Topologisk grupp

De reella talen bildar en topologisk grupp under addition

I matematik är topologiska grupper logiskt sett kombinationen av grupper och topologiska utrymmen , dvs de är grupper och topologiska utrymmen på samma gång, så att kontinuitetsvillkoret för gruppoperationerna kopplar samman dessa två strukturer och följaktligen är de inte oberoende av varandra. .

Topologiska grupper har studerats omfattande under perioden 1925 till 1940. Haar och Weil (1933 respektive 1940) visade att integralerna och Fourierserierna är specialfall av en mycket bred klass av topologiska grupper.

Topologiska grupper, tillsammans med kontinuerliga gruppaktioner , används för att studera kontinuerliga symmetrier , som har många tillämpningar, till exempel inom fysik . I funktionell analys är varje topologisk vektorrum en additiv topologisk grupp med den ytterligare egenskapen att skalär multiplikation är kontinuerlig; följaktligen kan många resultat från teorin om topologiska grupper appliceras på funktionell analys.

Formell definition

En topologisk grupp , G , är ett topologiskt utrymme som också är en grupp så att gruppoperationen (i detta fall produkt):

⋅ : G × G → G , ( x , y ) ↦ xy

och inversionskartan:

⁻¹ : G → G , x ↦ x ⁻¹

är kontinuerliga . Här ses G × G som ett topologiskt utrymme med produkttopologin . En sådan topologi sägs vara kompatibel med gruppoperationerna och kallas en grupptopologi .

Kontrollerar kontinuitet

Produktkartan är kontinuerlig om och endast om det för någon x , y ∈ G och någon grannskap W av xy i G finns områden U av x och V av y i G så att U ⋅ V ⊆ W , där U ⋅ V : = { u ⋅ v : u ∈ U , v ∈ V }. Inversionskartan är kontinuerlig om och endast om det för någon x ∈ G och någon grannskap V av x ⁻¹ i G finns en grannskap U av x i G så att U ⁻¹ ⊆ V , där U ⁻¹ := { u ⁻¹ : u ∈ U }.

För att visa att en topologi är kompatibel med gruppoperationerna räcker det att kontrollera att kartan

G × G → G , ( x , y ) ↦ xy ⁻¹

är kontinuerlig. Explicit betyder detta att för alla x , y ∈ G och alla grannskap W i G av xy ⁻¹ , finns det grannskap U av x och V av y i G så att U ⋅ ( V ⁻¹ ) ⊆ W .

Additiv notation

Denna definition använde notation för multiplikativa grupper; motsvarigheten för tillsatsgrupper skulle vara att följande två operationer är kontinuerliga:

+ : G × G → G , ( x , y ) ↦ x + y

− : G → G , x ↦ − x .

Hausdorffness

Även om det inte ingår i denna definition, kräver många författare att topologin på G är Hausdorff . En anledning till detta är att vilken topologisk grupp som helst kan associeras kanoniskt med en Hausdorff topologisk grupp genom att ta en lämplig kanonisk kvot; detta kräver dock ofta fortfarande att man arbetar med den ursprungliga icke-Hausdorff-topologiska gruppen. Andra orsaker, och vissa likvärdiga förhållanden, diskuteras nedan.

Denna artikel kommer inte att anta att topologiska grupper nödvändigtvis är Hausdorff.

Kategori

I kategoriteorin kan topologiska grupper definieras kortfattat som gruppobjekt i kategorin topologiska rum , på samma sätt som vanliga grupper är gruppobjekt i kategorin mängder . Observera att axiomen ges i termer av kartorna (binär produkt, unär invers och nullär identitet), och är därför kategoriska definitioner.

Homomorfismer

En homomorfism av topologiska grupper betyder en kontinuerlig grupphomomorfism G → H . Topologiska grupper, tillsammans med deras homomorfismer, bildar en kategori . En grupphomomorfism mellan topologiska grupper är kontinuerlig om och endast om den är kontinuerlig någon gång.

En isomorfism av topologiska grupper är en gruppisomorfism som också är en homeomorfism av de underliggande topologiska utrymmena. Detta är starkare än att bara kräva en kontinuerlig gruppisomorfism - det omvända måste också vara kontinuerligt. Det finns exempel på topologiska grupper som är isomorfa som vanliga grupper men inte som topologiska grupper. Faktum är att vilken icke-diskret topologisk grupp som helst är också en topologisk grupp när den betraktas med den diskreta topologin. De underliggande grupperna är desamma, men som topologiska grupper finns det ingen isomorfism.

Exempel

Varje grupp kan trivialt göras till en topologisk grupp genom att betrakta den med den diskreta topologin ; sådana grupper kallas diskreta grupper . I denna mening subsumerar teorin om topologiska grupper teorin om vanliga grupper. Den indiskreta topologin (dvs den triviala topologin) gör också varje grupp till en topologisk grupp.

