Finitär
Inom matematik och logik är en operation finitär om den har finit aritet , dvs om den har ett ändligt antal ingångsvärden. På liknande sätt är en infinitär operation en med ett oändligt antal ingångsvärden.
I standardmatematik är en operation finitär per definition. Därför används dessa termer vanligtvis bara i samband med infinitär logik .
Finitärt argument
Ett finitärt argument är ett som kan översättas till en ändlig uppsättning symboliska propositioner utgående från en finit uppsättning axiom . Det är med andra ord ett bevis (inklusive alla antaganden) som kan skrivas på ett tillräckligt stort pappersark.
Däremot studerar infinitär logik logik som tillåter oändligt långa påståenden och bevis . I en sådan logik kan man till exempel betrakta den existentiella kvantifieraren som härledd från en infinitär disjunktion .
Historia
Logiker i början av 1900-talet syftade till att lösa problemet med stiftelser, till exempel, "Vad är den sanna basen för matematik?" Programmet skulle kunna skriva om all matematik med ett helt syntaktisk språk utan semantik . Med David Hilberts ord (med hänvisning till geometri ), "spelar det ingen roll om vi kallar sakerna stolar , bord och ölmuggar eller punkter , linjer och plan ."
Betoningen på ändlighet kom från idén att mänskligt matematiskt tänkande är baserat på ett ändligt antal principer [ citat behövs ] och alla resonemang följer i huvudsak en regel: modus ponens . Projektet var att fixa ett ändligt antal symboler (i huvudsak siffrorna 1, 2, 3, ... bokstäverna i alfabetet och några speciella symboler som "+", "⇒", "(", ")", etc. ), ge ett ändligt antal propositioner uttryckta i dessa symboler, som skulle tas som "grunder" (axiomen), och några regler för slutledning som skulle modellera hur människor drar slutsatser. Från dessa, oavsett den semantiska tolkningen av symbolerna, bör de återstående satserna följa formellt med endast de angivna reglerna (som gör att matematik ser ut som ett spel med symboler mer än en vetenskap ) utan att behöva förlita sig på uppfinningsrikedom. Förhoppningen var att bevisa att från dessa axiom och regler alla matematikens satser härledas. Det målet är känt som logicism .