Georg Cantor

Georg Cantor
Georg Cantor (Porträt).jpg
Cantor, c. 1910
Född
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

( 1845-03-03 ) 3 mars 1845
Sankt Petersburg , ryska imperiet
dog 6 januari 1918 (1918-01-06) (72 år gammal)
Halle , provinsen Sachsen , tyska riket
Nationalitet tysk
Alma mater
Känd för Mängdlära
Make
Vally Guttmann
.
( m. 1874 <a i=3>). ​
Utmärkelser Sylvester-medalj (1904)
Vetenskaplig karriär
Fält Matematik
institutioner Universitetet i Halle
Avhandling   De aequationibus secundi gradus indeterminatis (1867)
Doktorand rådgivare

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( / ˈ k æ n t ɔːr / kan -tor , tyska: [ˈeːɔʁk ˈfɛʁdinant ˈlUːtvɪç ˈfiːlɪp ˈkantɔʁ]; 3 mars [ OS FEBRUARY 19] 1845 -6 januari 1918) var en tysk matematik. Han spelade en avgörande roll i skapandet av mängdteori , som har blivit en grundläggande teori inom matematik. Cantor etablerade vikten av en-till-en-korrespondens mellan medlemmarna i två uppsättningar, definierade oändliga och välordnade uppsättningar , och bevisade att de reella talen är fler än de naturliga talen . Faktum är att Cantors metod för att bevisa detta teorem innebär att det finns en oändlighet av oändligheter. Han definierade kardinal- och ordningstalen och deras aritmetik. Cantors arbete är av stort filosofiskt intresse, ett faktum han var väl medveten om.

Ursprungligen betraktades Cantors teori om transfinita tal som kontraintuitiv – till och med chockerande. Detta fick den att möta motstånd från matematiska samtida som Leopold Kronecker och Henri Poincaré och senare från Hermann Weyl och L. E. J. Brouwer , medan Ludwig Wittgenstein reste filosofiska invändningar ; se Kontrovers över Cantors teori . Cantor, en hängiven luthersk kristen , trodde att teorin hade kommunicerats till honom av Gud. Vissa kristna teologer (särskilt nyskolastik ) såg Cantors arbete som en utmaning mot det unika med den absoluta oändligheten i Guds natur – vid ett tillfälle likställde teorin om transfinita tal med panteism – ett förslag som Cantor kraftfullt förkastade. Alla teologer var inte emot Cantors teori; Den framstående nyskolastiske filosofen Constantin Gutberlet var för det och kardinal Johann Baptist Franzelin accepterade det som en giltig teori (efter att Cantor gjort några viktiga förtydliganden).

Invändningarna mot Cantors arbete var ibland hårda: Leopold Kroneckers offentliga motstånd och personangrepp innefattade att beskriva Cantor som en "vetenskaplig charlatan", en "renegat" och en "ungdomsfördärvare". Kronecker invände mot Cantors bevis på att de algebraiska talen är räknebara och att de transcendentala talen är oräkneliga, resultat som nu ingår i en vanlig matematikläroplan. När han skrev årtionden efter Cantors död, beklagade Wittgenstein att matematiken är "genomträngd av mängdlärans skadliga idiom", som han avfärdade som "fullständigt nonsens" som är "skratt" och "fel". Cantors återkommande anfall av depression från 1884 till slutet av hans liv har skyllts på den fientliga attityden hos många av hans samtida, även om vissa har förklarat dessa episoder som troliga manifestationer av en bipolär sjukdom .

Den hårda kritiken har motsvarats av senare utmärkelser. År 1904 tilldelade Royal Society Cantor sin Sylvester-medalj , den högsta utmärkelsen den kan ge för arbete i matematik. David Hilbert försvarade det från dess kritiker genom att förklara, "Ingen ska fördriva oss från paradiset som Cantor har skapat."

Biografi

Ungdom och studier

Kantor, omkring 1870

Georg Cantor, född 1845 i Sankt Petersburg , Ryssland , växte upp i den staden tills han var elva år. Han var äldst av sex barn och betraktades som en framstående violinist. Hans farfar Franz Böhm (1788–1846) (bror till violinisten Joseph Böhm ) var en välkänd musiker och solist i en rysk kejserlig orkester. Cantors far hade varit medlem av Sankt Petersburgs börs ; när han blev sjuk, flyttade familjen till Tyskland 1856, först till Wiesbaden , sedan till Frankfurt , för att söka mildare vintrar än de i Sankt Petersburg. År 1860 tog Cantor examen med utmärkelse från Realschule i Darmstadt ; hans exceptionella färdigheter i matematik, trigonometri i synnerhet, noterades. I augusti 1862 tog han examen från "Höhere Gewerbeschule Darmstadt", nu Technische Universität Darmstadt . 1862 gick Cantor in på den schweiziska federala yrkeshögskolan i Zürich. Efter att ha mottagit ett betydande arv efter sin fars död i juni 1863, övergick Cantor till universitetet i Berlin och deltog i föreläsningar av Leopold Kronecker , Karl Weierstrass och Ernst Kummer . Han tillbringade sommaren 1866 vid universitetet i Göttingen , då och senare ett centrum för matematisk forskning. Cantor var en bra student, och han tog sin doktorsexamen 1867.

Lärare och forskare

Cantor lämnade in sin avhandling om talteori vid universitetet i Berlin 1867. Efter att ha undervisat kort i en flickskola i Berlin, tillträdde han en position vid universitetet i Halle , där han tillbringade hela sin karriär. Han tilldelades den erforderliga habiliteringen för sin avhandling, även om talteori, som han presenterade 1869 vid sin utnämning vid Halle universitet .

