Kompletterar torget

Animation som visar processen att färdigställa torget. ( Detaljer , animerad GIF version )

I elementär algebra är att fylla i kvadraten en teknik för att konvertera ett kvadratiskt polynom av formen

$$ax^{2}+bx+c$$

till formuläret

$$a(xh)^{2}+k$$

för vissa värden på h och k .

Med andra ord, att fylla i kvadraten placerar ett perfekt kvadratiskt trinomium inuti ett kvadratiskt uttryck.

Att fylla i torget används i

• lösa andragradsekvationer ,
• härleda den kvadratiska formeln ,
• grafiska kvadratiska funktioner ,
• utvärdera integraler i kalkyl, såsom gaussiska integraler med en linjär term i exponenten,
• hitta Laplace-transformationer .

Inom matematiken används ofta att fylla i kvadraten i alla beräkningar som involverar kvadratiska polynom.

Historia

Ytterligare information: Algebra § Historia

Tekniken att färdigställa torget var känd i det gamla babyloniska riket .

Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi , en berömd polymat som skrev den tidiga algebraiska avhandlingen Al-Jabr , använde tekniken att fylla i kvadraten för att lösa andragradsekvationer.

Översikt

Bakgrund

Formeln i elementär algebra för att beräkna kvadraten av ett binomial är:

$$(x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.$$

Till exempel:

$${\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5 )^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}$$

I varje perfekt kvadrat är koefficienten för x två gånger talet p , och den konstanta termen är lika med p ² .

Grundläggande exempel

Tänk på följande kvadratiska polynom :

$$x^{2}+10x+28.$$

Denna kvadratiska är inte en perfekt kvadrat, eftersom 28 inte är kvadraten på 5:

$$(x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.$$

Det är dock möjligt att skriva den ursprungliga kvadratiska som summan av denna kvadrat och en konstant:

$$x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.$$

Detta kallas att fylla i kvadraten .

Allmän beskrivning

Med tanke på vilken monisk kvadratisk som helst

$$x^{2}+bx+c,$$

det är möjligt att bilda en kvadrat som har samma första två termer:

$$\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{ 2}.$$

Denna kvadrat skiljer sig från den ursprungliga kvadratiska endast i värdet av den konstanta termen. Därför kan vi skriva

$$x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}} b\right)^{2}+k,$$

där $k=c-{\frac {b^{2}}{4}}$ . Denna operation kallas att slutföra kvadraten . Till exempel:

$${ \displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+ 30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6. \end{alignedat}}}$$

Icke-moniskt fodral

Givet ett kvadratiskt polynom av formen

$$ax^{2}+bx+c$$

det är möjligt att faktorisera koefficienten a och sedan komplettera kvadraten för det resulterande moniska polynomet .

Exempel:

$${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2) ^{2}+5\höger]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end {Justerat}}$$

Denna process att faktorisera ut koefficienten a kan ytterligare förenklas genom att bara faktorisera den från de två första termerna. Heltalet i slutet av polynomet behöver inte inkluderas.

Exempel:

$${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+ 4x\höger]+27\\[1ex]&{}=3\vänster[(x+2)^{2}-4\höger]+27\\[1ex]&{}=3(x+2) ^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2) ^{2}+15\end{aligned}}$$

Detta tillåter skrivning av vilket kvadratiskt polynom som helst i formen

$$a(xh)^{2}+k.$$

Formel

Skalärt fall

Resultatet av att fylla i kvadraten kan skrivas som en formel. I det allmänna fallet har man

$$ax^{2}+bx+c=a(xh)^{2}+k,$$

med

$$h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{ 4a}}.$$

I synnerhet när a = 1 har man

$$x^{2}+bx+c=(xh)^{2}+k,$$

med

$$h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=ch^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4} }.$$

Genom att lösa ekvationen $a(xh)^{2}+k=0$ i termer av $xh,$ och omorganisera det resulterande uttrycket , en får kvadratiska formeln för rötterna till andragradsekvationen :

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$$

Matrix fall

Matrisfallet ser väldigt likt ut :

$${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b$$

där ${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b}$ och ${\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$ . Observera att $A$ måste vara symmetrisk .

