Einsteins fältekvationer

"Einsteins ekvation" omdirigerar här. För ekvationen $E=mc^{2}$ , se Mass–energiekvivalens .

I den allmänna relativitetsteorin relaterar Einsteins fältekvationer ( EFE ; även känd som Einsteins ekvationer ) rumtidens geometri med fördelningen av materia inom den.

Ekvationerna publicerades av Einstein 1915 i form av en tensorekvation som relaterade rumtidskurvaturen den lokala (uttryckt av Einstein-tensorn ) med den lokala energin, momentum och spänning inom den rumtiden (uttryckt av spännings-energitensorn ).

Analogt med det sätt som elektromagnetiska fält är relaterade till fördelningen av laddningar och strömmar via Maxwells ekvationer , relaterar EFE rumtidsgeometrin till fördelningen av massa-energi, rörelsemängd och spänning, det vill säga de bestämmer den metriska tensorn av rumstid för en givet arrangemang av stress–energi–momentum i rumtiden. Relationen mellan den metriska tensorn och Einstein-tensorn gör att EFE kan skrivas som en uppsättning icke-linjära partiella differentialekvationer när den används på detta sätt. Lösningarna för EFE är komponenterna i den metriska tensorn. Tröghetsbanorna för partiklar och strålning ( geodesik ) i den resulterande geometrin beräknas sedan med hjälp av den geodetiska ekvationen .

Förutom att antyda lokal bevarande av energi-momentum, reducerar EFE till Newtons gravitationslag inom gränsen för ett svagt gravitationsfält och hastigheter som är mycket mindre än ljusets hastighet .

Exakta lösningar för EFE kan endast hittas under förenklade antaganden som symmetri . Speciella klasser av exakta lösningar studeras oftast eftersom de modellerar många gravitationsfenomen, såsom roterande svarta hål och det expanderande universum . Ytterligare förenkling uppnås genom att approximera rumtiden som endast har små avvikelser från platt rymdtid , vilket leder till den linjäriserade EFE . Dessa ekvationer används för att studera fenomen som gravitationsvågor .

Matematisk form

Einsteins fältekvationer (EFE) kan skrivas i formen:

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

EFE på en vägg i Leiden , Nederländerna

där $G_{\mu \nu }$ är Einstein-tensorn , $g_{\mu \nu }$ är den metriska tensorn , $T_{\mu \ nu }$ är spännings-energitensorn , $\Lambda$ är den kosmologiska konstanten och $\kappa$ är Einsteins gravitationskonstant.

Einstein -tensorn definieras som

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },$

där R _μν är Ricci-kurvaturtensorn och R är den skalära krökningen . Detta är en symmetrisk andragradstensor som endast beror på den metriska tensorn och dess första och andra derivator.

Einsteins gravitationskonstant definieras som

$\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2,076647442804^\-31 gånger }\,{\textrm {N}}^{-1},$

där G är den Newtonska gravitationskonstanten och c är ljusets hastighet i vakuum.

EFE kan alltså också skrivas som

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.$

I standardenheter har varje term till vänster enheter på 1/längd ² .

Uttrycket till vänster representerar rumtidens krökning som bestäms av måtten; uttrycket till höger representerar innehållet stress–energi–momentum i rumtiden. EFE kan sedan tolkas som en uppsättning ekvationer som dikterar hur stress–energi–momentum bestämmer krökningen av rumtiden.

Dessa ekvationer, tillsammans med den geodetiska ekvationen , som dikterar hur fritt fallande materia rör sig genom rumtiden, utgör kärnan i den matematiska formuleringen av allmän relativitet .

EFE är en tensorekvation som relaterar en uppsättning symmetriska 4 × 4 tensorer . Varje tensor har 10 oberoende komponenter. De fyra Bianchi-identiteterna minskar antalet oberoende ekvationer från 10 till 6, vilket lämnar metriken med fyra mätningsfixerande frihetsgrader, som motsvarar friheten att välja ett koordinatsystem.