1874 gifte sig Cantor med Vally Guttmann. De fick sex barn, den sista (Rudolph) född 1886. Cantor kunde försörja en familj trots sin blygsamma akademiska lön, tack vare sitt arv från sin far. Under sin smekmånad i Harzbergen tillbringade Cantor mycket tid i matematiska diskussioner med Richard Dedekind , som han hade träffat i Interlaken i Schweiz två år tidigare när han var på semester.

Cantor befordrades till extraordinär professor 1872 och utnämndes till professor 1879. Att uppnå den senare rangen vid 34 års ålder var en anmärkningsvärd prestation, men Cantor önskade en professur vid ett mer prestigefyllt universitet, särskilt i Berlin, vid den tiden. ledande tyskt universitet. Men hans arbete mötte för mycket motstånd för att det skulle vara möjligt. Kronecker, som ledde matematiken i Berlin fram till sin död 1891, blev alltmer obekväm med utsikten att ha Cantor som kollega, och uppfattade honom som en "ungdomens korrumperare" för att han lärde ut sina idéer till en yngre generation matematiker. Ännu värre är att Kronecker, en väletablerad figur inom det matematiska samfundet och Cantors tidigare professor, var fundamentalt oense med inriktningen på Cantors arbete ända sedan han avsiktligt hade försenat publiceringen av Cantors första stora publikation 1874. Kronecker, nu sedd som en av grundarna av den konstruktiva synen i matematik ogillade mycket av Cantors mängdteori eftersom den hävdade att det fanns mängder som uppfyller vissa egenskaper, utan att ge specifika exempel på mängder vars medlemmar verkligen tillfredsställer dessa egenskaper. Närhelst Cantor sökte en tjänst i Berlin fick han nej, och processen involverade vanligtvis Kronecker, så Cantor kom att tro att Kroneckers ställningstagande skulle göra det omöjligt för honom att någonsin lämna Halle.

1881 dog Cantors Halle-kollega Eduard Heine . Halle accepterade Cantors förslag att Heines lediga stol skulle erbjudas till Dedekind, Heinrich M. Weber och Franz Mertens , i den ordningen, men var och en tackade nej till stolen efter att ha erbjudits den. Friedrich Wangerin utnämndes så småningom, men han var aldrig nära Cantor.

År 1882 upphörde den matematiska korrespondensen mellan Cantor och Dedekind, uppenbarligen som ett resultat av att Dedekind avböjde stolen i Halle. Cantor inledde också en annan viktig korrespondens, med Gösta Mittag-Leffler i Sverige, och började snart publicera i Mittag-Lefflers tidskrift Acta Mathematica . Men 1885 var Mittag-Leffler bekymrad över den filosofiska karaktären och den nya terminologin i en artikel som Cantor hade lämnat in till Acta . Han bad Cantor att dra tillbaka tidningen från Acta medan den fanns i bevis och skrev att det var "... ungefär hundra år för tidigt." Cantor följde, men inskränkte sedan sin relation och korrespondens med Mittag-Leffler och skrev till en tredje part: "Hade Mittag-Leffler haft sin vilja, skulle jag behöva vänta till år 1984, vilket för mig verkade vara en alltför stor efterfrågan! . .. Men jag vill förstås aldrig mer veta något om Acta Mathematica ."

Cantor drabbades av sin första kända anfall av depression i maj 1884. Kritik av hans arbete tyngde honom: vart och ett av de femtiotvå brev han skrev till Mittag-Leffler 1884 nämnde Kronecker. En passage från ett av dessa brev avslöjar skadan på Cantors självförtroende:

... Jag vet inte när jag kommer tillbaka till fortsättningen av mitt vetenskapliga arbete. För tillfället kan jag absolut ingenting göra med det och begränsa mig till den mest nödvändiga plikten av mina föreläsningar; hur mycket lyckligare jag skulle vara av att vara vetenskapligt aktiv, om jag bara hade den nödvändiga mentala friskheten.

Denna kris ledde till att han ansökte om att föreläsa om filosofi snarare än om matematik. Han började också en intensiv studie av elisabethansk litteratur och tänkte att det kan finnas bevis för att Francis Bacon skrev pjäserna som tillskrevs William Shakespeare (se Shakespeares författarskapsfråga) ; detta resulterade slutligen i två pamfletter, publicerade 1896 och 1897.

Cantor återhämtade sig snart därefter, och gjorde därefter ytterligare viktiga bidrag, inklusive hans diagonala argument och teorem . Emellertid nådde han aldrig mer den höga nivån av sina anmärkningsvärda tidningar 1874–84, inte ens efter Kroneckers död den 29 december 1891. Han sökte så småningom, och uppnådde, en försoning med Kronecker. Ändå kvarstod de filosofiska meningsskiljaktigheterna och svårigheterna att dela dem.

År 1889 var Cantor avgörande för att grunda det tyska matematiska sällskapet , och han ledde dess första möte i Halle 1891, där han först introducerade sitt diagonala argument; hans rykte var tillräckligt starkt, trots Kroneckers motstånd mot hans arbete, för att säkerställa att han valdes till den första presidenten i detta sällskap. Bortsett från fientligheten Kronecker hade visat mot honom, bjöd Cantor in honom att tala vid mötet, men Kronecker kunde inte göra det eftersom hans hustru dog av skador som ådrog sig i en skidolycka vid den tiden. Georg Cantor var också avgörande i upprättandet av den första internationella kongressen för matematiker, som ägde rum i Zürich, Schweiz, 1897.