Om ${\displaystyle A} inte är symmetrisk$ måste formlerna för $h$ och ${\displaystyle k} generaliseras till:$

$$displaystyle h=- (A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=ch^{\mathrm {T} }Ah=cb^{\mathrm {T } }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$$

Relation till grafen

Grafer för kvadratiska funktioner förskjutna åt höger med h = 0, 5, 10 och 15.

Grafer för kvadratiska funktioner skiftade uppåt med k = 0, 5, 10 och 15.

Grafer för kvadratiska funktioner flyttas uppåt och åt höger med 0, 5, 10 och 15.

I analytisk geometri är grafen för en kvadratisk funktion en parabel i xy -planet . Givet ett kvadratiskt polynom av formen

$$a(xh)^{2}+k$$

talen h och k kan tolkas som de kartesiska koordinaterna för parabelns vertex (eller stationära punkt ). Det vill säga, h är x -koordinaten för symmetriaxeln (dvs. symmetriaxeln har ekvationen x = h ), och k är minimivärdet (eller maxvärdet, om a < 0) för kvadratfunktionen.

Ett sätt att se detta är att notera att grafen för funktionen f ( x ) = x ² är en parabel vars vertex är i origo (0, 0). Därför är grafen för funktionen f ( x − h ) = ( x − h ) ² en parabel förskjuten åt höger av h vars vertex är vid ( h , 0), som visas i den översta figuren. Däremot är grafen för funktionen f ( x ) + k = x ² + k en parabel som förskjuts uppåt med k vars vertex är vid (0, k ) , som visas i mittenfiguren. Kombination av både horisontella och vertikala förskjutningar ger f ( x - h ) + k = ( x - h ) ² + k är en parabel som förskjuts åt höger med h och uppåt med k vars vertex är vid ( h , k ) , som visas i den nedersta figuren.

Lösa andragradsekvationer

Att fylla i kvadraten kan användas för att lösa vilken andragradsekvation som helst . Till exempel:

$$x^{2}+6x+5=0.$$

Det första steget är att fylla i kvadraten:

$$(x+3)^{2}-4=0.$$

Därefter löser vi den kvadratiska termen:

$$(x+3)^{2}=4.$$

Då heller

$$x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,$$

och därför

$$x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.$$

Detta kan appliceras på vilken andragradsekvation som helst. När x ² har en annan koefficient än 1, är det första steget att dela ut ekvationen med denna koefficient: för ett exempel se det icke-moniska fallet nedan.

Irrationella och komplexa rötter

Till skillnad från metoder som involverar faktorisering av ekvationen, som endast är tillförlitlig om rötterna är rationella , kommer att fylla i kvadraten att hitta rötterna till en andragradsekvation även när dessa rötter är irrationella eller komplexa . Tänk till exempel på ekvationen

$$x^{2}-10x+18=0.$$

Att fylla i torget ger

$$(x-5)^{2}-7=0,$$

så

$$(x-5)^{2}=7.$$

Då heller

$$x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.$$

På tunnare språk:

$$x-5=\pm {\sqrt {7}},$$

så

$$x=5\pm {\sqrt {7}}.$$

Ekvationer med komplexa rötter kan hanteras på samma sätt. Till exempel:

$${\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{ 2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}$$

Icke-moniskt fodral

För en ekvation som involverar en icke-monisk kvadratisk, är det första steget för att lösa dem att dividera med koefficienten x ² . Till exempel:

$${\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^ {2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}- {\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{eller}}\quad x+{\tfrac { 7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{eller}}\quad x=- 2.\end{array}}$$

Att tillämpa denna procedur på den allmänna formen av en andragradsekvation leder till den andragradsformel .