Även om Einsteins fältekvationer ursprungligen formulerades i samband med en fyrdimensionell teori, har vissa teoretiker utforskat deras konsekvenser i n dimensioner. Ekvationerna i sammanhang utanför den allmänna relativitetsteorien kallas fortfarande för Einsteins fältekvationer. Vakuumfältsekvationerna (erhållna när T _μν är överallt noll) definierar Einsteins grenrör .

Ekvationerna är mer komplexa än de ser ut. Givet en specificerad fördelning av materia och energi i form av en spänningsenergitensor, förstås EFE som ekvationer för den metriska tensorn $g_{\mu \nu }$ , eftersom både Ricci-tensorn och skalär krökning beror på metriken på ett komplicerat olinjärt sätt. När de är helt utskrivna är EFE ett system av tio kopplade, olinjära, hyperboliskt-elliptiska partiella differentialekvationer .

Sign konvention

Ovanstående form av EFE är standarden som fastställts av Misner, Thorne och Wheeler (MTW). Författarna analyserade konventioner som finns och klassificerade dessa enligt tre tecken ([S1] [S2] [S3]):

$${\begin{aligned}g_{\mu[ \nu }& S1]\ gånger \operatörsnamn {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\ gånger \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu}-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^ {\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right) \\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}$$

Det tredje tecknet ovan är relaterat till valet av konvention för Ricci-tensorn:

$$R_{\mu \nu }=[S2]\ gånger [S3]\ gånger {R^{\alpha }}_{ \mu \alpha \nu }$$

Med dessa definitioner klassificerar Misner, Thorne och Wheeler sig som (+ + +) , medan Weinberg (1972) är (+ − −) , Peebles (1980) och Efstathiou et al. (1990) är (− + +) , Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) och Peacock (1999) är (− + −) .

Författare inklusive Einstein har använt ett annat tecken i sin definition för Ricci-tensorn vilket resulterar i att tecknet för konstanten på höger sida är negativt:

$$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu}-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.$$

Tecknet för den kosmologiska termen skulle ändras i båda dessa versioner om (+ − − −) metriska teckenkonventionen används snarare än MTW (− + + +) metriska teckenkonventionen som antas här.

Likvärdiga formuleringar

Om man tar spåret med avseende på metriken på båda sidor av EFE får man

$$R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,$$

där D är rumtidsdimensionen. Genom att lösa för R och ersätta detta i den ursprungliga EFE får man följande ekvivalenta "spår-omvänd" form:

$$R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu}-{\frac { 1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).$$

I D = 4 dimensioner reduceras detta till

$$R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu}-{\frac {1}{2}}T\,g_{\ mu \nu }\right).$$

Att vända spåret igen skulle återställa den ursprungliga EFE. Den omvända formen kan vara bekvämare i vissa fall (till exempel när man är intresserad av svagfältsgräns och kan ersätta $g_{\mu \nu }$ i uttrycket till höger med Minkowski-metrisk utan betydande förlust av noggrannhet).

Den kosmologiska konstanten

Huvudartikel: Kosmologisk konstant

I Einsteins fältekvationer

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,$$

termen som innehåller den kosmologiska konstanten Λ saknades i versionen där han ursprungligen publicerade dem. Einstein inkluderade sedan termen med den kosmologiska konstanten för att möjliggöra ett universum som inte expanderar eller drar ihop sig . Detta försök misslyckades eftersom:

• varje önskad stationär lösning som beskrivs av denna ekvation är instabil, och
• observationer av Edwin Hubble visade att vårt universum expanderar .

Einstein övergav sedan Λ och påpekade för George Gamow "att införandet av den kosmologiska termen var hans livs största blunder".

Införandet av denna term skapar inte inkonsekvenser. Under många år antogs den kosmologiska konstanten nästan allmänt vara noll. Nyare astronomiska observationer har visat en accelererande expansion av universum , och för att förklara detta behövs ett positivt värde på Λ . Den kosmologiska konstanten är försumbar i skalan av en galax eller mindre.

