Hyperbolisk quaternion

Hyperbolisk quaternion multiplikation
× 1 i j k
1 1 i j k
i i +1 k j
j j k +1 i
k k j jag +1

I abstrakt algebra är algebra för hyperboliska kvaternioner en icke-associativ algebra över de reella talen med element av formen

där kvadraterna av i, j och k är +1 och distinkta element av {i, j, k} multipliceras med den antikommutativa egenskapen.

Den fyrdimensionella algebra av hyperboliska quaternions innehåller några av funktionerna i den äldre och större algebra av biquaternions . De innehåller båda subalgebra som är isomorfa till det delade komplexa talplanet . Dessutom, precis som quaternionalgebra H kan ses som en förening av komplexa plan , så är den hyperboliska quaternionalgebra en förening av split-complex nummerplan som delar samma reella linje .

Det var Alexander Macfarlane som främjade detta koncept på 1890-talet som sin Algebra of Physics , först genom American Association for the Advancement of Science 1891, sedan genom sin 1894 bok med fem Papers in Space Analysis och i en serie föreläsningar på Lehigh universitetet år 1900.

Algebraisk struktur

Liksom quaternions bildar uppsättningen hyperboliska quaternions ett vektorrum över de reella talen av dimension 4. En linjär kombination

är en hyperbolisk kvaternion när och är reella tal och basmängden har dessa produkter:

Med hjälp av den fördelande egenskapen , kan dessa relationer användas för att multiplicera två valfria hyperboliska kvaternioner.

Till skillnad från de vanliga kvaternionerna är de hyperboliska kvaternionerna inte associativa . Till exempel, , medan . Faktum är att det här exemplet visar att de hyperboliska kvaternionerna inte ens är en alternativ algebra .

De tre första relationerna visar att produkter av de (icke-verkliga) baselementen är anti-kommutativa . Även om denna grunduppsättning inte bildar en grupp , uppsättningen

bildar en kvasigrupp . Man noterar också att vilket underplan som helst av mängden M av hyperboliska kvaternioner som innehåller den reella axeln bildar ett plan av delade-komplexa tal . Om

är konjugatet av , sedan produkten

är den kvadratiska formen som används i rymdtidsteorin . Faktum är att för händelser p och q , den bilinjära formen

uppstår som negativ till den reella delen av den hyperboliska kvaternionprodukten pq *, och används i Minkowski-rymden .

Observera att uppsättningen enheter U = { q : qq * ≠ 0 } inte är sluten under multiplikation. Se referenserna (extern länk) för detaljer.

Diskussion

De hyperboliska kvaternionerna bildar en icke-associativ ring ; misslyckandet med associativitet i denna algebra begränsar möjligheten för denna algebra i transformationsteorin. Ändå satte denna algebra fokus på analytisk kinematik genom att föreslå en matematisk modell : När man väljer en enhetsvektor r i de hyperboliska kvaternionerna, då är r 2 = +1. Planet med hyperbolisk kvaternionmultiplikation är en kommutativ och associativ subalgebra isomorft till det delade komplexa talplanet. Den hyperboliska versorn omvandlar D r med

Eftersom riktningen r i rymden är godtycklig, kan denna hyperboliska kvartjonsmultiplikation uttrycka vilken Lorentz-förstärkning som helst med hjälp av parametern a called rapidity . Den hyperboliska quaternionalgebra är dock bristfällig för att representera hela Lorentzgruppen (se biquaternion istället).

En historiker skrev 1967 om dialogen om vektormetoder på 1890-talet.

Införandet av ett annat system för vektoranalys, till och med ett slags kompromisssystem som Macfarlanes, kunde knappast tas emot väl av förespråkarna för de redan existerande systemen och verkade dessutom förmodligen för att bredda frågan bortom förståelsen av den ännu oinitierade läsaren .

Geometri

Senare publicerade Macfarlane en artikel i Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 1900. I den behandlar han en modell för hyperboliskt utrymme H 3 hyperboloiden

Denna isotropa modell kallas hyperboloidmodellen och består av alla hyperboliska versorer i ringen av hyperboliska quaternions.

