β för vilket reellt tal β som helst om och endast om sekvensen $\left({x\beta ^{k}}\right) _{k=0}^{\infty }$ är ekvifördelad modulo 1.

Se även

• Champernowne konstant
• De Bruijn sekvens
• Oändlig apa sats
• Babels bibliotek

•    Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (2010), "8. Transcendens och diofantisk approximation", i Berthé, Valérie ; Rigo, Michael (red.), Combinatorics, automata, and number theory , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 135, Cambridge: Cambridge University Press , s. 410–451, ISBN 978-0-521-51597-9 , Zbl 1271.11073
•   Agafonov, VN (1968), "Normala sekvenser och finita automater", Soviet Mathematics - Doklady , 9 : 324–325, Zbl 0242.94040
•   Bailey, David H .; Borwein, Jonathan M. ; Calude, Cristian S. ; Dinneen, Michael J.; Dumitrescu, Monica; Yee, Alex (2012), "An Empirical Approach to the Normality of π" , Experimental Mathematics , 21 (4): 375–384, doi : 10.1080/10586458.2012.665333 , S2CID 842717
•   Bailey, DH ; Crandall, RE (2002), "Random generators and normal numbers" (PDF) , Experimental Mathematics , 11 (4): 527–546, doi : 10.1080/10586458.2002.10504704 , S44CID 289
• Becher, V.; Figueira, S. (2002), "Ett exempel på ett beräkningsbart absolut normalt tal" (PDF) , Theoretical Computer Science , 270 (1–2): 947–958, doi : 10.1016/S0304-3975(01)00170-0 , hdl : 20.500.12110/paper_03043975_v270_n1-2_p947_Becher
•   Beck, József (2009), Inevitable Randomness in Discrete Mathematics (illustrerad red.), American Mathematical Soc., sid. 13, ISBN 978-0-8218-4756-5
•   Besicovitch, AS (1935), "Den asymptotiska fördelningen av siffrorna i decimalrepresentationen av kvadraterna av de naturliga talen", Mathematische Zeitschrift , 39 : 146–156, doi : 10.1007/BF01201350 , S2CID 51502
•    Billingsley, Patrick (2012), Probability and measure (Anniversary ed.), Hoboken, NJ: Wiley, sid. 15, ISBN 9781118122372 , OCLC 780289503
• Borel, E. (1909), "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 27 : 247–271, doi : 10.1007/BF03019691 1 , S447ID  
• Bourke, C.; Hitchcock, JM; Vinodchandran, NV (2005), "Entropy rates and finite-state dimension", Theoretical Computer Science , 349 (3): 392–406, doi : 10.1016/j.tcs.2005.09.040
•    Bugeaud, Yann (2012), Distribution modulo one and Diophantine approximation , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 193, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-11169-0 , Zbl 1260.11001
• Cassels, JWS (1959), "On a problem of Steinhaus about normal numbers", Colloquium Mathematicum , 7 : 95–101, doi : 10.4064/cm-7-1-95-101
• Champernowne, DG (1933), "The construction of decimals normal in the scale of tio", Journal of the London Mathematical Society , 8 (4): 254–260, doi : 10.1112/jlms/s1-8.4.254
• Copeland, AH ; Erdős, P. (1946), "Note on normal numbers", Bulletin of the American Mathematical Society , 52 (10): 857–860, doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08657-7
•   Davenport, H .; Erdős, P. (1952), "Note on normal decimals", Canadian Journal of Mathematics , 4 : 58–63, doi : 10.4153/CJM-1952-005-3 , S2CID 14621341
•    Everest, Graham ; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003), Återkommande sekvenser , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 104, Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3387-1 , Zbl 1033.11006
•   Long, CT (1957), "Note on normal numbers" , Pacific Journal of Mathematics , 7 (2): 1163–1165, doi : 10.2140/pjm.1957.7.1163 , Zbl 0080.03604
•    Martin, Greg (2001), "Absolutely abnormal numbers", American Mathematical Monthly , 108 (8): 746–754, arXiv : math/0006089 , doi : 10.2307/2695618 , JSTOR 2695618 135 , Zbl 105, 105 .
•   Murty, Maruti Ram (2007), Problems in analytic number theory (2 uppl.), Springer, ISBN 978-0-387-72349-5
• Nakai, Y.; Shiokawa, I. (1992), "Discrepancy estimates for a class of normal numbers", Acta Arithmetica , 62 (3): 271–284, doi : 10.4064/aa-62-3-271-284
• Schmidt, W. (1960), "On normal numbers" , Pacific Journal of Mathematics , 10 (2): 661–672, doi : 10.2140/pjm.1960.10.661
•   Schnorr, CP ; Stimm, H. (1972), "Endliche Automaten und Zufallsfolgen", Acta Informatica , 1 (4): 345–359, doi : 10.1007/BF00289514 , S2CID 31943843
• Sierpiński, W. (1917), "Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre", Bulletin de la Société Mathématique de France , 45 : 125–132, doi : 10.24033/bsmf.977
• Wall, DD (1949), Normala tal , Ph.D. avhandling, Berkeley, Kalifornien: University of California
• Ziv, J .; Lempel, A. (1978), "Kompression av individuella sekvenser via kodning med variabel hastighet" , IEEE Transactions on Information Theory , 24 (5): 530–536, doi : 10.1109/TIT.1978.1055934 , hdl : 1055598.dml : 1055598.