Senare år och död

Efter Cantors sjukhusvård 1884 finns det inga uppgifter om att han var på något sanatorium igen förrän 1899. Strax efter den andra sjukhusvistelsen dog Cantors yngste son Rudolph plötsligt den 16 december (Cantor höll en föreläsning om hans syn på Baconian teori och William Shakespeare ), och denna tragedi dränerade Cantor på mycket av hans passion för matematik. Cantor var återigen inlagd på sjukhus 1903. Ett år senare blev han upprörd och upprörd över ett papper som presenterades av Julius König vid den tredje internationella kongressen för matematiker . Uppsatsen försökte bevisa att de grundläggande principerna för transfinita mängdteorin var falska. Eftersom tidningen hade lästs inför hans döttrar och kollegor, uppfattade Cantor sig själv som offentligt förödmjukad. Även om Ernst Zermelo mindre än ett dygn senare visade att Königs bevis hade misslyckats, förblev Cantor skakad och ifrågasatte Gud tillfälligt. Cantor led av kronisk depression under resten av sitt liv, för vilket han vid flera tillfällen var ursäktad från undervisning och upprepade gånger inskränkt till olika sanatorier. Händelserna 1904 föregick en serie sjukhusinläggningar med två eller tre års mellanrum. Han övergav dock inte matematiken helt, utan föreläste om mängdlärans paradoxer ( Burali-Forti paradox , Cantors paradox och Russells paradox ) till ett möte i Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1903 och deltog i den internationella matematikkongressen i Heidelberg . år 1904.

1911 var Cantor en av de framstående utländska forskare som bjöds in till 500-årsdagen av grundandet av University of St. Andrews i Skottland. Cantor deltog i hopp om att träffa Bertrand Russell , vars nypublicerade Principia Mathematica upprepade gånger citerade Cantors arbete, men mötet kom inte till stånd. Året därpå tilldelade St. Andrews Cantor en hedersdoktor, men sjukdomen hindrade honom från att ta emot examen personligen.

Cantor gick i pension 1913 och levde i fattigdom och led av undernäring under första världskriget . Det offentliga firandet av hans 70-årsdag ställdes in på grund av kriget. I juni 1917 gick han in på ett sanatorium för sista gången och skrev ständigt till sin fru och bad om att få åka hem. Georg Cantor fick en dödlig hjärtattack den 6 januari 1918 på det sanatorium där han tillbringat det sista året av sitt liv.

Matematiskt arbete

Cantors arbete mellan 1874 och 1884 är ursprunget till mängdteorin . Före detta arbete var begreppet en uppsättning ganska elementärt som hade använts implicit sedan början av matematiken, som går tillbaka till Aristoteles idéer . Ingen hade insett att mängdteorin hade något icke-trivialt innehåll. Före Cantor fanns det bara ändliga mängder (som är lätta att förstå) och "det oändliga" (som ansågs vara ett ämne för filosofisk, snarare än matematisk, diskussion). Genom att bevisa att det finns (oändligt mycket) många möjliga storlekar för oändliga mängder, slog Cantor fast att mängdteorin inte var trivial, och den behövde studeras. Mängdlära har kommit att spela rollen som en grundläggande teori i modern matematik, i den meningen att den tolkar påståenden om matematiska objekt (till exempel tal och funktioner) från alla de traditionella områdena inom matematiken (som algebra , analys och topologi ). ) i en enda teori och tillhandahåller en standarduppsättning av axiom för att bevisa eller motbevisa dem. De grundläggande begreppen för mängdlära används nu i hela matematiken.

I en av sina tidigaste uppsatser bevisade Cantor att mängden reella tal är "fler" än mängden naturliga tal ; detta visade för första gången att det finns oändliga uppsättningar av olika storlekar . Han var också den förste att inse vikten av en-till-en-korrespondenser (hädanefter betecknad "1-till-1-korrespondens") i mängdteorin. Han använde detta koncept för att definiera ändliga och oändliga mängder och delade upp de senare i numerable (eller countably oändliga) uppsättningar och nondenumerable set (uncountably oändliga uppsättningar).

Cantor utvecklade viktiga begrepp inom topologi och deras relation till kardinalitet . Till exempel visade han att Cantor-uppsättningen , upptäckt av Henry John Stephen Smith 1875, inte är tät , utan har samma kardinalitet som mängden av alla reella tal, medan rationalerna är täta överallt, men räknebara. Han visade också att alla räknebara täta linjära beställningar utan slutpunkter är ordningsisomorfa till de rationella talen .

Cantor introducerade grundläggande konstruktioner i mängdlära, såsom maktmängden för en mängd A , som är mängden av alla möjliga delmängder av A . Han bevisade senare att storleken på maktmängden av A är strikt större än storleken på A , även när A är en oändlig mängd; detta resultat blev snart känt som Cantors teorem . Cantor utvecklade en hel teori och aritmetik av oändliga mängder , kallade kardinaler och ordinaler , som utökade aritmetiken för de naturliga talen. Hans notation för kardinaltalen var den hebreiska bokstaven ( aleph ) med en naturlig siffra nedsänkt; för ordningstalen använde han den grekiska bokstaven ω ( omega ). Denna notation används fortfarande idag.

Continuum- hypotesen , som introducerades av Cantor, presenterades av David Hilbert som det första av hans tjugotre öppna problem i sitt tal vid 1900 års internationella matematikkongress i Paris. Cantors arbete väckte också positiv uppmärksamhet utöver Hilberts berömda encomium. Den amerikanske filosofen Charles Sanders Peirce berömde Cantors uppsättningsteori och efter offentliga föreläsningar som hölls av Cantor vid den första internationella matematikkongressen, som hölls i Zürich 1897, uttryckte Adolf Hurwitz och Jacques Hadamard båda sin beundran. På den kongressen förnyade Cantor sin vänskap och korrespondens med Dedekind. Från 1905 korresponderade Cantor med sin brittiske beundrare och översättare Philip Jourdain om mängdlärans historia och om Cantors religiösa idéer. Detta publicerades senare, liksom flera av hans expository verk.