Einstein tänkte på den kosmologiska konstanten som en oberoende parameter, men dess term i fältekvationen kan också flyttas algebraiskt till andra sidan och inkorporeras som en del av stress-energitensorn:

$$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.$$

Denna tensor beskriver ett vakuumtillstånd med en energitäthet ρ _vac och isotropiskt tryck p _vac som är fasta konstanter och ges av

$$\rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }} ,$$

där det antas att Λ har SI-enheten m ⁻² och κ definieras enligt ovan.

Förekomsten av en kosmologisk konstant är alltså likvärdig med förekomsten av en vakuumenergi och ett tryck av motsatt tecken. Detta har lett till att termerna "kosmologisk konstant" och "vakuumenergi" används omväxlande i den allmänna relativitetsteorien.

Funktioner

Bevarande av energi och fart

Allmän relativitetsteori överensstämmer med det lokala bevarandet av energi och momentum uttryckt som

$$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta}}_{;\beta }=0.$$

Härledning av lokal energibesparing

Kontrakterar den differentiella Bianchi-identiteten

$$R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0$$

med g ^αβ ger, med användning av det faktum att den metriska tensorn är kovariant konstant, dvs g ^αβ _;γ = 0 ,

$${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^ {\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

Antisymmetrin hos Riemann-tensoren gör att den andra termen i uttrycket ovan kan skrivas om:

$${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^ {\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

vilket motsvarar

$$R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta}+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

med definitionen av Ricci-tensorn .

Därefter, kontrakt igen med måtten

$$g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }- R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0$$

att få

$${R^{\delta}}_{\delta ;\varepsilon}-{R^{\delta}}_{\varepsilon ;\delta}+{R^{\gamma \delta}}_ {\delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

Definitionerna av Ricci-kurvaturtensorn och den skalära krökningen visar då det

$$R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0$$

som kan skrivas om som

$$\left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_ {;\gamma }=0$$

En slutlig kontraktion med g ^εδ ger

$$\left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta}R\right)_{;\gamma }=0$$

som genom symmetrin av termen inom parentes och definitionen av Einstein-tensorn ger, efter ommärkning av indexen,

$${G^{\alpha \beta}}_{;\beta }=0$$

Genom att använda EFE ger detta omedelbart,

$$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta}}_{;\beta }=0$$

som uttrycker det lokala bevarandet av stress-energi. Denna bevarandelag är ett fysiskt krav. Med sina fältekvationer säkerställde Einstein att generell relativitetsteori är förenlig med detta bevarandevillkor.

Icke-linjäritet

EFE:s olinjäritet skiljer allmän relativitet från många andra grundläggande fysikaliska teorier. Maxwells ekvationer av elektromagnetism är till exempel linjära i de elektriska och magnetiska fälten , och laddnings- och strömfördelningar (dvs summan av två lösningar är också en lösning); ett annat exempel är Schrödingers ekvation av kvantmekanik , som är linjär i vågfunktionen .

Korrespondensprincipen

EFE reducerar till Newtons tyngdlag genom att använda både svagfältsapproximationen och slow-motion approximationen . I själva verket bestäms konstanten G som förekommer i EFE genom att göra dessa två approximationer.

Härledning av Newtons gravitationslag

Newtonsk gravitation kan skrivas som teorin om ett skalärt fält, Φ , som är gravitationspotentialen i joule per kilogram av gravitationsfältet g = −∇Φ , se Gauss lag för gravitation

$$\nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)$$

där ρ är massdensiteten. Banan för en fritt fallande partikel uppfyller

$${\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\ ,.$$

I tensornotation blir dessa

$${\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}& =-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}$$

I allmän relativitetsteori är dessa ekvationer ersatta av Einsteins fältekvationer i spåromvänd form

$$R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}} Tg_{\mu \nu }\right)$$

för någon konstant, K och den geodetiska ekvationen

$${\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx ^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.$$