Andra applikationer

Integration

Att fylla i kvadraten kan användas för att utvärdera vilken integral som helst av formuläret

$$\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}$$

med hjälp av de grundläggande integralerna

$$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {xa}{x+ a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a }}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.$$

Tänk till exempel på integralen

$$\int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.$$

Att fylla i kvadraten i nämnaren ger:

$$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2 ^{2}}}.$$

Detta kan nu utvärderas genom att använda substitutionen u = x + 3, vilket ger

$$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x +3}{2}}\right)+C.$$

Komplexa tal

Tänk på uttrycket

$$|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,$$

där z och b är komplexa tal , z ^* och b ^* är de komplexa konjugaten av z respektive b , och c är ett reellt tal . Använda identiteten | u | ² = uu ^* vi kan skriva om detta som

$$|zb|^{2}-|b|^{2}+c,$$

vilket helt klart är en verklig mängd. Det här är för att

$${\begin{aligned}|zb|^{2}&{}=(zb)(zb)^{*}\\&{}=(zb)(z^{*}-b^{* })\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*} -bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}$$

Som ett annat exempel, uttrycket

$$ax^{2}+by^{2}+c,$$

där a , b , c , x och y är reella tal, med a > 0 och b > 0, kan uttryckas som kvadraten på det absoluta värdet av ett komplext tal. Definiera

$$z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.$$

Sedan

$${\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x +i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,xi{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}= ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}av^{2}\\[1ex]&{}=ax ^{2}+av^{2},\end{aligned}}$$

så

$$ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.$$

Idempotent matris

En matris M är idempotent när M2 = M. ^_ _ Idempotenta matriser generaliserar de idempotenta egenskaperna för 0 och 1. Fullbordandet av kvadratmetoden för att adressera ekvationen

$$a^{2}+b^{2}=a,$$

visar att vissa idempotenta 2×2-matriser parametriseras av en cirkel i ( a , b )-planet:

Matrisen ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ kommer att vara idempotent förutsatt att $a^{ 2}+b^{2}=a,$ som, efter att ha fyllt i kvadraten, blir

$$(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.$$

I ( a , b )-planet är detta ekvationen för en cirkel med centrum (1/2, 0) och radie 1/2.

Geometriskt perspektiv

Överväg att fylla i kvadraten för ekvationen

$$x^{2}+bx=a.$$

Eftersom x ² representerar arean av en kvadrat med sidan av längden x , och bx representerar arean av en rektangel med sidorna b och x , kan processen att fullborda kvadraten ses som visuell manipulation av rektanglar.

Enkla försök att kombinera x ^2- och bx -rektanglarna till en större kvadrat resulterar i ett saknat hörn. Termen ( b /2) ² som läggs till på varje sida av ovanstående ekvation är just arean av det saknade hörnet, varifrån härleder terminologin "komplettera kvadraten".

En variation på tekniken

Som vanligt lärs ut består att fylla i kvadraten av att lägga till den tredje termen, v ² till

$$u^{2}+2uv$$

för att få en kvadrat. Det finns också fall där man kan lägga till mellantermen, antingen 2 uv eller −2 uv , till

$$u^{2}+v^{2}$$

för att få en kvadrat.

Exempel: summan av ett positivt tal och dess reciproka

Genom att skriva

$${\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x- 2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+ 2\end{aligned}}$$

vi visar att summan av ett positivt tal x och dess reciproka alltid är större än eller lika med 2. Kvadraten av ett reellt uttryck är alltid större än eller lika med noll, vilket ger den angivna gränsen; och här uppnår vi 2 precis när x är 1, vilket gör att kvadraten försvinner.

Exempel: faktorisering av ett enkelt kvartspolynom

Tänk på problemet med att faktorisera polynomet

$$x^{4}+324.$$

Detta är

$$(x^{2})^{2}+(18)^{2},$$

så mellantermen är 2( x ² )(18) = 36 x ² . Så får vi

$${\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{ 4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a skillnad på två kvadrater}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18 )(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}$$

(den sista raden läggs bara till för att följa konventionen för minskande grader av termer).

Samma argument visar att $x^{4}+4a^{4}$ alltid är faktoriserbara som

$$x^{4}+4a^{4}=\left(x ^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)$$

(Även känd som Sophie Germains identitet ).

•   Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8 , sidorna 539–544
•   Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X , sidorna 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

externa länkar

• Kompletterar torget på PlanetMath .