Ren matematik

Ren matematik studerar egenskaperna och strukturen hos abstrakta objekt, som E8-gruppen , i gruppteori . Detta kan göras utan att fokusera på konkreta tillämpningar av begreppen i den fysiska världen.

Ren matematik är studiet av matematiska begrepp oberoende av någon tillämpning utanför matematiken . Dessa begrepp kan ha sitt ursprung i verkliga angelägenheter, och de resultat som erhålls kan senare visa sig vara användbara för praktiska tillämpningar, men rena matematiker motiveras inte primärt av sådana tillämpningar. Istället tillskrivs överklagandet den intellektuella utmaningen och den estetiska skönheten i att utarbeta de logiska konsekvenserna av grundläggande principer .

Medan ren matematik har funnits som en aktivitet sedan åtminstone antikens Grekland , utvecklades konceptet kring år 1900, efter införandet av teorier med kontraintuitiva egenskaper (som icke-euklidiska geometrier och Cantors teori om oändliga mängder), och upptäckten av skenbara paradoxer (såsom kontinuerliga funktioner som inte går att särskilja någonstans , och Russells paradox) . Detta införde behovet av att förnya begreppet matematisk rigor och skriva om all matematik därefter, med en systematisk användning av axiomatiska metoder . Detta fick många matematiker att fokusera på matematiken för dess egen skull, det vill säga ren matematik.

Ändå förblev nästan alla matematiska teorier motiverade av problem som kom från den verkliga världen eller från mindre abstrakta matematiska teorier. Även många matematiska teorier, som hade verkat vara helt ren matematik, användes så småningom inom tillämpade områden, främst fysik och datavetenskap . Ett berömt tidigt exempel är Isaac Newtons demonstration av att hans lag om universell gravitation antydde att planeter rör sig i banor som är koniska sektioner , geometriska kurvor som hade studerats i antiken av Apollonius . Ett annat exempel är problemet med att faktorisera stora heltal , vilket är grunden för RSA-kryptosystemet , som används ofta för att säkra internetkommunikation .

Av detta följer att distinktionen mellan ren och tillämpad matematik för närvarande snarare är en filosofisk synvinkel eller en matematikers preferens än en stel indelning av matematik. I synnerhet är det inte ovanligt att en del medlemmar av en institution för tillämpad matematik beskriver sig själva som rena matematiker.

Historia

Antikens Grekland

Forntida grekiska matematiker var bland de tidigaste som gjorde en skillnad mellan ren och tillämpad matematik. Platon hjälpte till att skapa klyftan mellan "aritmetik", nu kallad talteori , och "logistik", nu kallad aritmetik . Platon ansåg logistik (arithmetik) som lämpligt för affärsmän och krigsmän som "måste lära sig konsten att siffror annars kommer [de] inte att veta hur de ska ställa upp [sina] trupper" och aritmetik (sifferteori) som lämpligt för filosofer "eftersom [ de måste] stiga upp ur förändringens hav och ta tag i det sanna väsendet." Euklid av Alexandria , när en av sina elever frågade vilken nytta studien av geometri hade, bad sin slav att ge studenten tre pence, "eftersom han måste tjäna på det han lär sig." Den grekiske matematikern Apollonius av Perga tillfrågades om användbarheten av några av hans teorem i bok IV av Conics som han stolt hävdade,

De är värda att accepteras för själva demonstrationernas skull, på samma sätt som vi accepterar många andra saker inom matematiken för detta och utan någon annan anledning.

Och eftersom många av hans resultat inte var tillämpliga på hans tids vetenskap eller ingenjörskonst, hävdade Apollonius vidare i förordet till den femte boken Conics att ämnet är ett av de som "... verkar värda att studera för sin egen skull. ."

1800-talet

Termen i sig är inskriven i den fullständiga titeln på Sadleirian Chair , "Sadleirian Professor of Pure Mathematics", grundad (som en professur) i mitten av artonhundratalet. Idén om en separat disciplin av ren matematik kan ha uppstått vid den tiden. Generationen av Gauss gjorde ingen svepande skillnad av det slag, mellan ren och tillämpad . Under de följande åren började specialisering och professionalisering (särskilt i Weierstrass -metoden för matematisk analys ) att göra en spricka mer uppenbar.

1900-talet

I början av 1900-talet tog matematiker upp den axiomatiska metoden , starkt influerad av David Hilberts exempel. Den logiska formuleringen av ren matematik föreslog av Bertrand Russell i termer av en kvantifierande struktur av propositioner verkade mer och mer rimlig, eftersom stora delar av matematiken blev axiomatiserad och därmed föremål för de enkla kriterierna för rigorösa bevis .

Ren matematik, enligt en uppfattning som kan tillskrivas Bourbaki-gruppen , är det som bevisas. "Ren matematiker" blev ett erkänt yrke, som kunde uppnås genom utbildning.

Fallet gjordes att ren matematik är användbar i ingenjörsutbildningen :

Det finns en träning i tankevanor, synvinklar och intellektuell förståelse av vanliga tekniska problem, som endast studier av högre matematik kan ge.

Generalitet och abstraktion

En illustration av Banach-Tarski-paradoxen , ett berömt resultat i ren matematik. Även om det är bevisat att det är möjligt att omvandla en sfär till två genom att bara använda skärningar och rotationer, involverar transformationen objekt som inte kan existera i den fysiska världen.