För att se hur den senare minskar till den förra, antar vi att testpartikelns hastighet är ungefär noll

$${\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)$$

och sålunda

$${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0$$

och att måttet och dess derivator är ungefär statiska och att kvadraterna av avvikelser från Minkowski-måttet är försumbara. Att tillämpa dessa förenklade antaganden på de rumsliga komponenterna i den geodetiska ekvationen ger

$${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i }$$

där två faktorer av dt / dτ har delats ut. Detta kommer att reduceras till dess motsvarighet i Newton, förutsatt

$$\Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0 }+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.$$

Våra antaganden tvingar α = i och tidsderivatan (0) att vara noll. Så det här förenklar till

$$2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\ höger)\approx -g_{00,i}\,$$

som tillgodoses genom uthyrning

$$g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.$$

När vi vänder oss till Einsteins ekvationer behöver vi bara komponenten tid och tid

$$R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)$$

antagandena om låg hastighet och statiskt fält innebär det

$$T_{\mu \nu }\approx \operatörsnamn {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatörsnamn {diag} \left(\rho c^{4} ,0,0,0\right)\,.$$

Så

$$T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^ {00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,$$

och sålunda

$$K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{ 2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4 }\,.$$

Från definitionen av Ricci-tensoren

$$R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{ \rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.$$

Våra förenklade antaganden gör att kvadraterna av Γ försvinner tillsammans med tidsderivatorna

$$R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.$$

Kombinera ovanstående ekvationer tillsammans

$$\Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00, i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2} }K\rho c^{4}$$

vilket reducerar till den angivna Newtonska fältekvationen

$${\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,$$

som kommer att inträffa om

$$K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.$$

Vakuumfältsekvationer

Ett schweiziskt minnesmynt från 1979, som visar vakuumfältsekvationerna med noll kosmologisk konstant (överst).

Om energi-moment-tensorn T _μν är noll i den aktuella regionen, så kallas fältekvationerna också som vakuumfältsekvationerna . Genom att ställa in T _μν = 0 i spår-omvända fältekvationerna kan vakuumekvationerna skrivas som

$$R_{\mu \nu }=0\,.$$

I fallet med icke-noll kosmologisk konstant, är ekvationerna

$$R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.$$

Lösningarna till vakuumfältsekvationerna kallas vakuumlösningar . Flat Minkowski space är det enklaste exemplet på en vakuumlösning. Icke-triviala exempel inkluderar Schwarzschild-lösningen och Kerr-lösningen .

Förgreningsrör med en försvinnande Ricci-tensor , R _μν = 0 , hänvisas till som Ricci-platta grenrör och grenrör med en Ricci-tensor proportionell mot metriken som Einstein-grenrör .

Einstein-Maxwells ekvationer

Se även: Maxwells ekvationer i krökt rumtid

Om energi-moment-tensorn T _μν är den för ett elektromagnetiskt fält i fritt utrymme , dvs om den elektromagnetiska spänning-energi-tensorn

$$T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\ mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta}+{\tfrac {1}{4}}g^{\ alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)$$

används, kallas Einstein-fältekvationerna Einstein–Maxwell-ekvationerna (med kosmologisk konstant Λ , tagen som noll i konventionell relativitetsteori):

$$G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }} ^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\höger).$$

Dessutom är de kovarianta Maxwell-ekvationerna också tillämpliga i fritt utrymme:

$${\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}$$

där semikolon representerar en kovariant derivata och parenteserna anger antisymmetrisering . Den första ekvationen hävdar att 4- divergensen för 2-formen F är noll, och den andra att dess yttre derivata är noll. Av det senare följer av Poincaré-lemmat att det i ett koordinatdiagram är möjligt att införa en elektromagnetisk fältpotential A _α sådan att

$$F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_ {\beta ,\alpha }$$

där kommatecken betecknar en partiell derivata. Detta tas ofta som ekvivalent med den kovarianta Maxwell-ekvationen från vilken den härleds. Det finns dock globala lösningar av ekvationen som kan sakna en globalt definierad potential.

