Hilbert–Pólya gissning

Inom matematiken anger Hilbert -Pólya-förmodan att de icke-triviala nollorna i Riemanns zeta-funktion motsvarar egenvärdena för en självadjointoperator . Det är ett möjligt förhållningssätt till Riemann-hypotesen , med hjälp av spektralteori .

Historia

I ett brev till Andrew Odlyzko , daterat den 3 januari 1982, sade George Pólya att medan han var i Göttingen runt 1912 till 1914 blev han tillfrågad av Edmund Landau av en fysisk anledning att Riemann-hypotesen skulle vara sann, och föreslog att detta skulle vara sant. fallet om de imaginära delarna t av nollorna

${\tfrac {1}{2}}+it$

av Riemann zeta-funktionen motsvarade egenvärden för en självadjoint operator . Det tidigaste publicerade uttalandet om gissningen verkar vara i Montgomery (1973) .

David Hilbert arbetade inte inom de centrala områdena av analytisk talteori , men hans namn har blivit känt för Hilbert–Pólya-förmodan på grund av en historia som berättas av Ernst Hellinger , en elev till Hilbert, till André Weil . Hellinger sa att Hilbert i sitt seminarium i början av 1900-talet meddelade att han förväntade sig att Riemann-hypotesen skulle vara en konsekvens av Fredholms arbete med integralekvationer med en symmetrisk kärna.

1950-talet och Selbergs spårformel

Vid tiden för Pólyas samtal med Landau fanns det liten grund för sådana spekulationer. Men Selberg i början av 1950-talet bevisade en dualitet mellan längdspektrumet av en Riemann-yta och egenvärdena för dess Laplacian . Denna så kallade Selberg-spårformel hade en slående likhet med de explicita formlerna , vilket gav trovärdighet åt Hilbert–Pólya-förmodan.

1970-tal och slumpmässiga matriser

Hugh Montgomery undersökte och fann att den statistiska fördelningen av nollorna på den kritiska linjen har en viss egenskap, nu kallad Montgomerys parkorrelationsförmodan . Nollorna tenderar inte att klunga sig för tätt ihop, utan att stöta bort. När han besökte Institute for Advanced Study 1972 visade han detta resultat för Freeman Dyson , en av grundarna av teorin om slumpmässiga matriser .

Dyson såg att den statistiska fördelningen som Montgomery hittade verkade vara densamma som parkorrelationsfördelningen för egenvärdena för en slumpmässig hermitisk matris . Dessa fördelningar är av betydelse i fysiken - egentillstånden för en Hamiltonian , till exempel energinivåerna för en atomkärna , uppfyller sådan statistik. Efterföljande arbete har starkt bekräftat sambandet mellan fördelningen av nollorna i Riemann zeta-funktionen och egenvärdena för en slumpmässig hermitisk matris hämtad från den Gaussiska enhetliga ensemblen , och båda tros nu lyda samma statistik. Således har Hilbert-Pólya-förmodan nu en mer solid grund, även om den ännu inte har lett till ett bevis för Riemann-hypotesen.

Senare utveckling

1998 formulerade Alain Connes en spårformel som faktiskt motsvarar Riemanns hypotes . Detta stärkte analogin med Selbergs spårformel till den punkt där den ger exakta uttalanden. Han ger en geometrisk tolkning av explicita formel som en spårformel på icke-kommutativ geometri för Adele -klasser.

Möjligt samband med kvantmekanik

En möjlig koppling av Hilbert–Pólya-operatören med kvantmekanik gavs av Pólya. Hilbert–Pólya gissningsoperatorn är av formen ${\tfrac {1}{2}}+iH$ där $H$ är Hamiltonian för en partikel med massa $m$ som rör sig under påverkan av en potential $V(x)$ . Riemann-förmodan motsvarar påståendet att Hamiltonian är Hermitian , eller motsvarande att $V$ är verklig.

Genom att använda störningsteori i första ordningen, är energin för det n: te egentillståndet relaterad till potentialens förväntade värde :

$E_{n}=E_{n}^{0}+\left.\left\langle \varphi _{n}^{0}\right|V\left|\varphi _{n} ^{0}\right.\right\rangle$

där $E_{n}^{0}$ och $\varphi _{n}^{0}$ är egenvärdena och egentillstånden för den fria partikeln Hamiltonian. Denna ekvation kan uppfattas som en Fredholms integralekvation av första slag , med energierna $E_{n}$ . Sådana integralekvationer kan lösas med hjälp av resolventkärnan , så att potentialen kan skrivas som

${\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty$

där $R(x,k)$ är resolventkärnan, $A$ är en reell konstant och

$g(k)=i\summa _{n=0}^{\infty }\left({\ frac {1}{2}}-\rho _{n}\right)\delta (kn)$

där $\delta (kn)$ är Dirac deltafunktionen och $\rho _{n}$ är de "icke-triviala" rötterna till zetafunktionen $\zeta (\rho _{n})=0$ .

Michael Berry och Jonathan Keating har spekulerat i att Hamiltonian H faktiskt är en kvantisering av den klassiska Hamiltonian xp , där p är det kanoniska momentum som associeras med x . Den enklaste hermitiska operatorn som motsvarar xp är

${\hat {H}}={\tfrac {1}{2}}({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x} })=-i\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\right).$

Denna förfining av Hilbert-Pólya-förmodan är känd som Berry-förmodan (eller Berry-Keating-förmodan) . Från och med 2008 är det fortfarande ganska långt ifrån att vara konkret, eftersom det inte är klart på vilket utrymme denna operatör ska agera för att få rätt dynamik, och inte heller hur man ska reglera den för att få de förväntade logaritmiska korrigeringarna. Berry och Keating har gissat att eftersom denna operator är invariant under dilatationer kanske gränsvillkoret f ( nx ) = f ( x ) för heltal n kan hjälpa till att få de korrekta asymptotiska resultaten som är giltiga för stora n

${\frac {1}{2}}+i{\frac {2\pi n}{\log n}}.$

En artikel publicerades i mars 2017, skriven av Carl M. Bender , Dorje C. Brody och Markus P. Müller, som bygger på Berrys inställning till problemet. Där operatören

${\hat {H}}={\frac {1}{1 -e^{-i{\hat {p}}}}}\left({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}}\höger )\left(1-e^{-i{\hat {p}}}\right)$

introducerades, vilket de hävdar uppfyller vissa modifierade versioner av villkoren för Hilbert–Pólya-förmodan. Jean Bellissard har kritiserat denna tidning, och författarna har svarat med förtydliganden. Dessutom har Frederick Moxley närmat sig problemet med en Schrödinger-ekvation .

Vidare läsning

•   Aneva, B. (1999), "Symmetry of the Riemann operator" (PDF) , Physics Letters B , 450 (4): 388–396, arXiv : 0804.1618 , doi : 10.1016/s0370-2003(72) 2003(99 ) S2CID 222175681 .

   Wolf, M. (2020), "Kommer en fysiker att bevisa Riemanns hypotes?" , Reports on Progress in Physics , 83 (4): 036001, arXiv : 1410.1214 , doi : 10.1088/1361-6633/ab3de7 , PMID 31437818 , S2CID 854508 .

•   Elizalde, Emilio (1994), Zeta-regulariseringstekniker med applikationer , World Scientific, Bibcode : 1994zrta.book.....E , ISBN 978-981-02-1441-8 . Här förklarar författaren i vilken mening problemet med Hilbert–Polya är relaterat till problemet med Gutzwillers spårformel och vad som skulle vara värdet av summan exp $\displaystyle \exp(i\gamma )}$ taget över nollornas imaginära delar.