Ett centralt begrepp inom ren matematik är idén om generalitet; ren matematik uppvisar ofta en trend mot ökad generalitet. Användningar och fördelar med generalitet inkluderar följande:

• Generalisering av satser eller matematiska strukturer kan leda till en djupare förståelse av de ursprungliga satserna eller strukturerna
• Allmänhet kan förenkla presentationen av material, vilket resulterar i kortare bevis eller argument som är lättare att följa.
• Man kan använda generalitet för att undvika dubbelarbete, bevisa ett generellt resultat istället för att behöva bevisa separata fall oberoende, eller använda resultat från andra områden av matematiken.
• Generalitet kan underlätta kopplingar mellan olika grenar av matematiken. Kategoriteori är ett område inom matematiken som är dedikerat till att utforska denna gemensamma struktur när den utspelar sig inom vissa områden av matematiken.

Allmänhetens inverkan på intuitionen är både beroende av ämnet och en fråga om personlig preferens eller inlärningsstil. Ofta ses generalitet som ett hinder för intuition, även om det säkert kan fungera som ett hjälpmedel för det, särskilt när det ger analogier till material som man redan har god intuition för.

Som ett utmärkt exempel på allmänhet involverade Erlangen-programmet en utvidgning av geometrin för att tillgodose icke-euklidiska geometrier såväl som området topologi och andra former av geometri, genom att se geometri som studiet av ett utrymme tillsammans med en grupp av transformationer . Studiet av siffror , som kallas algebra på den inledande grundnivån, sträcker sig till abstrakt algebra på en mer avancerad nivå; och studiet av funktioner , kallat kalkyl på förstaårsnivå, blir matematisk analys och funktionell analys på en mer avancerad nivå. Var och en av dessa grenar av mer abstrakt matematik har många underspecialiteter, och det finns faktiskt många kopplingar mellan ren matematik och tillämpade matematikdiscipliner. En brant ökning av abstraktionen sågs i mitten av 1900-talet.

I praktiken ledde dock denna utveckling till en kraftig avvikelse från fysiken , särskilt från 1950 till 1983. Senare kritiserades detta, till exempel av Vladimir Arnold , som för mycket Hilbert , inte tillräckligt med Poincaré . Saken tycks ännu inte vara avgjord, i och med att strängteorin drar åt ett håll, medan diskret matematik drar sig tillbaka mot bevis som central.

Ren vs tillämpad matematik

Matematiker har alltid haft olika åsikter om skillnaden mellan ren och tillämpad matematik. Ett av de mest kända (men kanske missförstådda) moderna exemplen på denna debatt finns i GH Hardys essä från 1940 A Mathematician's Apology . Ordet "ursäkt" i detta fall hänvisar till den arkaiska definitionen av "försvar" eller "förklaring", som i Platons ursäkt .

Det är en allmän uppfattning att Hardy ansåg tillämpad matematik vara ful och tråkig. Även om det är sant att Hardy föredrog ren matematik, som han ofta jämförde med måleri och poesi , såg Hardy att skillnaden mellan ren och tillämpad matematik helt enkelt var att tillämpad matematik försökte uttrycka fysisk sanning i en matematisk ram, medan ren matematik uttryckte sanningar som var oberoende av den fysiska världen. Hardy gjorde en separat distinktion i matematik mellan vad han kallade "riktig" matematik, "som har permanent estetiskt värde", och "de tråkiga och elementära delarna av matematiken" som har praktisk användning.

Hardy ansåg att vissa fysiker, såsom Einstein och Dirac , var bland de "riktiga" matematikerna, men vid den tidpunkt då han skrev sin ursäkt ansåg han allmän relativitetsteori och kvantmekanik vara "värdelösa", vilket gjorde att han kunde hålla uppfattningen att endast "tråkig" matematik var användbar. Dessutom medgav Hardy kort att – precis som tillämpningen av matristeori och gruppteori på fysiken hade kommit oväntat – kan tiden komma då några slags vacker, "riktig" matematik också kan vara användbar.

En annan insiktsfull syn erbjuds av den amerikanske matematikern Andy Magid :

Jag har alltid trott att en bra modell här skulle kunna hämtas från ringteorin. I det ämnet har man delområdena kommutativ ringteori och icke-kommutativ ringteori . En oinformerad observatör kanske tror att dessa representerar en dikotomi, men i själva verket subsumerar den senare den förra: en icke-kommutativ ring är en inte-nödvändigtvis-kommutativ ring. Om vi ​​använder liknande konventioner kan vi hänvisa till tillämpad matematik och icke-tillämpad matematik, där vi med det senare menar inte-nödvändigtvis-tillämpad matematik ... [min kursivering]

Friedrich Engels hävdade i sin bok Anti-Dühring från 1878 att "det är inte alls sant att sinnet i ren matematik endast sysslar med sina egna skapelser och fantasier. Begreppen antal och figur har inte uppfunnits från någon annan källa än världen. av verkligheten". Han hävdade vidare att "Innan man kom på idén att härleda formen av en cylinder från rotationen av en rektangel runt en av dess sidor, måste ett antal riktiga rektanglar och cylindrar, hur ofullständiga de än har sin form, ha undersökts. Liksom alla andra vetenskaper, matematik uppstod ur människors behov...Men, som i varje tankeavdelning, vid ett visst utvecklingsstadium blir lagarna, som abstraherades från den verkliga världen, skilda från den verkliga världen och sätts upp emot det som något oberoende, som lagar som kommer utifrån, som världen måste rätta sig efter."

Se även

• Tillämpad matematik
• Logik
• Metalogisk
• Metamatematik

externa länkar

• Vad är ren matematik? – Institutionen för ren matematik, University of Waterloo
• The Principles of Mathematics av ​​Bertrand Russell