Talteori, trigonometriska serier och ordinaler

Cantors första tio uppsatser handlade om talteori , hans avhandlingsämne. På förslag av Eduard Heine , professorn i Halle, övergick Cantor till analys . Heine föreslog att Cantor skulle lösa ett öppet problem som hade gäckat Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Rudolf Lipschitz , Bernhard Riemann och Heine själv: det unika med representationen av en funktion genom trigonometriska serier . Cantor löste detta problem 1869. Det var när han arbetade med detta problem som han upptäckte transfinita ordinaler, som inträffade som index n i den n : e härledda mängden S n av en mängd S av nollor i en trigonometrisk serie. Givet en trigonometrisk serie f(x) med S som nolluppsättning, hade Cantor upptäckt en procedur som producerade en annan trigonometrisk serie som hade S 1 som nolluppsättning, där S 1 är uppsättningen av gränspunkter för S . Om Sk +1 är uppsättningen av gränspunkter för Sk , då skulle han kunna konstruera en trigonometrisk serie vars nollor är Sk +1 . Eftersom mängderna S k var slutna innehöll de sina gränspunkter, och skärningspunkten för den oändligt minskande sekvensen av mängderna S , S 1 , S 2 , S 3 ,... bildade en gränsmängd, som vi nu skulle kalla S ω , och sedan märkte han att S ω också måste ha en uppsättning gränspunkter S ω+1 , och så vidare. Han hade exempel som pågick för evigt, och så här var en naturligt förekommande oändlig sekvens av oändliga tal ω , ω + 1, ω + 2, ...

Mellan 1870 och 1872 publicerade Cantor fler artiklar om trigonometriska serier, och även ett papper som definierade irrationella tal som konvergenta sekvenser av rationella tal . Dedekind, som Cantor blev vän med 1872, citerade detta papper senare samma år, i den tidning där han först presenterade sin berömda definition av reella tal genom Dedekind-snitt . Samtidigt som Cantor utvidgade begreppet antal med hjälp av sitt revolutionära koncept om oändlig kardinalitet, var Cantor paradoxalt nog emot teorier om infinitesimals från sina samtida Otto Stolz och Paul du Bois-Reymond, och beskrev dem som både "en styggelse" och "en kolerabacill av matematik". Cantor publicerade också ett felaktigt "bevis" på inkonsekvensen av infinitesimals .

Mängdlära

En illustration av Cantors diagonala argument för existensen av oräkneliga mängder . Sekvensen längst ner kan inte förekomma någonstans i den oändliga listan med sekvenser ovan.

Början av mängdteorin som en gren av matematiken markeras ofta av publiceringen av Cantors papper från 1874 , "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Om en egenskap av samlingen av alla verkliga algebraiska siffror"). Detta papper var det första som gav ett rigoröst bevis på att det fanns mer än en sorts oändlighet. Tidigare hade alla oändliga samlingar implicit antagits vara lika många (det vill säga av "samma storlek" eller ha samma antal element). Cantor bevisade att insamlingen av reella tal och insamlingen av positiva heltal inte är lika många. Med andra ord kan de reella talen inte räknas . Hans bevis skiljer sig från det diagonala argumentet som han gav 1891. Cantors artikel innehåller också en ny metod för att konstruera transcendentala tal . Transcendentala tal konstruerades först av Joseph Liouville 1844.

Cantor fastställde dessa resultat med hjälp av två konstruktioner. Hans första konstruktion visar hur man skriver de reella algebraiska talen som en sekvens a 1 , a 2 , a 3 , .... Med andra ord är de reella algebraiska talen räknebara. Cantor börjar sin andra konstruktion med valfri sekvens av reella tal. Med hjälp av denna sekvens konstruerar han kapslade intervall vars skärningspunkt innehåller ett reellt tal som inte finns i sekvensen. Eftersom varje sekvens av reella tal kan användas för att konstruera en reell inte i sekvensen, kan de reella talen inte skrivas som en sekvens - det vill säga de reella talen är inte räknebara. Genom att tillämpa sin konstruktion på sekvensen av reella algebraiska tal, producerar Cantor ett transcendentalt tal. Cantor påpekar att hans konstruktioner bevisar mer – de ger nämligen ett nytt bevis för Liouvilles teorem: Varje intervall innehåller oändligt många transcendentala tal. Cantors nästa artikel innehåller en konstruktion som bevisar att mängden transcendentala tal har samma "kraft" (se nedan) som mängden reella tal.

Mellan 1879 och 1884 publicerade Cantor en serie av sex artiklar i Mathematische Annalen som tillsammans bildade en introduktion till hans mängdteori. Samtidigt fanns det ett växande motstånd mot Cantors idéer, ledda av Leopold Kronecker, som medgav matematiska begrepp endast om de kunde konstrueras i ett ändligt antal steg från de naturliga talen, som han tog som intuitivt givna. För Kronecker var Cantors oändlighetshierarki otillåten, eftersom att acceptera begreppet faktisk oändlighet skulle öppna dörren till paradoxer som skulle utmana matematikens giltighet som helhet. Cantor introducerade också Cantor-setet under denna period.

Den femte artikeln i denna serie, " Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" (" Fundament of a General Theory of Aggregates" ), publicerad 1883, var den viktigaste av de sex och publicerades också som en separat monografi . Den innehöll Cantors svar till sina kritiker och visade hur de transfinita talen var en systematisk förlängning av de naturliga talen. Det börjar med att definiera välordnade uppsättningar. Ordningstal introduceras sedan som ordningstyper för välordnade mängder. Cantor definierar sedan addition och multiplikation av kardinal- och ordningstalen. 1885 utökade Cantor sin teori om ordningstyper så att ordningstalen helt enkelt blev ett specialfall av ordningstyper.

