Grannskapssystem

Inom topologi och relaterade områden av matematik , grannskapssystemet , kompletta system av grannskap eller grannskapsfilter ${\mathcal {N}}(x)$ för en punkt $x$ i en topologisk space är samlingen av alla stadsdelar av $x.$

Definitioner

Närhet till en punkt eller uppsättning

Ett öppet område av en punkt (eller delmängd ) $x$ i ett topologiskt utrymme $X$ är vilken öppen delmängd ${\displaystyle U} som helst$ av $X$ som innehåller $x.$ En grannskap av $x$ i $X$ är en delmängd $N\subseteq X$ som innehåller någon öppen grannskap av $x$ ; uttryckligen $N$ en grannskap av $x$ i $X$ om och endast om det finns någon öppen delmängd $U$ med $x \in U\subseteq N$ . På motsvarande sätt är en grannskap av $x$ vilken uppsättning som helst som innehåller $x$ i dess topologiska inre .

Viktigt är att en "grannskap" inte behöver vara en öppen uppsättning; de stadsdelar som också råkar vara öppna uppsättningar kallas "öppna grannskap". kallas en stadsdel som också är en sluten (respektive kompakt , ansluten , etc.) uppsättning en sluten stadsdel (respektive kompakt kvarter , ansluten kvarter , etc.). Det finns många andra typer av stadsdelar som används i topologi och relaterade områden som funktionsanalys . Familjen i alla kvarter som har en viss "användbar" egendom utgör ofta en grannskapsbas , även om dessa kvarter ofta inte nödvändigtvis är öppna. Lokalt kompakta utrymmen , till exempel, är de utrymmen som vid varje punkt har en grannskapsbas som helt består av kompakta uppsättningar.

Grannskapsfilter

Grannskapssystemet för en punkt (eller icke-tom delmängd) $x$ är ett filter som kallas grannskapsfiltret för $x.$ Grannskapsfiltret för en punkt $x\in X$ är detsamma som grannskapsfiltret för singeluppsättningen $\{x\}.$

Grannskapsgrund

En grannskapsbas eller lokal bas (eller grannskapsbas eller lokal bas ) för en punkt $x$ är en filterbas för grannskapsfiltret; detta betyder att det är en delmängd

$${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)$$

så att det för alla $V\in {\mathcal {N}}(x),$ finns några $B\in {\mathcal {B}}$ såsom att $B\subseteq V.$ Det vill säga, för alla kvarter $V$ kan vi hitta en kvarter $B$ i kvartersbasen som finns i $V.$

På motsvarande sätt är ${\mathcal {B}}$ en lokal bas vid $x$ om och endast om grannskapsfiltret ${\mathcal {N}}$ kan återställas från ${ \displaystyle {\mathcal {B}}}$ i den meningen att följande likhet gäller:

$${\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ för vissa }}B\in {\mathcal {B}}\right\ }\!\!\;.$$

En familj ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)$ är en grannskapsbas för $x$ om och endast om ${\mathcal {B}}$ är en kofinal delmängd av $\left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)$ med avseende på delordningen $\supseteq$ (viktigt, denna delordning är supermängdrelationen och inte delmängdsrelationen ).

Grannskapsunderlag

En grannskapssubbas vid $x$ är en familj ${\mathcal {S}}$ av delmängder av $X,$ som var och en innehåller $x,$ så att samlingen av alla möjliga ändliga skärningspunkter av element i ${\mathcal {S}}$ bildar en grannskapsbas vid $x.$

Exempel

Om $\mathbb {R}$ har sin vanliga euklidiska topologi så är kvarteren för $0$ alla de delmängder $N\subseteq \mathbb {R}$ för vilka det finns några verkliga nummer $r>0$ så att $(-r,r)\subseteq N.$ Till exempel är alla följande uppsättningar grannskap av $0$ i $\mathbb {R}$ :

$$_ ),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\kopp \{10\},\;[-2,2]\kopp \mathbb { Q} ,\;\mathbb {R} }$$

men ingen av följande uppsättningar är stadsdelar av $0$ :

$$\{0\ },\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\ setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$$

där $\mathbb {Q}$ anger de rationella talen .

