Split-biquaternion

I matematik är en split-biquaternion ett hyperkomplext tal av formen

$q=w+xi+yj+zk$

där w , x , y och z är delade komplexa tal och i, j och k multipliceras som i kvartärniongruppen . Eftersom varje koefficient w , x , y , z spänner över två reella dimensioner , är split-biquaternion ett element i ett åttadimensionellt vektorrum . Med tanke på att det bär en multiplikation, är detta vektorutrymme en algebra över det reella fältet, eller en algebra över en ring där de delade komplexa talen bildar ringen. Denna algebra introducerades av William Kingdon Clifford i en artikel från 1873 för London Mathematical Society . Det har upprepade gånger noterats i matematisk litteratur sedan dess, olika som en avvikelse i terminologi, en illustration av tensorprodukten av algebror och som en illustration av den direkta summan av algebror . De delade biquaternionerna har identifierats på olika sätt av algebraister; se § Synonymer nedan.

Modern definition

En split-biquaternion är ringisomorf till Clifford-algebra C ℓ _0,3 ( R ). Detta är den geometriska algebra som genereras av tre ortogonala imaginära enhetsbasriktningar, { e ₁ , e ₂ , e ₃ } under kombinationsregeln

$e_{i}e_{j}={\begin{cases}-1&i=j,\\-e_{j} e_{i}&i\neq j\end{cases}}$

ger en algebra som sträcks av de 8 baselementen {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ e ₂ , e ₂ e ₃ , e ₃ e ₁ , e ₁ e ₂ e ₃ }, med ( e ₁ e ₂ ) ² = ( e ₂ e ₃ ) ² = ( e ₃ e ₁ ) ² = −1 och ω ² = ( e ₁ e ₂ e ₃ ) ² = +1. Subalgebra som sträcks av de 4 elementen {1, i = e ₁ , j = e ₂ , k = e ₁ e ₂ } är divisionsringen för Hamiltons kvaternioner , H = C ℓ _0,2 ( R ) . Man kan alltså se det

$C\ell _{0,3}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \otimes \mathbb {D}$

där D = C ℓ _1,0 ( R ) är algebra som sträcks av {1, ω}, algebra för de delade komplexa talen . På motsvarande sätt,

$C\ell _{0,3}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} .$

Split-biquaternion grupp

De delade biquaternionerna bildar en associativ ring , vilket framgår av att betrakta multiplikationer i dess bas {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. När ω är ansluten till kvartjongruppen får man en grupp med 16 element

({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Modul

Eftersom elementen {1, i, j, k} i kvartärniongruppen kan tas som bas för utrymmet för delade bikvaternioner, kan det jämföras med ett vektorrum . Men delade-komplexa tal bildar en ring, inte ett fält, så vektorutrymme är inte lämpligt. Snarare bildar utrymmet med split-biquaternions en fri modul . Denna standardterm för ringteori uttrycker en likhet med ett vektorrum, och denna struktur av Clifford 1873 är ett exempel. Split-biquaternions bildar en algebra över en ring , men inte en grupp ring .

Direkt summa av två kvaternionringar

Den direkta summan av divisionsringen av kvaternioner med sig själv betecknas $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$ . Produkten av två element $(a\oplus b)$ och $(c\oplus d)$ är $ac\oplus bd$ i denna direktsummaalgebra .

Påstående: Algebra för split-biquaternions är isomorf till $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H} .$

bevis: Varje split-biquaternion har ett uttryck q = w + z ω där w och z är quaternions och ω ² = +1. Om nu p = u + v ω är en annan delad biquaternion, är deras produkt

$pq=uw+vz+(uz+vw)\omega .$

Isomorfism-mappningen från split-biquaternions till $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$ ges av

$p\mapsto (u+v)\oplus (uv),\quad q\mapsto (w+z)\oplus (wz).$

I ${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} } ,$ produkten av dessa bilder, enligt algebraprodukten av $\mathbb {H} \oplus \mathbb { H}$ som anges ovan, är

$(u+v)(w+z)\oplus (uv)(wz).$

Detta element är också bilden av pq under mappningen till $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H} .$ Produkterna stämmer alltså överens, mappningen är en homomorfism; och eftersom det är bijektivt är det en isomorfism.

Även om split-biquaternions bildar ett åttadimensionellt utrymme som Hamiltons biquaternions, är det på basis av propositionen uppenbart att denna algebra delas upp i den direkta summan av två kopior av de verkliga quaternionerna.

Hamilton biquaternion

De split-biquaternions bör inte förväxlas med de (vanliga) biquaternions som tidigare introducerades av William Rowan Hamilton . Hamiltons biquaternions är element i algebra

$C\ell _{2}(\mathbb {C} )=\mathbb {H} \otimes \mathbb {C} .$

$C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )=\mathbb {H} \otimes \mathbb {C} .$

Synonymer

Följande termer och föreningar hänvisar till split-biquaternion algebra:

• elliptiska biquaternions – Clifford 1873 , Rooney 2007
• Clifford biquaternion – Joly 1902 , van der Waerden 1985
• dyquaternions – Rosenfeld 1997
• $\mathbb {D} \otimes \mathbb {H}$ där D = delade komplexa tal – Bourbaki 1994 , Rosenfeld 1997
• ${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} } ,$ den direkta summan av två kvaternionalgebror – van der Waerden 1985

Se även

• Split-oktonioner

• Clifford, WK (1873) Preliminär Sketch of Biquaternions , sidorna 195–7 i Mathematical Papers via Internet Archive
• Clifford, WK (1882) The Classification of Geometric Algebras , sidan 401 i Mathematical Papers , R. Tucker, redaktör
•   Girard, PR (1984). "Kvaterniongruppen och modern fysik". Eur. J. Phys . 5 (1): 25–32. Bibcode : 1984EJPh....5...25G . doi : 10.1088/0143-0807/5/1/007 . S2CID 250775753 .
•   Rooney, Joe (2007). "William Kingdon Clifford" . I Ceccarelli, Marco (red.). Framstående figurer i mekanismer och maskinvetenskap: deras bidrag och arv . Springer. s. 79–. ISBN 978-1-4020-6366-4 .
• Joly, Charles Jasper (1905). A Manual of Quaternions . Macmillan. sid. 21 .
•   Rosenfeld, Boris (1997). Geometri för lögngrupper . Kluwer. sid. 48. ISBN 978-0-7923-4390-5 .
•   Bourbaki, N. (2013) [1994]. Element i matematikens historia . Översatt av Meldrum, J. Springer. sid. 137. ISBN 978-3-642-61693-8 .
•   van der Waerden, BL (1985). En historia om algebra . Springer. sid. 188 . ISBN 978-0-387-13610-3 .