År 1891 publicerade han ett dokument som innehöll hans eleganta "diagonala argument" för existensen av en oräknelig uppsättning. Han tillämpade samma idé för att bevisa Cantors teorem : kardinaliteten av kraftmängden av en mängd A är strikt större än kardinaliteten av A . Detta etablerade rikedomen i hierarkin av oändliga mängder, och i den kardinal- och ordinarie aritmetik som Cantor hade definierat. Hans argument är grundläggande för lösningen av Halting-problemet och beviset för Gödels första ofullständighetsteorem . Cantor skrev om Goldbach-förmodan 1894.

Passage av Georg Cantors artikel med hans fastställda definition

1895 och 1897 publicerade Cantor en tvådelad uppsats i Mathematische Annalen under Felix Kleins redaktion; dessa var hans sista betydande artiklar om mängdteori. Det första dokumentet börjar med att definiera uppsättning, delmängd , etc., på sätt som i stort sett skulle vara acceptabla nu. Kardinal- och ordinalräkningen granskas. Cantor ville att den andra uppsatsen skulle innehålla ett bevis på kontinuumhypotesen, men fick nöja sig med att exponera sin teori om välordnade mängder och ordningstal. Cantor försöker bevisa att om A och B är mängder med A ekvivalent med en delmängd av B och B ekvivalent med en delmängd av A så är A och B ekvivalenta. Ernst Schröder hade uttalat denna sats lite tidigare, men hans bevis, liksom Cantors, var bristfälligt. Felix Bernstein gav ett korrekt bevis i sin doktorsavhandling från 1898; därav namnet Cantor–Bernstein–Schröders sats .

En-till-en korrespondens

Huvudartikel: Bijection
En bijektiv funktion

Cantors Crelle -papper från 1874 var den första som åberopade idén om en 1-till-1-korrespondens , även om han inte använde den frasen. Han började sedan leta efter en 1-till-1-överensstämmelse mellan punkterna på enhetskvadraten och punkterna i ett enhetslinjesegment . I ett brev från 1877 till Richard Dedekind visade Cantor ett mycket starkare resultat: för varje positivt heltal n finns det en 1-till-1-överensstämmelse mellan punkterna på enhetslinjesegmentet och alla punkterna i ett n -dimensionellt utrymme . Om denna upptäckt skrev Cantor till Dedekind: " Je le vois, mais je ne le crois pas! " ("Jag ser det, men jag tror det inte!") Resultatet som han fann så häpnadsväckande har implikationer för geometrin och begreppet dimension .

År 1878 skickade Cantor en annan artikel till Crelle's Journal, där han exakt definierade begreppet en 1-till-1-korrespondens och introducerade begreppet "makt" (en term som han tog från Jakob Steiner) eller " ekvivalens " av uppsättningar: två uppsättningar är ekvivalenta (har samma styrka) om det finns en 1-till-1-överensstämmelse mellan dem. Cantor definierade räknebara mängder (eller numerbara mängder) som mängder som kan sättas i en 1-till-1 överensstämmelse med de naturliga talen , och bevisade att de rationella talen är numerbara. Han bevisade också att det n -dimensionella euklidiska rymden R n har samma makt som de reella talen R , liksom en räkningsbart oändlig produkt av kopior av R . Medan han använde sig fritt av räknebarhet som begrepp, skrev han inte ordet "räknebar" förrän 1883. Cantor diskuterade också sitt tänkande om dimension och betonade att hans kartläggning mellan enhetsintervallet och enhetsrutan inte var en kontinuerlig sådan.

Denna tidning missnöjde Kronecker och Cantor ville dra tillbaka den; Dedekind övertalade honom dock att inte göra det och Karl Weierstrass stödde dess publicering. Ändå lämnade Cantor aldrig mer något till Crelle.

Kontinuumhypotes

Huvudartikel: Kontinuumhypotes

Cantor var den förste som formulerade vad som senare kom att kallas kontinuumhypotesen eller CH: det finns ingen mängd vars makt är större än de naturliga och mindre än de verkligas (eller motsvarande, de verkligas kardinalitet är exakt aleph-one, snarare än bara åtminstone aleph-one). Cantor trodde att kontinuumhypotesen var sann och försökte i många år bevisa den , förgäves. Hans oförmåga att bevisa kontinuumhypotesen orsakade honom stor oro.

Svårigheten Cantor hade med att bevisa kontinuumhypotesen har understrukits av senare utvecklingar inom matematikområdet: ett resultat från 1940 av Kurt Gödel och ett från 1963 av Paul Cohen antyder tillsammans att kontinuumhypotesen varken kan bevisas eller motbevisas med standard Zermelo- Fraenkels mängdteori plus valets axiom (kombinationen som kallas " ZFC ").

Absolut oändlig, välordnande sats och paradoxer

1883 delade Cantor det oändliga i det transfinita och det absoluta .

Det transfinita är ökande i storlek, medan det absoluta är oökbart. Till exempel är ett ordinalt α transfinit eftersom det kan ökas till α + 1. Å andra sidan bildar ordinalerna en absolut oändlig sekvens som inte kan ökas i storlek eftersom det inte finns några större ordinaler att lägga till den. 1883 införde Cantor även den välordnade principen "varje uppsättning kan vara välordnad" och konstaterade att det är en "tankelag".

Cantor utökade sitt arbete om det absoluta oändliga genom att använda det i ett korrektur. Omkring 1895 började han betrakta sin välordnade princip som ett teorem och försökte bevisa det. År 1899 skickade han Dedekind ett bevis på motsvarande alef-sats: kardinaliteten för varje oändlig mängd är en alef . Först definierade han två typer av multipliciteter: konsekventa multipliciteter (mängder) och inkonsekventa multipliciteter (absolut oändliga multipliciteter). Därefter antog han att ordinalerna bildar en mängd, bevisade att detta leder till en motsägelse och drog slutsatsen att ordinalerna bildar en inkonsekvent mångfald. Han använde denna inkonsekventa mångfald för att bevisa alef-satsen. 1932 kritiserade Zermelo konstruktionen i Cantors bevis.