Historisk recension

1890-talet kände påverkan av de postuma publikationerna av WK Clifford och de kontinuerliga grupperna av Sophus Lie . Ett exempel på en enparametergrupp är den hyperboliska versorn med den hyperboliska vinkelparametern . Denna parameter är en del av den polära nedbrytningen av ett delat-komplext tal. Men det är en häpnadsväckande aspekt av finit matematik som gör den hyperboliska quaternion-ringen annorlunda:

Basen för vektorrymden för hyperboliska kvaternioner stängs inte under multiplikation: till exempel . Ändå är mängden stängs under multiplikation. Den uppfyller alla egenskaper hos en abstrakt grupp utom associativitetsegenskapen; är ändlig, är det en latinsk kvadrat eller kvasigrupp , en perifer matematisk struktur . Förlust av associativitetsegenskapen för multiplikation som finns i kvasigruppteorin är inte förenlig med linjär algebra eftersom alla linjära transformationer består på ett associativt sätt. Ändå krävde fysikaliska forskare på 1890-talet mutation av kvadraterna av , och att vara istället för : Yale University fysiker Willard Gibbs hade broschyrer med plus en kvadrat i sitt tredimensionella vektorsystem. Oliver Heaviside i England skrev kolumner i Electrician , en facktidning, och förespråkade det positiva torget. 1892 samlade han sitt arbete i Transactions of the Royal Society A där han säger att hans vektorsystem finns

helt enkelt elementen i Quaternions utan quaternions, med notationen förenklad till det yttersta, och med det mycket obekväma minustecknet före skalär produkt avskaffat.

Så utseendet på Macfarlanes hyperboliska quaternions hade viss motivation, men den obehagliga icke-associativiteten utlöste en reaktion. Cargill Gilston Knott blev flyttad att erbjuda följande:

Teorem (Knott 1892)

Om en 4-algebra på basis av är associativ och off-diagonala produkter ges av Hamiltons regler, då är .

Bevis:

, så . Cykla bokstäverna , , för att få . QED .

elektrikerns samtal . Kvasigruppen stimulerade ett stort uppståndelse på 1890-talet: tidskriften Nature var särskilt gynnsam för en utställning av vad som var känt genom att ge två sammanfattningar av Knotts arbete såväl som av flera andra vektorteoretiker. Michael J. Crowe ägnar kapitel sex i sin bok A History of Vector Analysis åt de olika publicerade åsikterna, och noterar den hyperboliska quaternion:

Macfarlane konstruerade ett nytt system för vektoranalys mer i harmoni med Gibbs-Heaviside-systemet än med quaternion-systemet. ...han...definierade en fullständig produkt av två vektorer som var jämförbar med den fullständiga kvaternionprodukten förutom att den skalära delen var positiv, inte negativ som i det äldre systemet.

År 1899 noterade Charles Jasper Joly den hyperboliska quaternion och icke-associativitetsegenskapen samtidigt som han tillskrev Oliver Heaviside dess ursprung.

De hyperboliska quaternionerna, som Fysikens Algebra , undergrävde påståendet som vanliga quaternions gjorde på fysiken. När det gäller matematik är den hyperboliska quaternion ett annat hyperkomplext tal , som sådana strukturer kallades på den tiden. På 1890-talet Richard Dedekind introducerat ringbegreppet i kommutativ algebra, och vektorrumskonceptet abstraherades av Giuseppe Peano . År 1899 främjade Alfred North Whitehead Universal algebra och förespråkade för inkludering. Begreppen kvasigrupp och algebra över ett fält är exempel på matematiska strukturer som beskriver hyperboliska kvaternioner.

Macfarlanes hyperboliska quaternion papper från 1900

The Proceedings of the Royal Society of Edinburgh publicerade "Hyperbolic Quaternions" 1900, ett dokument där Macfarlane återfår associativitet för multiplikation genom att återgå till komplexiserade quaternions . Medan han var där använde han några uttryck som senare blev kända av Wolfgang Pauli : där Macfarlane skrev

Pauli -matriserna uppfyller

samtidigt som man hänvisar till samma komplexiserade quaternioner.

Den inledande meningen i uppsatsen är "Det är välkänt att quaternions är intimt förbundna med sfärisk trigonometri och i själva verket reducerar de subjektet till en gren av algebra." Detta påstående kan verifieras med hänvisning till det samtida verket Vector Analysis som arbetar med ett reducerat kvaternionsystem baserat på punktprodukt och korsprodukt . I Macfarlanes artikel finns det ett försök att producera "trigonometri på ytan av de liksidiga hyperboloiderna" genom algebra av hyperboliska kvartjoner, nu återidentifierade i en associativ ring med åtta reella dimensioner. Ansträngningen förstärks av en platta med nio figurer på sidan 181. De illustrerar den beskrivande kraften i hans "rymdanalys"-metod. Till exempel är figur 7 det vanliga Minkowski-diagrammet som används idag inom speciell relativitetsteori för att diskutera hastighetsändring för en referensram och relativitet för simultanitet .

På sidan 173 utökar Macfarlane sin större teori om kvaternionvariabler. Som kontrast noterar han att Felix Klein inte verkar se bortom teorin om Quaternions och rumslig rotation .