Vidare läsning

•   Bailey, DH ; Crandall, RE (2001), " On the random character of fundamental constant expansions" (PDF) , Experimental Mathematics , 10 (2): 175–190, doi : 10.1080/10586458.2001.10504441 , S2CID 906 från originalet ) den 2008-11-23
• Bailey, DH ; Misiurewicz, M. (2006), "A strong hot spot theorem" , Proceedings of the American Mathematical Society , 134 (9): 2495–2501, doi : 10.1090/S0002-9939-06-08551-0
• Calude, C. (1994), "Borel normality and algorithmic randomness", i Rozenberg, G.; Salomaa, Arto (red.), Developments in Language Theory: At the Crossroads of Mathematics, Computer Science and Biology , World Scientific , Singapore, s. 113–119
• Calude, CS ; Zamfirescu, T. (1999), "Most numbers obey no probability laws", Publicationes Mathematicae Debrecen , 54 (Supplement): 619–623
•    Dajani, Karma ; Kraaikamp, ​​Cor (2002), Ergodic theory of numbers , Carus Mathematical Monographs , vol. 29, Washington, DC: Mathematical Association of America , ISBN 0-88385-034-6 , Zbl 1033.11040
•    Harman, Glyn (2002), "Etthundra år av normala tal", i Bennett, MA; Berndt, BC ; Boston, N .; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (red.), Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory , Natick, MA: AK Peters, s. 57–74, ISBN 1-56881-162-4 , Zbl 1062.11052
• Khoshnevisan, Davar (2006), "Normala tal är normala" (PDF) , Clay Mathematics Institute Årsrapport 2006 : 15, fortsättning s. 27–31
•    Quéfflec, Martine (2006), "Gamla och nya resultat om normalitet", i Denteneer, Dee; den Hollander, F.; Verbitskiy, E. (red.), Dynamics & Stochastics: Festschrift in honor of MS Keane , IMS Lecture Notes – Monograph Series, vol. 48, Beachwood, Ohio: Institute of Mathematical Statistics , s. 225–236, arXiv : math.DS/0608249 , doi : 10.1214/074921706000000248 , ISBN 0-94060-140-140-1100 , ZB 0-940600-060600

externa länkar

• Vi är i Digits of Pi och Live Forever av Clifford A. Pickover
• Weisstein, Eric W. "Normalt antal" . MathWorld .