Cantor undvek paradoxer genom att inse att det finns två typer av mångfald. I hans mängdteori, när det antas att ordinalerna bildar en mängd, innebär den resulterande motsägelsen endast att ordinalerna bildar en inkonsekvent mångfald. Däremot Bertrand Russell alla samlingar som uppsättningar, vilket leder till paradoxer. I Russells mängdteori bildar ordtalen en mängd, så den resulterande motsägelsen antyder att teorin är inkonsekvent . Från 1901 till 1903 upptäckte Russell tre paradoxer som antyder att hans mängdteori är inkonsekvent: Burali-Forti-paradoxen (som just nämndes), Cantors paradox och Russells paradox . Russell döpte paradoxer efter Cesare Burali-Forti och Cantor även om ingen av dem trodde att de hade hittat paradoxer.

1908 publicerade Zermelo sitt axiomsystem för mängdteori . Han hade två motiv för att utveckla axiomsystemet: att eliminera paradoxerna och säkra sitt bevis på välordnade teoremet . Zermelo hade bevisat detta teorem 1904 med hjälp av valets axiom , men hans bevis kritiserades av en mängd olika skäl. Hans svar på kritiken inkluderade hans axiomsystem och ett nytt bevis på det välordnade teoremet. Hans axiom stödjer detta nya bevis, och de eliminerar paradoxerna genom att begränsa bildandet av mängder.

År 1923 utvecklade John von Neumann ett axiomsystem som eliminerar paradoxerna genom att använda ett tillvägagångssätt som liknar Cantors — nämligen genom att identifiera samlingar som inte är uppsättningar och behandla dem annorlunda. Von Neumann sa att en klass är för stor för att vara en uppsättning om den kan sättas i en-till-en-korrespondens med klassen för alla uppsättningar. Han definierade en mängd som en klass som är medlem i någon klass och angav axiomet: En klass är inte en mängd om och bara om det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan den och klassen av alla mängder. Detta axiom antyder att dessa stora klasser inte är mängder, vilket eliminerar paradoxerna eftersom de inte kan vara medlemmar i någon klass. Von Neumann använde också sitt axiom för att bevisa det välordnade teoremet: Liksom Cantor antog han att ordningstalen bildar en mängd. Den resulterande motsägelsen antyder att klassen för alla ordtal inte är en mängd. Sedan ger hans axiom en en-till-en-överensstämmelse mellan denna klass och klassen av alla uppsättningar. Denna korrespondens sorterar väl klassen av alla mängder, vilket innebär välordningssatsen. 1930 definierade Zermelo modeller för mängdteori som uppfyller von Neumanns axiom .

Filosofi, religion, litteratur och Cantors matematik

Begreppet existensen av en verklig oändlighet var en viktig gemensam angelägenhet inom matematikens, filosofins och religionens sfärer. Att bevara ortodoxin i förhållandet mellan Gud och matematik, även om det inte var i samma form som hans kritiker, var länge en angelägenhet för Cantor. Han tog direkt upp denna skärningspunkt mellan dessa discipliner i inledningen till hans Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, där han betonade sambandet mellan hans syn på det oändliga och det filosofiska. För Cantor var hans matematiska åsikter inneboende kopplade till deras filosofiska och teologiska implikationer - han identifierade det absoluta oändliga med Gud, och han ansåg att hans arbete om transfinita tal hade kommunicerats direkt till honom av Gud, som hade valt Cantor att avslöja dem för världen. Han var en hängiven lutheran vars uttryckliga kristna övertygelse formade hans vetenskapsfilosofi. Joseph Dauben har spårat effekten Cantors kristna övertygelse hade på utvecklingen av transfinita mängdteorin.

Debatt bland matematiker växte ur motsatta åsikter i matematikens filosofi angående den faktiska oändlighetens natur. Vissa ansåg att oändligheten var en abstraktion som inte var matematiskt legitim och förnekade dess existens. Matematiker från tre stora skolor ( konstruktivismen och dess två utlöpare, intuitionism och finitism ) motsatte sig Cantors teorier i denna fråga. För konstruktivister som Kronecker härrör detta förkastande av den faktiska oändligheten från grundläggande oenighet med tanken att icke-konstruktiva bevis som Cantors diagonala argument är tillräckligt bevis på att något existerar, utan menar istället att konstruktiva bevis krävs. Intuitionismen avvisar också tanken att den faktiska oändligheten är ett uttryck för någon form av verklighet, men kommer fram till beslutet via en annan väg än konstruktivismen. För det första vilar Cantors argument på logik för att bevisa existensen av transfinita tal som en faktisk matematisk enhet, medan intuitionister anser att matematiska enheter inte kan reduceras till logiska propositioner, utan har sitt ursprung i sinnets intuitioner. För det andra är föreställningen om oändlighet som ett uttryck för verkligheten själv otillåten inom intuitionismen, eftersom det mänskliga sinnet inte intuitivt kan konstruera en oändlig mängd. Matematiker som L. E. J. Brouwer och särskilt Henri Poincaré intog en intuitionistisk hållning mot Cantors arbete. Slutligen, Wittgensteins attacker var finitistiska: han trodde att Cantors diagonala argument sammanblandade intentionen hos en uppsättning kardinaltal eller reella tal med dess förlängning , och därmed sammanblandade konceptet med regler för att generera en mängd med en faktisk mängd.

