Hilberts irreducerbarhetssats

I talteorin säger Hilberts irreducerbarhetsteorem , utarbetad av David Hilbert 1892, att varje ändlig uppsättning irreducerbara polynom i ett ändligt antal variabler och som har rationella talkoefficienter medger en gemensam specialisering av en riktig delmängd av variablerna till rationella tal. alla polynom förblir irreducerbara. Denna sats är en framträdande sats inom talteorin.

Formulering av satsen

Hilberts irreducerbarhetssats. Låta

$f_{1}(X_ {1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(X_{1},\ldots,X_{r},Y_{1 },\ldots ,Y_{s})$

vara irreducerbara polynom i ringen

$\mathbb {Q} (X_{1},\ldots,X_{r})[Y_{1},\ldots,Y_{s}].$

Sedan finns det en r -tupel av rationella tal ( a ₁ , ..., a _r ) så att

$f_{1}(a_ {1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(a_{1},\ldots,a_{r},Y_{1 },\ldots ,Y_{s})$

är irreducerbara i ringen

$\mathbb {Q} [Y_{1},\ldots ,Y_{s}].$

Anmärkningar.

• Det följer av satsen att det finns oändligt många r -tupler. Faktum är att uppsättningen av alla irreducerbara specialiseringar, kallad Hilbert-uppsättning, är stor i många avseenden. Till exempel är denna uppsättning Zariski tät i $\mathbb {Q} ^{r}.$
• Det finns alltid (oändligt många) heltalsspecialiseringar, dvs. satsens påstående gäller även om vi kräver att ( a ₁ , ..., a _r ) ska vara heltal.
• Det finns många hilbertska fält , dvs fält som uppfyller Hilberts irreducibilitetsteorem. Till exempel är nummerfält hilbertska.
• Den irreducibla specialiseringsegenskapen som anges i satsen är den mest generella. Det finns många reduktioner, t.ex. räcker det att ta $n=r=s=1$ i definitionen. Ett resultat av Bary-Soroker visar att för att ett fält K ska vara hilbertskt räcker det att beakta fallet $n=r=s=1$ och $f= f_{1}$ absolut irreducible , det vill säga irreducible i ringen K ^alg [ X , Y ], där K ^alg är den algebraiska stängningen av K .

Ansökningar

Hilberts irreducibility theorem har många tillämpningar i talteori och algebra . Till exempel:

• Det omvända Galois-problemet , Hilberts ursprungliga motivation. Satsen antyder nästan omedelbart att om en finit grupp G kan realiseras som Galois-gruppen av en Galois-förlängning N av

$E=\mathbb {Q} (X_{ 1},\ldots ,X_{r}),$

₀₀ så kan den specialiseras till en Galois-förlängning N av de rationella talen med G som sin Galois-grupp. (För att se detta, välj ett moniskt irreducerbart polynom f ( X ₁ , ..., X _n , Y ) vars rot genererar N över E. Om f ( a ₁ , ..., a _n , Y ) är irreducerbar för vissa a _i , då kommer en rot av det att generera det påstådda N .)

• Konstruktion av elliptiska kurvor med stor rang.

• Hilberts irreducibilitetsteorem används som ett steg i Andrew Wiles- beviset för Fermats sista teorem .

• Om ett polynom $g(x)\in \mathbb {Z} [x]$ är en perfekt kvadrat för alla stora heltalsvärden av x , då är g(x) kvadraten av ett polynom i $\mathbb {Z} [x].$ Detta följer av Hilberts irreducerbarhetssats med $n=r=s=1$ och

$f_{1}(X,Y)=Y^{2}-g(X).$

(Fler elementära bevis finns.) Samma resultat är sant när "kvadrat" ersätts med "kub", "fjärde" makt", etc.

Generaliseringar

Det har omformulerats och generaliserats omfattande, genom att använda språket för algebraisk geometri . Se tunn set (Serre) .

• D. Hilbert, "Uber die Irreducibilitat ganzer rationaler Functionen mit ganzzahligen Coefficienten", J. reine angew. Matematik. 110 (1892) 104–129.

•    Lang, Serge (1997). Undersökning av diofantin geometri . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8 . Zbl 0869.11051 .
• JP Serre, föreläsningar om Mordell-Weils sats , Vieweg, 1989.
• MD Fried och M. Jarden, Field Arithmetic , Springer-Verlag, Berlin, 2005.
• H. Völklein, Groups as Galois Groups , Cambridge University Press, 1996.
• G. Malle och BH Matzat, Inverse Galois Theory , Springer, 1999.