Hilbert–Poincaré-serien

Inom matematiken , och i synnerhet inom algebraområdet, är en Hilbert–Poincaré-serie (även känd under namnet Hilbert-serien ) , uppkallad efter David Hilbert och Henri Poincaré , en anpassning av begreppet dimension till kontexten av graderade algebraiska strukturer (där dimensionen av hela strukturen ofta är oändlig). Det är en formell potensserie i en obestämd, säg $t$ , där koefficienten för $t^{n}$ ger dimensionen (eller rangordningen) av understrukturen av element som är homogena i grad $n$ . Det är nära besläktat med Hilbertpolynomet i fall då det senare existerar; emellertid beskriver Hilbert–Poincaré-serien rangordningen i varje grad, medan Hilbertpolynomet endast beskriver den i alla utom ändligt många grader och ger därför mindre information. I synnerhet kan Hilbert–Poincaré-serien inte härledas från Hilbertpolynomet även om det senare existerar. I bra fall kan Hilbert–Poincaré-serien uttryckas som en rationell funktion av dess argument $t$ .

Definition

Låt K vara ett fält och låt ${\displaystyle V=\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}} vara$ ett $\mathbb { N}$ - graderat vektorrum över K , där varje delrum Vi $\displaystyle V_{i}}$ vektorer med grad i är ändligdimensionell. Då är Hilbert–Poincaré-serien av V den formella kraftserien

\sum _{i\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{i})t^{i}.

En liknande definition kan ges för en $\mathbb {N}$ -graderad R -modul över valfri kommutativ ring R där varje submodul av element homogena med en fast grad n är fri från finit rang; det räcker att ersätta dimensionen med rangen. Ofta har det graderade vektorutrymmet eller modulen som Hilbert-Poincaré-serien anses vara ytterligare struktur, till exempel den för en ring, men Hilbert-Poincaré-serien är oberoende av multiplikativ eller annan struktur.

Exempel: Eftersom det finns ${\binom {n+k}{n}}$ monomer av grad k i variablerna $X_{0},\dots , X_{n}$ (genom induktion, säg), kan man härleda att summan av Hilbert–Poincaré-serien av $K[X_{0},\dots ,X_{n }]$ är den rationella funktionen $1/(1-t)^{n+1}$ .

Hilbert-Serres sats

Antag att M är en ändligt genererad graderad modul över $A[x_{1},\dots ,x_{n}],\deg x_{ i}=d_{i}$ med en artinisk ring (t.ex. ett fält) A . Då är Poincaré-serien av M ett polynom med integralkoefficienter dividerat med $\prod (1-t^{d_{i}})$ . Standardbeviset idag är en induktion på n . Hilberts ursprungliga bevis använde sig av Hilberts syzygyteorem (en projektiv upplösning av M ), som ger mer homologisk information.

Här är ett bevis genom induktion på antalet n obestämda. Om ${\displaystyle n=0},$ då, eftersom M har ändlig längd, är $M_{k}=0$ om k är tillräckligt stor. Antag sedan att satsen är sann för $n-1$ och betrakta den exakta sekvensen av graderade moduler (exakt gradmässigt), med notationen $N (l)_{k}=N_{k+l}$ ,

0\to K(-d_{n})\to M(-d_{n}){\overset {x_ {n}}{\to }}M\to C\to 0

.

Eftersom längden är additiv är Poincaré-serien också additiv. Därför har vi:

P(M,t)=-P (K(-d_{n}),t)+P(M(-d_{n}),t)-P(C,t)

.

Vi kan skriva $P(M(-d_{n}),t)=t^{d_{n}}P (M,t)$ . Eftersom K dödas av $x_{n}$ kan vi betrakta det som en graderad modul över $A[x_{0},\dots ,x_ {n-1}]$ ; detsamma gäller för C . Satsen följer alltså nu av den induktiva hypotesen.

Kedjekomplex

Ett exempel på graderat vektorrum är associerat med ett kedjekomplex eller samkedjekomplex C av vektorrum; den senare tar formen

0\to C^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }} C^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1} }{\longrightarrow }}C^{n}\longrightarrow 0.

Hilbert–Poincaré-serien (här ofta kallad Poincaré-polynomet) av det graderade vektorrummet $\bigoplus _{i}C^{i}$ för detta komplex är

P_{C}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(C^{j})t^{j}.

Kohomologins Hilbert–Poincaré-polynom , med kohomologiutrymmen H ^j = H ^j ( C ), är

P_{H}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(H^{j})t^{j}.

$P_{C}(t)-P_{H}(t)=(1+t)Q(t).$ är att det finns ett polynom $Q(t)$ med icke-negativa koefficienter, så att

Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introduktion till kommutativ algebra . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8 .