Om $U$ är en öppen delmängd av ett topologiskt utrymme $X$ så är för varje $u\in U,$$U$ en grannskap av ${\ displaystyle u}$ i $X.$ Mer allmänt, om $N\subseteq X$ är valfri mängd och $\operatorname {int} _{X}N$ betecknar det topologiska inre av ${ \displaystyle N}$ i $X,$ sedan är $N$ en grannskap (i $X$ ) av varje punkt $x\in \operatorname { int} _{X}N$ och dessutom är $N$ inte en grannskap till någon annan punkt. Sagt annorlunda, $N$ är en grannskap av en punkt $x\in X$ om och endast om $x\in \operatörsnamn {int} _{X}N.$

Grannbaser

I vilket topologiskt utrymme som helst är grannskapssystemet för en punkt också en grannskapsbas för punkten. Uppsättningen av alla öppna stadsdelar vid en punkt bildar en grannskapsbas vid den punkten. För valfri punkt $x$ i ett metriskt utrymme bildar sekvensen av öppna bollar runt $x$ med radien $1/n$ en räknebar grannskapsbas ${\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}$ . Detta innebär att varje metriskt utrymme är först-räknat .

Givet ett mellanslag $X$ med den indiskreta topologin innehåller grannskapssystemet för valfri punkt $x$ endast hela utrymmet, ${\mathcal {N}}( x)=\{X\}$ .

I den svaga topologin på måttutrymmet på ett utrymme $E,$ ges en grannskapsbas om ${\displaystyle \nu } av$

$$\left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i} \right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}$$

där $f_{i}$ är kontinuerliga avgränsade funktioner från $E$ till de reella talen och ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n$ är positiva reella tal.

Seminormerade rum och topologiska grupper

I ett seminormerat rum , det vill säga ett vektorrum med topologin inducerad av en seminorm , kan alla grannskapssystem konstrueras genom översättning av grannskapssystemet för ursprunget,

$${\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.$$

Detta beror på att, genom antagande, vektoraddition är separat kontinuerlig i den inducerade topologin. Därför bestäms topologin av dess grannskapssystem vid ursprunget. Mer generellt förblir detta sant när utrymmet är en topologisk grupp eller topologin definieras av en pseudometrisk .

Egenskaper

Antag att $u\in U\subseteq X$ och låt ${\mathcal {N}}$ vara en grannskapsbas för $u$ i $X.$ Gör ${\mathcal {N}}$ till en riktad uppsättning genom att delvis ordna den genom superset-inkludering $\,\supseteq .$ Då är $U$ inte en grannskap av $u$ i $X$ om och bara om det finns en ${\mathcal {N }}$ -indexerat nät $\left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}$ i $X\setminus U$ så att $x_{N}\in N\setminus U$ för varje $N\in {\mathcal {N}}$ (vilket innebär att $\left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u$ i $X$ ).

Se även

• Bas (topologi) – Samling av öppna uppsättningar som används för att definiera en topologi
• Filter (mängdteori) – Familj av mängder som representerar "stora" mängder
• Filter i topologi – Användning av filter för att beskriva och karakterisera alla grundläggande topologiska föreställningar och resultat.
• Lokalt konvext topologiskt vektorrum – Ett vektorrum med en topologi definierad av konvexa öppna uppsättningar
• Grannskap (matematik) – Öppen mängd som innehåller en given punkt
• Subbas – Samling av delmängder som genererar en topologi
• Rörformigt grannskap – grannskap av en submanifold homeomorf till den submanifoldens normala bunt Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv

Bibliografi

•    Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Allmän topologi: Kapitel 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1 . OCLC 18588129 .
•    Dixmier, Jacques (1984). Allmän topologi . Grundutbildningstexter i matematik. Översatt av Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1 . OCLC 10277303 .
•    Willard, Stephen (2004) [1970]. Allmän topologi . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .