Asymmetrisk norm

Inom matematiken är en asymmetrisk norm på ett vektorrum en generalisering av normbegreppet .

Definition

En asymmetrisk norm på ett reellt vektorrum $X$ är en funktion $p:X\to [0,+\infty )$ som har följande egenskaper:

• Subadditivitet $p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ för alla }}x,y\i X.$ eller triangelolikheten :
• Icke-negativ homogenitet : $p(rx)=rp(x){\text{ för alla }}x\in X$ och alla icke-negativa reella nummer $r\geq 0.$
• Positiv bestämdhet : $p(x)>0{\text{ om inte }}x=0$

Asymmetriska normer skiljer sig från normer genom att de inte $p(-x)=p(x).$ uppfylla likheten

Om villkoret för positiv definititet utelämnas, är $p$ en asymmetrisk seminorm . Ett svagare tillstånd än positiv definititet är icke-degeneration : att för $x\neq 0,$ minst ett av de två talen $p(x)$ och $p(-x)$ är inte noll.

Exempel

På den verkliga linjen $\mathbb {R} ,$ funktionen $p$ som ges av

$$p(x)={\begin{cases}|x|,&x\leq 0;\\2|x|,&x\geq 0;\end{cases}}$$

är en asymmetrisk norm men inte en norm.

I ett reellt vektorrum ${\displaystyle X,} definieras$ Minkowski -funktionen $p_{B}$ för en konvex delmängd $B\subseteq X$ som innehåller ursprunget av formeln

$$p_{B}(x)=\inf \left\{r\geq 0:x\in rB\right\}\,$$

för $x\in X$ Denna funktion är en asymmetrisk seminorm om $B$ är en absorberande mängd, vilket betyder att $\bigcup _{r\ geq 0}rB=X,$ och säkerställer att $p(x)$ är ändlig för varje $x\in X.$

Överensstämmelse mellan asymmetriska seminormer och konvexa delmängder av det dubbla rummet

Om $B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ är en konvex mängd som innehåller origo, då kan en asymmetrisk seminorm $p$ definieras på $\mathbb {R} ^{n}$ av formeln

$$p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\langle \varphi ,x\rangle .$$

Till exempel, om $B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ är kvadraten med hörn $(\pm 1, \pm 1),$ sedan är $p$ taxinormen ${\displaystyle x=\left(x_{0},x_{1}\right)\mapsto \left|x_{0}\right|+\left|x_{1}\right|.} Olika konvexa$ uppsättningar ger olika seminormer, och varje asymmetrisk seminorm på $\mathbb {R} ^{n}$ kan erhållas från någon konvex uppsättning, som kallas dess dubbla enhetsboll . Därför är asymmetriska seminormer i en-till-en-korrespondens med konvexa uppsättningar som innehåller ursprunget. Seminormen $p$ är

• positiv definitivt om och endast om $B^{*}$ innehåller ursprunget i sitt topologiska inre ,
• degenerera om och endast om $B^{*}$ finns i ett linjärt delrum med dimension mindre än $n,$ och
• symmetrisk om och endast om $B^{*}=-B^{*}.$

Mer allmänt, om $X$ är ett ändligt dimensionellt reellt vektorrum och $B^{*}\subseteq X^{*}$ är en kompakt konvex delmängd av det dubbla rummet $X^{*}$ som innehåller origo, då $p(x)=\max _{\varphi \in B^{* }}\varphi (x)$ är en asymmetrisk seminorm på $X.$

Se även

• Finsler grenrör – slät grenrör utrustad med en Minkowski funktionell vid varje tangentutrymme Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Minkowski funktionell

•    Cobzaş, S. (2006). "Kompakta operatörer på utrymmen med asymmetrisk norm". Hingst. Univ. Babeş-Bolyai Math . 51 (4): 69–87. ISSN 0252-1938 . MR 2314639 .
•   S. Cobzas, Functional Analysis in Asymmetric Normed Spaces , Frontiers in Mathematics, Basel: Birkhäuser, 2013; ISBN 978-3-0348-0477-6 .