Hilbert klassfält

I algebraisk talteori är Hilbert-klassfältet E i ett talfält K den maximala abelska oframifierade förlängningen av K. Dess grad över K är lika med klassnumret för K och Galois-gruppen av E över K är kanoniskt isomorf till den ideala klassgruppen av K med Frobenius-element för primideal i K .

I detta sammanhang är Hilbert-klassfältet för K inte bara oförgrenat på de ändliga platserna (den klassiska idealteoretiska tolkningen) utan också på de oändliga platserna i K . Det vill säga, varje verklig inbäddning av K sträcker sig till en verklig inbäddning av E (snarare än till en komplex inbäddning av E ).

Exempel

Om ringen av heltal för K är en unik faktoriseringsdomän , i synnerhet om ${\displaystyle K=\mathbb {Q} } ,$ så är K dess eget Hilbert-klassfält.
Låt $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-15}})$ av diskriminant $-15$ . Fältet $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}},{\sqrt {5}})$ har diskriminant $225=(-15)^{2}$ och så är en oramifierad förlängning av K överallt , och den är abelsk. Genom att använda Minkowski bound , kan man visa att K har klass nummer 2. Därför är dess Hilbert-klassfält $L$ . Ett icke-principiellt ideal för K är (2,(1+ √ −15 )/2), och i L blir detta huvudideal ((1+ √ 5 )/2).
Fältet $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})$ har klassnummer 3. Dess Hilbert-klassfält kan bildas genom att angränsa en rot av x ³ - x - 1, som har diskriminant -23.
För att se varför förgreningen vid arkimediska primtal måste beaktas, betrakta det verkliga kvadratiska fältet K som erhålls genom att ansluta kvadratroten ur 3 till Q . Detta fält har klassnummer 1 och diskriminant 12, men förlängningen K ( i )/ K för diskriminant 9=32 ^är oframifierad vid alla primideal i K , så K tillåter finita abelska förlängningar av grad större än 1 där alla finita primtal av K är oframifierade. Detta motsäger inte Hilbert-klassfältet där K är K självt: varje riktig finit abelsk förlängning av K måste förgrena sig någonstans, och i förlängningen K ( i )/ K finns det förgreningar på arkimediska platser: de verkliga inbäddningarna av K sträcker sig till komplexa (snarare än verkliga) inbäddningar av K ( i ).
Genom teorin om komplex multiplikation genereras Hilbert-klassfältet för ett imaginärt kvadratiskt fält av värdet av den elliptiska modulära funktionen vid en generator för ringen av heltal (som en Z -modul).

Historia

Förekomsten av ett (smalt) Hilbert-klassfält för ett givet nummerfält K antogs av David Hilbert ( 1902 ) och bevisades av Philipp Furtwängler . Förekomsten av Hilbert-klassfältet är ett värdefullt verktyg för att studera strukturen för den ideala klassgruppen för ett givet fält.

Ytterligare egenskaper

Hilbert-klassfältet E uppfyller också följande:

E är en finit Galois- förlängning av K och [ E : K ] = h _K , där h _K är klassnumret för K.
Den ideala klassgruppen av K är isomorf till Galois-gruppen av E över K .
Varje ideal för O _K sträcker sig till ett huvudideal för ringförlängningen O _E ( principidealsats) .
Varje primideal P av O _K sönderfaller till produkten av h K _/ f primideal i O _E , där f är ordningen för [ P ] i den ideala klassgruppen av O _K.

Faktum är att E är det unika fältet som uppfyller de första, andra och fjärde egenskaperna.

Explicita konstruktioner

Om K är imaginär kvadratisk och A är en elliptisk kurva med komplex multiplikation med ringen av heltal av K , då angränsande till j-invarianten av A till K ger Hilbert-klassfältet.

Generaliseringar

I klassfältteori studerar man strålklassfältet med avseende på en given modul , som är en formell produkt av primära ideal (inklusive, möjligen, arkimediska sådana). Strålklassfältet är den maximala abelska förlängningen oförgrenad utanför primtal som delar modulen och uppfyller ett särskilt förgreningsvillkor vid primtal som delar modulen. Hilbert-klassfältet är då strålklassfältet med avseende på trivialmodulen 1 .

Det smala klassfältet är strålklassfältet med avseende på modulen som består av alla oändliga primtal. Argumentet ovan visar till exempel att $) {\displaystyle \mathbb { Q} ({\sqrt {3}})}$ $\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}},i)}$ är det smala klassfältet för .

Anteckningar

Childress, Nancy (2009), Class field theory , New York: Springer , doi : 10.1007/978-0-387-72490-4 , ISBN 978-0-387-72489-8 , MR 2462595
Furtwängler, Philipp (1906), "Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers" , Mathematische Annalen , 63 (1): 1–37, doi : 10.1007 /BF01448421 , JFM 37. 37. ret . 37. ret. 2009-08- 21
Hilbert, David (1902) [1898], "Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper", Acta Mathematica , 26 (1): 99–131, doi : 10.1007/BF02415486
JS Milne, Class Field Theory (Kursanteckningar finns på http://www.jmilne.org/math/ ). Se inledningskapitlet i anteckningarna, särskilt sid. 4.
Silverman, Joseph H. (1994), Advanced topics in the aritmetic of elliptic curves , Graduate Texts in Mathematics , vol. 151, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94325-1
Gras, Georges (2005), Klassfältteori: Från teori till praktik , New York: Springer

Den här artikeln innehåller material från Existence of Hilbert-klassfältet på PlanetMath , som är licensierat under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .