Hilbert matris

I linjär algebra är en Hilbert-matris , introducerad av Hilbert ( 1894 ), en kvadratisk matris med ingångar som enhetsbråken

$H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.$

Till exempel, detta är 5 × 5 Hilbert-matrisen:

$H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1 }{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}} &{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac { 1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6} }&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.$

Hilbertmatrisen kan betraktas som härledd från integralen

$H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,$

det vill säga som en grammatris för potenser x . Det uppstår i minsta kvadraters approximation av godtyckliga funktioner av polynom .

Hilbert-matriserna är kanoniska exempel på dåligt konditionerade matriser, som är notoriskt svåra att använda i numerisk beräkning . Till exempel är 2-norm villkorsnumret för matrisen ovan cirka 4,8 × 10 ⁵ .

Historisk anteckning

Hilbert (1894) introducerade Hilbert-matrisen för att studera följande fråga i approximationsteorin : "Antag att I = [ a , b ] , är ett reellt intervall. Är det då möjligt att hitta ett icke-noll polynom P med heltalskoefficienter, t.ex. att integralen

$\int _{a}^{b}P(x)^{2}dx$

är mindre än någon given bunden ε > 0, taget godtyckligt liten?" För att svara på denna fråga härleder Hilbert en exakt formel för determinanten för Hilbert-matriserna och undersöker deras asymptotik. Han drar slutsatsen att svaret på hans fråga är positivt om längden b − a för intervallet är mindre än 4.

Egenskaper

Hilbert-matrisen är symmetrisk och positiv bestämd . Hilbert-matrisen är också helt positiv (vilket innebär att determinanten för varje submatris är positiv).

Hilbert-matrisen är ett exempel på en Hankel-matris . Det är också ett specifikt exempel på en Cauchy-matris .

Determinanten kan uttryckas i sluten form , som ett specialfall av Cauchy-determinanten . Determinanten för n × n Hilbert-matrisen är

$\det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},$

var

$c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{ni}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.$

Hilbert nämnde redan det märkliga faktum att determinanten för Hilbert-matrisen är den reciproka av ett heltal (se sekvensen OEIS : A005249 i OEIS ), vilket också följer av identiteten

${\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1 }^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}.$

Med hjälp av Stirlings approximation av faktorn kan man fastställa följande asymptotiska resultat:

$\det(H)\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},$

där a _n konvergerar till konstanten $e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0,6450$ som $n\to \infty$ , där A är Glaisher–Kinkelin-konstanten .

Inversen av Hilbert-matrisen kan uttryckas i sluten form med hjälp av binomialkoefficienter ; dess poster är

$(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{nj} }{\binom {n+j-1}{ni}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},$

där n är ordningen på matrisen. Härav följer att ingångarna i den inversa matrisen alla är heltal, och att tecknen bildar ett schackbrädemönster som är positivt på huvuddiagonalen . Till exempel,

${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].$

Villkorsnumret för n × n Hilbert-matrisen växer när $O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n} /{\sqrt {n}}\right)$ .

Ansökningar

Metoden för moment som tillämpas på polynomfördelningar resulterar i en Hankel-matris , som i det speciella fallet att approximera en sannolikhetsfördelning på intervallet [0, 1] resulterar i en Hilbert-matris. Denna matris måste inverteras för att erhålla viktparametrarna för approximationen av polynomfördelningen.

Vidare läsning

•    Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica , 18 : 155–159, doi : 10.1007/BF02418278 , ISSN 0001-5962 , JFM 25.020 . Omtryckt i Hilbert, David. "artikel 21". Samlade papper . Vol. II.
•    Beckermann, Bernhard (2000). "Tillståndsnumret för riktiga Vandermonde, Krylov och positiva bestämda Hankel-matriser". Numerisk Mathematik . 85 (4): 553–577. CiteSeerX 10.1.1.23.5979 . doi : 10.1007/PL00005392 . S2CID 17777214 .
•   Choi, M.-D. (1983). "Knep eller godsaker med Hilbert Matrix". American Mathematical Monthly . 90 (5): 301–312. doi : 10.2307/2975779 . JSTOR 2975779 .
• Todd, John (1954). "Tillståndsnumret för det finita segmentet av Hilbert-matrisen". National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series . 39 : 109–116.
•   Wilf, HS (1970). Finita sektioner av några klassiska ojämlikheter . Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-04809-1 .