Lösningar

Huvudartikel: Lösningar av Einsteins fältekvationer

Lösningarna av Einsteins fältekvationer är mått för rumtid . Dessa mått beskriver strukturen av rumtiden inklusive tröghetsrörelsen hos objekt i rymdtiden. Eftersom fältekvationerna är icke-linjära kan de inte alltid lösas helt (dvs utan att göra approximationer). Till exempel finns det ingen känd komplett lösning för en rumtid med två massiva kroppar i (vilket är en teoretisk modell av ett binärt stjärnsystem, till exempel). I dessa fall görs dock vanligtvis uppskattningar. Dessa ses vanligtvis till som post-newtonska approximationer . Trots det finns det flera fall där fältekvationerna har lösts helt, och de kallas exakta lösningar .

Studiet av exakta lösningar av Einsteins fältekvationer är en av kosmologins aktiviteter . Det leder till förutsägelser om svarta hål och till olika modeller av universums evolution .

Man kan också upptäcka nya lösningar av Einsteins fältekvationer via metoden för ortonormala ramar som pionjärer av Ellis och MacCallum. I detta tillvägagångssätt reduceras Einsteins fältekvationer till en uppsättning kopplade, olinjära, vanliga differentialekvationer. Som diskuterats av Hsu och Wainwright, är självliknande lösningar till Einsteins fältekvationer fasta punkter i det resulterande dynamiska systemet . Nya lösningar har upptäckts med dessa metoder av LeBlanc och Kohli och Haslam.

Den linjäriserade EFE

Huvudartikel: Linjäriserad gravitation

EFE:s olinjäritet gör det svårt att hitta exakta lösningar. Ett sätt att lösa fältekvationerna är att göra en approximation, nämligen att långt från källan/källorna till graviterande materia gravitationsfältet mycket svagt och rumstiden approximerar den för Minkowski-rymden . Måttet skrivs sedan som summan av Minkowski-måttet och en term som representerar avvikelsen för det sanna måttet från Minkowski-måttet , och ignorerar termer med högre effekt. Denna lineariseringsprocedur kan användas för att undersöka fenomenen gravitationsstrålning .

Polynomform

Trots att EFE som skrivet innehåller inversen av den metriska tensorn, kan de ordnas i en form som innehåller den metriska tensorn i polynomform och utan dess invers. Först kan bestämningsfaktorn för måttet i fyra dimensioner skrivas

$$\det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \ nu }$$

med Levi-Civita-symbolen ; och inversen av måttet i fyra dimensioner kan skrivas som:

$$g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \ nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.$$

Att ersätta denna definition av metrikens invers i ekvationerna och sedan multiplicera båda sidor med en lämplig potens av det( g ) för att eliminera den från nämnaren resulterar i polynomekvationer i den metriska tensorn och dess första och andra derivator. Handlingen från vilken ekvationerna härleds kan också skrivas i polynomform genom lämpliga omdefinieringar av fälten.

Se även

• Einstein-Hilbert action
• Likvärdighetsprincipen
• Exakta lösningar i allmän relativitetsteori
• Allmänna relativitetsteoriresurser
• Den allmänna relativitetsteoriens historia
• Hamilton–Jacobi–Einsteins ekvation
• Matematik av allmän relativitetsteori
• Numerisk relativitet
• Ricci kalkyl

Anteckningar

Se Allmänna relativitetsteoriresurser .

•   Misner, Charles W. ; Thorne, Kip S. ; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0 .
•   Weinberg, Steven (1972). Gravitation och kosmologi . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5 .
•   Peacock, John A. (1999). Kosmologisk fysik . Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724 .

externa länkar

• "Einstein equations" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Caltech handledning om relativitet — En enkel introduktion till Einsteins fältekvationer.
• Innebörden av Einsteins ekvation — En förklaring av Einsteins fältekvation, dess härledning och några av dess konsekvenser
• Videoföreläsning om Einsteins fältekvationer av MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.
• Båge och ställning: Hur Einstein hittade sina fältekvationer Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations

Externa bilder

• Einsteins fältekvation på väggen av Museum Boerhaave i centrala Leiden
• Suzanne Imber , "The impact of general relativity on the Atacama Desert" , Einsteins fältekvation på sidan av ett tåg i Bolivia.