Split-octonion

I matematik är de delade oktonionerna en 8-dimensionell icke-associativ algebra över de reella talen . Till skillnad från standardoktonjonerna innehåller de icke-noll-element som inte är inverterbara . Även signaturerna för deras kvadratiska former skiljer sig åt: de delade oktonionerna har en delad signatur (4,4) medan oktonionerna har en positiv-definitiv signatur (8,0).

Fram till isomorfism är oktonionerna och delade oktonionerna de enda två 8-dimensionella sammansättningsalgebrorna över de reella talen. De är också de enda två oktonionalgebrorna över de reella talen. Delade oktonjonalgebror analoga med delade oktonjoner kan definieras över vilket fält som helst .

Definition

Cayley-Dickson konstruktion

Oktonionerna och split-oktonionerna kan erhållas från Cayley-Dickson-konstruktionen genom att definiera en multiplikation på par av kvaternioner . Vi introducerar en ny imaginär enhet ℓ och skriver ett par kvaternioner ( a , b ) i formen a + ℓ b . Produkten definieras av regeln:

$(a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+ \lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})$

var

$\lambda =\ell ^{2}.$

Om λ väljs till −1 får vi oktonionerna. Om det istället tas för att vara +1 får vi split-octonions. Man kan också erhålla split-octonions via en Cayley-Dickson-fördubbling av split-quaternions . Här ger antingen valet av λ (±1) de delade oktonionerna.

Multiplikationstabell

Ett minnesmärke för produkterna från de delade oktonionerna.

En grund för de delade oktonionerna ges av mängden $\{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}$ .

Varje delad oktonion $x$ kan skrivas som en linjär kombination av baselementen,

$x=x_{0}+x_{1}\ ,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{ 7}\,\ell k,$

med reella koefficienter $x_{a}$ .

Genom linjäritet bestäms multiplikation av delade oktonjoner helt av följande multiplikationstabell :

		multiplikator
		$1$	$i$	$j$	$k$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$
multiplikand	$1$	$1$	$i$	$j$	$k$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$
	$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$	$-\ell i$	$\ell$	$-\ell k$	$\ell j$
	$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$	$-\ell j$	$\ell k$	$\ell$	$-\ell i$
	$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$	$-\ell k$	$-\ell j$	$\ell i$	$\ell$
	$\ell$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$	$1$	$i$	$j$	$k$
	$\ell i$	$\ell i$	$-\ell$	$-\ell k$	$\ell j$	$-i$	$1$	$k$	$-j$
	$\ell j$	$\ell j$	$\ell k$	$-\ell$	$-\ell i$	$-j$	$-k$	$1$	$i$
	$\ell k$	$\ell k$	$-\ell j$	$\ell i$	$-\ell$	$-k$	$j$	$-i$	$1$

Ett bekvämt minnesminne ges av diagrammet till höger, som representerar multiplikationstabellen för de delade oktonionerna. Den här är härledd från dess moderoktonion (en av 480 möjliga), som definieras av:

$e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{ k},\,$

där $\delta _{ij}$ är Kronecker-deltat och $\varepsilon _{ijk}$ är Levi-Civita-symbolen med värde $+1$ när $ijk=123,154,176,264,257,374,365,$ och:

$e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{ 0},$

med $e_{0}$ det skalära elementet, och $i,j,k=1...7.$

De röda pilarna indikerar möjliga riktningsomkastningar genom att negera den nedre högra kvadranten av föräldern och skapa en delad oktonion med denna multiplikationstabell.

Konjugat, norm och invers

Konjugatet av en delad oktonjon x ges av

${\bar {x}}=x_{0 }-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\ ,\ell j-x_{7}\,\ell k,$

precis som för oktonionerna.

