Hilbert–Mumford-kriteriet

Inom matematiken karakteriserar Hilbert –Mumford-kriteriet , introducerat av David Hilbert och David Mumford , de semistabla och stabila punkterna i en grupphandling på ett vektorrum i termer av egenvärden för 1-parameters undergrupper (Dieudonné & Carrell 1970 , 1971 , sid. 58).

Definition av stabilitet

00 När vikten på fibern över gränsen x är positiv, ₀ tas punkten x till längs C ^* -åtgärden och omloppsavslutningen innehåller . När vikten är positiv, x till oändligheten, och omloppsbanan stängs.

Låt G vara en reduktiv grupp som verkar linjärt på ett vektorrum V , en punkt som inte är noll i V kallas

halvstabil om 0 inte finns i avslutningen av dess omloppsbana och instabil annars;
stabil om dess omloppsbana är stängd och dess stabilisator är ändlig. En stabil punkt är a fortiori semi-stabil. En semi-stabil men inte stabil punkt kallas strikt semi-stabil .

När G är den multiplikativa gruppen $\mathbb {G} _{m}$ , t.ex. C ^* i den komplexa miljön, uppgår åtgärden till en finitdimensionell representation ${\ displaystyle \lambda \colon \mathbf {C} ^{*}\to \mathrm {GL} (V)}$ . Vi kan dekomponera V till en direkt summa ${\displaystyle V=\textstyle \bigoplus _{i}V_{i}} ,$ där på varje komponent V _i åtgärden ges som $\lambda (t)\cdot v=t^{i}v$ . Heltalet i kallas vikten. Sedan för varje punkt x tittar vi på uppsättningen vikter där den har en komponent som inte är noll.

Om alla vikter är strikt positiva, då ${\displaystyle \lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x=0} ,$ så 0 är i stängningen av omloppsbanan för x , dvs x är instabil;
Om alla vikter är icke-negativa, där 0 är en vikt, är antingen 0 den enda vikten, i vilket fall x stabiliseras med C ^* ; eller det finns några positiva vikter bredvid 0, då är gränsen $\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x$ lika med vikt-0-komponenten av x , som inte är i omloppsbanan för x . Så de två fallen motsvarar exakt det respektive misslyckandet för de två villkoren i definitionen av en stabil punkt, dvs vi har visat att x är strikt semi-stabil.

Påstående

Hilbert–Mumford-kriteriet säger i huvudsak att det multiplikativa gruppfallet är den typiska situationen. Exakt, för en allmän reduktiv grupp G som verkar linjärt på ett vektorrum V , kan stabiliteten för en punkt x karakteriseras genom studiet av 1-parameters undergrupper av G , som är icke-triviala morfismer ${\ displaystyle \lambda \colon \mathbb {G} _{m}\to G}$ . Lägg märke till att vikterna för den inversa $\lambda ^{-1}$ är exakt minus de för $\lambda$ , så påståendena kan göras symmetriska.

En punkt x är instabil om och endast om det finns en 1-parameters undergrupp av G för vilken x endast tillåter positiva vikter eller endast negativa vikter; på motsvarande sätt är x semi-stabil om och endast om det inte finns någon sådan 1-parameters undergrupp, dvs för varje 1-parameters undergrupp finns det både icke-positiva och icke-negativa vikter ;
En punkt x är strikt semi-stabil om och endast om det finns en 1-parameters undergrupp av G för vilken x medger 0 som en vikt, där alla vikter är icke-negativa (eller icke-positiva);
En punkt x är stabil om och endast om det inte finns någon 1-parameters undergrupp av G för vilken x endast tillåter icke-negativa vikter eller endast icke-positiva vikter, dvs för varje 1-parameters undergrupp finns både positiva och negativa vikter.

Exempel och tillämpningar

Verkan av C ^* på planet C ² , där banor är plana koniska (hyperboler).

Åtgärd av C ^* på planet

Standardexemplet är verkan av C ^* på planet C ² definierad som $t\cdot (x,y)=(tx,t^ {-1}y)$ . Tydligen är vikten i x -riktningen 1 och vikten i y -riktningen är -1. Enligt Hilbert–Mumford-kriteriet tillåter alltså en punkt som inte är noll på x -axeln 1 som sin enda vikt, och en punkt som inte är noll på y -axeln medger -1 som sin enda vikt, så de är båda instabila; en generell punkt i planet tillåter både 1 och -1 som vikter, så den är stabil.

Poäng i P ¹

Många exempel uppstår i modulproblem . Betrakta till exempel en uppsättning av n punkter på den rationella kurvan P ¹ (mer exakt, ett längd- n- underschema av P ¹ ). Automorfismgruppen P ¹ , PSL(2, C ), verkar på sådana uppsättningar (delscheman), och Hilbert-Mumford-kriteriet tillåter oss att bestämma stabiliteten under denna åtgärd.

Vi kan linjärisera problemet genom att identifiera en uppsättning av n punkter med ett grad- n homogent polynom i två variabler. Vi betraktar därför verkan av SL(2, $({\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{ 1}}(n))}$ ( n av sådana homogena polynom. Givet en 1-parameters undergrupp $\lambda \colon \mathbf {C} ^{*}\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {C})$ , kan vi välja koordinater x och y så att åtgärden på P ¹ ges som

\lambda (t)\cdot [x:y]=[t^{k}x:t^{-k}y].

För ett homogent polynom med formen $\textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{ni}$ , termen $x^{i}y^{ni}$ har vikten k (2 i - n ). Så polynomet tillåter både positiva och negativa (resp. icke-positiva och icke-negativa) vikter om och endast om det finns termer med i > n /2 och i < n/2 (resp. i ≥ n /2 och i ≤ n/2 ). I synnerhet ska multipliciteten av x eller y vara < n /2 (reps. ≤ n /2). Om vi upprepar över alla 1-parameters undergrupper kan vi få samma villkor för multiplicitet för alla punkter i P ¹ . Enligt Hilbert–Mumford-kriteriet är polynomet (och därmed mängden n punkter) stabilt (resp. halvstabilt) om och endast om dess multiplicitet vid någon punkt är < n /2 (resp. ≤ n /2).

Plan kubik

En liknande analys med homogent polynom kan utföras för att bestämma stabiliteten hos plana kubik . Hilbert–Mumford-kriteriet visar att en plan kubik är stabil om och endast om den är slät; den är halvstabil om och endast om den i värsta fall medger vanliga dubbelpunkter som singulariteter ; en kubik med sämre singulariteter (t.ex. en cusp ) är instabil.

Se även

Dieudonné, Jean A. ; Carrell, James B. (1970), "Invariant theory, old and new", Advances in Mathematics , 4 : 1–80, doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 , ISSN 0001-8708 , 5250255 MR 525025
Dieudonné, Jean A. ; Carrell, James B. (1971), Invariant Theory, Old and New , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-215540-6 , MR 0279102
Harris, Joe ; Morrison, Ian (1998), Moduli of Curves , Springer , doi : 10.1007/b98867
Thomas, Richard P. (2006), "Notes on GIT and symplectic reduction for bundles and variants", Surveys in Differential Geometry , 10 , arXiv : math/0512411v3