Vissa kristna teologer såg Cantors arbete som en utmaning för det unika med den absoluta oändligheten i Guds natur. I synnerhet neo-thomistiska tänkare att existensen av en faktisk oändlighet som bestod av något annat än Gud äventyrade "Guds exklusiva anspråk på den högsta oändligheten". Cantor trodde starkt på att denna uppfattning var en misstolkning av oändligheten och var övertygad om att mängdteorin kunde hjälpa till att rätta till detta misstag: "... de transfinita arterna står lika mycket till förfogande för Skaparens avsikter och Hans absoluta gränslösa vilja som är de ändliga talen." Den framstående neo-skolastiske tyske filosofen Constantin Gutberlet var för en sådan teori och menade att den inte motsatte sig Guds natur.

Cantor trodde också att hans teori om transfinita tal stred mot både materialism och determinism – och blev chockad när han insåg att han var den enda fakultetsmedlem i Halle som inte höll fast vid deterministiska filosofiska övertygelser.

Det var viktigt för Cantor att hans filosofi gav en "organisk förklaring" av naturen, och i sin Grundlagen från 1883 sa han att en sådan förklaring bara kunde komma till stånd genom att utnyttja resurserna i Spinozas och Leibniz filosofi. Genom att göra dessa påståenden kan Cantor ha påverkats av FA Trendelenburg , vars föreläsningskurser han deltog i i Berlin, och i sin tur producerade Cantor en latinsk kommentar till bok 1 i Spinozas Ethica . FA Trendelenburg var också examinator av Cantor's Habilitationsschrift .

1888 publicerade Cantor sin korrespondens med flera filosofer om de filosofiska implikationerna av hans mängdteori. I ett omfattande försök att förmå andra kristna tänkare och auktoriteter att anamma hans åsikter, hade Cantor korresponderat med kristna filosofer som Tilman Pesch och Joseph Hontheim samt teologer som kardinal Johann Baptist Franzelin, som en gång svarade genom att likställa teorin om transfinite. siffror med panteism . Även om senare denna kardinal accepterade teorin som giltig, på grund av några förtydliganden från Cantors. Cantor skickade till och med ett brev direkt till påven Leo XIII själv och adresserade flera broschyrer till honom.

Cantors filosofi om siffrornas natur ledde till att han bekräftade en tro på matematikens frihet att sätta och bevisa begrepp skilt från de fysiska fenomenens område, som uttryck inom en inre verklighet. De enda begränsningarna för detta metafysiska system är att alla matematiska begrepp måste vara utan inre motsägelser, och att de följer av befintliga definitioner, axiom och satser. Denna övertygelse sammanfattas i hans påstående att "matematikens väsen är dess frihet." Dessa idéer är parallella med Edmund Husserl , som Cantor hade träffat i Halle.

Samtidigt var Cantor själv häftigt emot infinitesimals , och beskrev dem som både en "avskyvärdhet" och "matematikens kolerabacill".

Cantors uppsats från 1883 avslöjar att han var väl medveten om den opposition som hans idéer stötte på: "... Jag inser att jag i detta företag ställer mig i en viss opposition till åsikter som är allmänt hållna angående den matematiska oändligheten och till åsikter som ofta försvaras om naturens natur. av siffror."

Därför ägnar han mycket utrymme åt att motivera sitt tidigare arbete, och hävdar att matematiska begrepp kan introduceras fritt så länge de är fria från motsägelser och definieras i termer av tidigare accepterade begrepp. Han citerar också Aristoteles, René Descartes , George Berkeley , Gottfried Leibniz och Bernard Bolzano om oändligheten. Istället avvisade han alltid starkt Kants filosofi, både inom matematikens och metafysikens sfär. Han delade B. Russells motto "Kant eller Cantor", och definierade Kant "bortom sofistisk filisté som kunde så lite matematik."

Kantors anor

Titeln på minnestavlan (på ryska): "I denna byggnad föddes och levde från 1845 till 1854 den store matematikern och skaparen av mängdläran Georg Cantor", Vasilievsky Island, Sankt Petersburg .

Cantors farföräldrar var från Köpenhamn och flydde till Ryssland från störningen av Napoleonkrigen . Det finns väldigt lite direkt information om dem. Cantors far, Georg Waldemar Cantor, utbildades i den lutherska missionen i Sankt Petersburg, och hans brevväxling med sonen visar att de båda är fromma lutheraner. Mycket lite är säkert känt om Georg Waldemars ursprung eller utbildning. Cantors mor, Maria Anna Böhm, var en österrikisk-ungerska född i Sankt Petersburg och döpt romersk-katolsk ; hon konverterade till protestantism vid giftermål. Men det finns ett brev från Cantors bror Louis till deras mor, där det står:

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber ...

("Även om vi härstammar från judar tio gånger om, och även om jag i princip kan vara helt för lika rättigheter för hebréer, i det sociala livet föredrar jag kristna...") vilket skulle kunna läsas för att antyda att hon var av judisk härkomst.

Enligt biograferna Eric Temple Bell var Cantor av judisk härkomst, även om båda föräldrarna var döpta. I en artikel från 1971 med titeln "Towards a Biography of Georg Cantor" nämner den brittiske matematikhistorikern Ivor Grattan-Guinness ( Annals of Science 27, s. 345–391, 1971) att han inte kunde hitta bevis för judisk härkomst. (Han uppger också att Cantors fru, Vally Guttmann, var judisk).

I ett brev skrivet till Paul Tannery 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paris, 1934, s. 306) uppger Cantor att hans farföräldrar var medlemmar av den sefardisk judiska församlingen i Köpenhamn. Närmare bestämt säger Cantor när han beskriver sin far: "Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde..." ("Han föddes i Köpenhamn av judiska (lit: 'israelitiska') föräldrar från lokal portugisisk-judisk gemenskap.") Dessutom har Cantors morbror, en ungersk violinist Josef Böhm , beskrivits som judisk, vilket kan antyda att Cantors mor åtminstone delvis härstammade från den ungerska judiska församlingen.

