Hilberts sats 90

I abstrakt algebra är Hilberts sats 90 (eller Satz 90 ) ett viktigt resultat på cykliska förlängningar av fält (eller till en av dess generaliseringar) som leder till Kummer -teorin . I sin mest grundläggande form står det att om L / K är en förlängning av fält med cyklisk Galois-grupp G = Gal( L / K ) genererad av ett element $\sigma ,$ och om $a$ är ett element av L i relativ norm 1, dvs

$N(a):=a\,\sigma (a)\,\sigma ^{ 2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1,$

då finns det $b$ i L så att

$a=b/\sigma (b).$

Satsen har fått sitt namn från det faktum att den är den 90:e satsen i David Hilberts Zahlbericht ( Hilbert 1897 , 1998 ), även om den ursprungligen beror på Kummer ( 1855 , s.213, 1861 ).

Ofta får en mer allmän sats på grund av Emmy Noether ( 1933 ) namnet, som säger att om L / K är en finit Galois-utvidgning av fält med godtycklig Galois-grupp G = Gal( L / K ), så är den första kohomologigruppen av G , med koefficienter i den multiplikativa gruppen av L , är trivial:

H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.

Exempel

Låt $L/K$ vara den kvadratiska förlängningen $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ . Galois-gruppen är cyklisk av ordning 2, dess generator $\sigma$ verkar via konjugation:

\sigma :c+di\mapsto c-di.

Ett element $a=x+yi$ i $\mathbb {Q} (i)$ har normen $a\sigma (a)=x^{2}+y^{2}$ . Ett element av norm ett motsvarar alltså en rationell lösning av ekvationen $x^{2}+y^{2}=1$ eller med andra ord en punkt med rationella koordinater på enhetscirkel . Hilberts sats 90 säger sedan att varje sådant element a av norm man kan skrivas som

a={\frac {c-di}{c+di} }={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2 }}}jag,

där $b=c+di$ är som i slutsatsen av satsen, och c och d är båda heltal. Detta kan ses som en rationell parametrisering av de rationella punkterna på enhetscirkeln. Rationella punkter $(x,y)=(p/r,q/r)$ på enhetscirkeln $x^{2}+y^{2}=1$ motsvarar Pythagoras trippel , dvs trippel $(p,q,r)$ av heltal som uppfyller $p^{2}+q^{2}=r^{2}$ .

Kohomologi

Satsen kan uttryckas i termer av gruppkohomologi : om L ^× är den multiplikativa gruppen av vilken som helst (inte nödvändigtvis finit) Galois-förlängning L av ett fält K med motsvarande Galois-grupp G , då

H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.

Specifikt är gruppkohomologi kohomologin av komplexet vars i- ko-kedjor är godtyckliga funktioner från i -tupler av gruppelement till den multiplikativa koefficientgruppen, $\ displaystyle C^{i}(G,L^{\times })=\{\phi :G^{i}\to L^{\times }\}} , med$ differentialer $d^{i}:C^{i}\to C^{i+1}$ definierad i dimensionerna $i=0,1$ av:

$(d) ^{0}(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\quad {\text{ och }}\quad (d^{1}(\phi ))(\sigma ,\tau )\,=\,\phi (\sigma )\phi (\tau )^{\sigma }/\phi (\sigma \tau ),$

där $x^{g}$ anger bilden av $G$ -modulelementet $x$ under åtgärden av gruppelementet $g\in G$ . Observera att i den första av dessa har vi identifierat en 0- kokedja $\gamma =\gamma _{b}:G^{0}=id_{G} \to L^{\times }$ , med dess unika bildvärde $b\in L^{\times }$ . Trivialiteten för den första kohomologigruppen är då ekvivalent med att 1-samcyklerna $Z^{1}$ är lika med 1-samgränserna $B^{1}$ , nämligen:

${\begin{array}{rcl}Z^{1}&=&\ker d^{1}&=&\{\phi \in C^{1}{\text{ tillfredsställande }}\, \,\forall \sigma ,\tau \in G\,\colon \,\,\phi (\sigma \tau )=\phi (\sigma )\,\phi (\tau )^{\sigma }\} \\{\text{ är lika med }}\\B^{1}&=&{\text{im }}d^{0}&=&\{\phi \in C^{1}\ \, \colon \,\,\exists \,b\in L^{\times }{\text{ så att }}\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }\ \ \forall \sigma \in G\}.\end{array}}$

För cyklisk $G=\{1,\sigma ,\ldots ,\sigma ^{n-1}\}$ bestäms en 1-samcykel av $\phi (\sigma )=a\in L^{\times }$ , med ${\displaystyle \phi (\sigma ^{i})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{i-1}(a)} och$ :

$1=\phi (1)=\phi (\sigma ^{n})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=N(a).$

Å andra sidan bestäms en 1-kogräns av $\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }$ . Att likställa dessa ger den ursprungliga versionen av satsen.

En ytterligare generalisering är till kohomologi med icke-abelska koefficienter : att om H antingen är den allmänna eller speciella linjära gruppen över L , inklusive $\operatornamn {GL} _{1}(L )=L^{\ gånger }$ , sedan

$H^{1}(G,H)=\{1\}.$

En annan generalisering är till ett schema X :

H_{\text{et}}^{1}(X,\mathbb {G} _ {m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatörsnamn {Pic} (X),

där $\operatorname {Pic} (X)$ är gruppen av isomorfismklasser av lokalt fria skivor av ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ -moduler av rang 1 för Zariski-topologin, och $\mathbb {G} _{m}$ är bunten som definieras av den affina linjen utan ursprunget som betraktas som en grupp under multiplikation.

Det finns ytterligare en generalisering till Milnor K-teorin som spelar en roll i Voevodskys bevis på Milnors gissning .

Bevis

Låt $L/K$ vara cyklisk av grad $n,$ och $\sigma$ genererar $\operatorname {Gal} (L/ K)$ . Välj vilken $a\in L$ som helst av normen

N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a )\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.

Genom att rensa nämnare är att lösa $a=x/\sigma ^{-1}(x)\in L$ detsamma som att visa att $a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\to L$ har $1$ som ett egenvärde. Vi utökar detta till en karta över $L$ -vektorutrymmen via