Kvadratisk form på x ges av

$N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^ {2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).$

Denna kvadratiska form N ( x ) är en isotropisk kvadratisk form eftersom det finns delade oktonjoner som inte är noll med N ( x ) = 0. Med N bildar de delade oktonionerna ett pseudo-euklidiskt utrymme med åtta dimensioner över R , ibland skrivet R ^4,4 för att beteckna den kvadratiska formens signatur.

Om N ( x ) ≠ 0, så har x en (tvåsidig) multiplikativ invers x ⁻¹ givet av

$x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.$

Egenskaper

De delade oktonionerna, liksom oktonionerna, är icke-kommutativa och icke-associativa. Liksom oktonionerna bildar de också en sammansättningsalgebra eftersom den kvadratiska formen N är multiplikativ. Det är,

$N(xy)=N(x)N(y).$

De delade oktonionerna tillfredsställer Moufang-identiteterna och bildar därför en alternativ algebra . Därför, enligt Artins teorem , är subalgebra som genereras av två element associativ. Uppsättningen av alla inverterbara element (dvs de element för vilka N ( x ) ≠ 0) bildar en Moufang-loop .

Automorfismgruppen för de delade oktonionerna är en 14-dimensionell Lie-grupp, den delade verkliga formen av den exceptionella enkla Lie-gruppen G ₂ .

Zorns vektormatrisalgebra

Eftersom de delade oktonionerna är ickeassociativa kan de inte representeras av vanliga matriser (matrismultiplikation är alltid associativ). Zorn hittade ett sätt att representera dem som "matriser" som innehåller både skalärer och vektorer med hjälp av en modifierad version av matrismultiplikation. Definiera specifikt en vektormatris som en 2×2-matris av formen

${\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},$

där a och b är reella tal och v och w är vektorer i R ³ . Definiera multiplikation av dessa matriser med regeln

${\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf { v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+ b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v } '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}$

där · och × är den vanliga prickprodukten och korsprodukten av 3-vektorer. Med addition och skalär multiplikation definierade som vanligt bildar uppsättningen av alla sådana matriser en icke-associativ enhetlig 8-dimensionell algebra över realerna, kallad Zorns vektormatrisalgebra .

Definiera " determinanten " för en vektormatris med regeln

$\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$ .

Denna determinant är en kvadratisk form på Zorns algebra som uppfyller kompositionsregeln:

$\det(AB)=\det(A)\det(B).\,$

Zorns vektormatrisalgebra är i själva verket isomorf till algebra av delade oktonjoner. Skriv en oktonion $x$ i formuläret

$x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )$

där $a$ och $b$ är reella tal och v och w är rena imaginära kvaternioner som betraktas som vektorer i R ³ . Isomorfismen från de delade oktonionerna till Zorns algebra ges av

$x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\ slut{bmatrix}}.$

Denna isomorfism bevarar normen eftersom $N(x)=\det(\phi (x))$ .

Ansökningar

Split-oktonioner används i beskrivningen av fysisk lag. Till exempel:

• Dirac -ekvationen i fysiken (rörelseekvationen för en frispinns 1/2-partikel, som t.ex. en elektron eller en proton) kan uttryckas på infödd aritmetik med delad oktonjon.
• Supersymmetrisk kvantmekanik har en oktonjonisk förlängning.
• Den Zorn-baserade delade oktonjonalgebra kan användas för att modellera lokal gauge symmetrisk SU(3) kvantkromodynamik.
• Problemet med att en boll rullar utan att glida på en kula med en radie som är 3 gånger så stor har den delade verkliga formen av den exceptionella gruppen G ₂ som sin symmetrigrupp, på grund av att detta problem kan beskrivas med delade oktonioner.

•   Harvey, F. Reese (1990). Spinorer och kalibreringar . San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1 .
• Nash, Patrick L (1990) "Om strukturen av den delade oktonionalgebra", Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi : 10.1007/BF02723550
•   Springer, TA; FD Veldkamp (2000). Octonions, Jordan Algebras och Exceptional Groups . Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1 .