I ett brev till Bertrand Russell beskrev Cantor sin härkomst och självuppfattning enligt följande:

Varken min far eller min mor var av tyskt blod, den första var en dansk, född i Köpenhamn, min mor av österrikisk ungersk härkomst. Du måste veta, Sir, att jag inte är en vanlig bara Germain , för jag är född den 3 mars 1845 i Saint Peterborough, Rysslands huvudstad, men jag åkte med min far och mor och bröder och syster, elva år gamla år 1856 , till Tyskland.

Det fanns dokumenterade uttalanden under 1930-talet som ifrågasatte denna judiska härkomst:

Oftare [dvs än moderns anor] har frågan diskuterats om Georg Cantor var av judiskt ursprung. Härom meddelas i en notis från danska genealogiska institutet i Köpenhamn från år 1937 angående hans far: »Härmed vittnas, att Georg Woldemar Cantor, född 1809 eller 1814, ej förekommer i det judiska samfundets register, och att han helt utan tvekan inte var jude ..."

Biografier

Fram till 1970-talet var de främsta akademiska publikationerna om Cantor två korta monografier av Arthur Moritz Schönflies (1927) – till stor del korrespondensen med Mittag-Leffler – och Fraenkel (1930). Båda var på andra och tredje hand; ingen av dem hade mycket om sitt personliga liv. Luckan fylldes till stor del av Eric Temple Bells Men of Mathematics (1937), som en av Cantors moderna biografer beskriver som "den kanske mest lästa moderna boken om matematikens historia" ; och som "en av de värsta". Bell presenterar Cantors förhållande till sin far som Oedipal , Cantors skillnader med Kronecker som ett gräl mellan två judar och Cantors galenskap som romantiska förtvivlan över hans misslyckande att vinna acceptans för sin matematik. Grattan-Guinness (1971) fann att inget av dessa påståenden var sant, men de kan finnas i många böcker under den mellanliggande perioden, på grund av frånvaron av någon annan berättelse. Det finns andra legender, oberoende av Bell – inklusive en som betecknar Cantors far som ett hittebarn, fraktad till Sankt Petersburg av okända föräldrar. En kritik av Bells bok finns i Joseph Daubens biografi. Skriver Dauben:

Cantor ägnade en del av sin mest vituperativa korrespondens, såväl som en del av Beiträge , åt att attackera vad han vid ett tillfälle beskrev som " matematikens oändliga kolerabacill", som hade spridit sig från Tyskland genom arbetet av Thomae , du Bois Reymond och Stolz , att infektera italiensk matematik ... Varje acceptans av infinitesimals innebar nödvändigtvis att hans egen talteori var ofullständig. Att acceptera arbetet av Thomae, du Bois-Reymond, Stolz och Veronese var att förneka fullkomligheten av Cantors egen skapelse. Förståeligt nog lanserade Cantor en grundlig kampanj för att misskreditera Veroneses arbete på alla möjliga sätt.

Se även

Anteckningar

Bibliografi

Äldre källor om Cantors liv bör behandlas med försiktighet. Se avsnitt § Biografier ovan.

Primärlitteratur på engelska

Primärlitteratur på tyska

Sekundärlitteratur

  •   Aczel, Amir D. (2000). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Search for Infinity . New York: Four Walls Eight Windows Publishing. . ISBN 0-7607-7778-0 . En populär behandling av oändligheten, där Cantor ofta nämns.
  • Dauben, Joseph W. (juni 1983). "Georg Cantor och ursprunget till Transfinite Set Theory". Scientific American . 248 (6): 122–131. Bibcode : 1983SciAm.248f.122D . doi : 10.1038/scientificamerican0683-122 .
  •   Ferreirós, José (2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and its Roll in Mathematical Thought . Basel, Schweiz: Birkhäuser. . ISBN 3-7643-8349-6 Innehåller en detaljerad behandling av både Cantors och Dedekinds bidrag till mängdteorin.
  •   Halmos, Paul (1998) [1960]. Naiv mängdteori . New York & Berlin: Springer. . ISBN 3-540-90092-6
  •   Hilbert, David (1926). "Über das Unendliche" . Matematiska Annalen . 95 : 161–190. doi : 10.1007/BF01206605 . S2CID 121888793 .
  •   Hill, CO; Rosado Haddock, GE (2000). Husserl eller Frege? Mening, objektivitet och matematik . Chicago: Öppen domstol. . ISBN 0-8126-9538-0 Tre kapitel och 18 indexposter om Cantor.
  • Meschkowski, Herbert (1983). Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung (Georg Cantor, liv, arbete och inflytande, på tyska) . Vieweg, Braunschweig.
  • Newstead, Anne (2009). "Cantor on Infinity in Nature, Number, and the Divine Mind" [1] , American Catholic Philosophical Quarterly , 83 (4): 532–553, https://doi.org/10.5840/acpq200983444 . Med ett erkännande av Daubens banbrytande historiska arbete, diskuterar denna artikel ytterligare Cantors relation till Spinozas och Leibniz filosofi på djupet, och hans engagemang i Pantheismusstreit . Kort nämns Cantors lärdom från FATrendelenburg.
  •   Penrose, Roger (2004). Vägen till verkligheten . Alfred A. Knopf. . ISBN 0-679-77631-1 Kapitel 16 illustrerar hur det kantoriska tänkandet fascinerar en ledande samtida teoretisk fysiker .
  •   Rucker, Rudy (2005) [1982]. Oändligheten och sinnet . Princeton University Press. . ISBN 0-553-25531-2 Handlar om liknande ämnen som Aczel, men mer djupgående.
  • Rodych, Victor (2007). "Wittgensteins matematikfilosofi" . I Edward N. Zalta (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy . Metafysikforskningslab, Stanford University. .
  • Leonida Lazzari, L'infinito di Cantor . Editrice Pitagora, Bologna, 2008.

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Georg_Cantor&oldid=1138403097 "