De reella talen , $\mathbb {R}$ med den vanliga topologin bildar en topologisk grupp under addition. Euklidiskt n -rum $\mathbb {R}$ ⁿ är också en topologisk grupp under addition, och mer generellt bildar varje topologisk vektorrum en (abelsk) topologisk grupp. Några andra exempel på abelska topologiska grupper är cirkelgruppen S ¹ , eller torus ( S ¹ ) ⁿ för valfritt naturligt tal n .

De klassiska grupperna är viktiga exempel på icke-abelska topologiska grupper. Till exempel kan den generella linjära gruppen GL( n , $\mathbb {R}$ ) för alla inverterbara n -by- n matriser med reella poster ses som en topologisk grupp med topologin definierad genom att titta på GL( n , $\mathbb {R}$ ) som ett delrum av det euklidiska rummet $\mathbb {R}$ ^{n × n} . En annan klassisk grupp är den ortogonala gruppen O( n ) , gruppen av alla linjära kartor från $\mathbb {R}$ ⁿ till sig själv som bevarar längden på alla vektorer. Den ortogonala gruppen är kompakt som ett topologiskt utrymme. Mycket av den euklidiska geometrin kan ses som att studera strukturen av den ortogonala gruppen, eller den närbesläktade gruppen O ( n ) ⋉ $\mathbb {R}$ ⁿ av isometrier av $\mathbb {R}$ ⁿ .

De grupper som hittills nämnts är alla Lie-grupper , vilket innebär att de är jämna grenrör på ett sådant sätt att gruppverksamheten är smidig , inte bara kontinuerlig. Lögngrupper är de bäst förstådda topologiska grupperna; många frågor om Lie-grupper kan konverteras till rent algebraiska frågor om Lie-algebror och sedan lösas.

Ett exempel på en topologisk grupp som inte är en Lie-grupp är den additiva gruppen $\mathbb {Q}$ av rationella tal , med topologin ärvd från $\mathbb {R}$ . Detta är ett räknebart utrymme, och det har inte den diskreta topologin. Ett viktigt exempel för talteorin är gruppen $\mathbb {Z}$ _p av p -adiska heltal , för ett primtal p , vilket betyder invers gräns för de finita grupperna $\mathbb {Z}$ / p ⁿ när n går till oändlighet. Gruppen $\mathbb {Z}$ _p sköter sig väl genom att den är kompakt (i själva verket homeomorf till Cantor-uppsättningen ), men den skiljer sig från (riktiga) Lie-grupper genom att den är helt frånkopplad . Mer allmänt finns det en teori om p -adic Lie-grupper , inklusive kompakta grupper som GL( n , $\mathbb {Z}$ _p ) såväl som lokalt kompakta grupper som GL( n , $\mathbb {Q}$ _p ) , där $\mathbb {Q}$ _p är lokalt kompakt fält av p -adiska tal .

Gruppen $\mathbb {Z}$ _p är en profinit grupp ; den är isomorf till en undergrupp av produkten $\prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}$ på ett sådant sätt att dess topologi induceras av produkttopologin, där de finita grupperna $\mathbb {Z} /p^{n}$ ges den diskreta topologin. En annan stor klass av profinita grupper som är viktiga i talteorin är absoluta Galois-grupper .

Vissa topologiska grupper kan ses som oändligt dimensionella Lie-grupper ; denna fras förstås bäst informellt, för att inkludera flera olika familjer av exempel. Till exempel är ett topologiskt vektorrum , såsom ett Banach-utrymme eller Hilbert-utrymme , en abelsk topologisk grupp under addition. Några andra oändligt dimensionella grupper som har studerats, med varierande grad av framgång, är loopgrupper , Kac–Moody-grupper , diffeomorfismgrupper , homeomorfismgrupper och mätargrupper .

I varje Banach-algebra med multiplikativ identitet bildar uppsättningen inverterbara element en topologisk grupp under multiplikation. Till exempel uppstår gruppen av inverterbara avgränsade operatorer på ett Hilbert-utrymme på detta sätt.

Egenskaper

Översättningsinvarians

Varje topologisk grupps topologi är translationsinvariant , vilket per definition betyder att om för någon $a\in G,$ vänster eller höger multiplikation med detta element ger en homeomorfism $G\to G.$ Följaktligen, för alla $a\in G$ och $S\subseteq G,$ är delmängden $S$ öppen (resp. stängd ) i $G$ om och endast om detta är sant för dess vänstra översättning $aS:=\{as:s\in S \}$ och högeröversättning $Sa:=\{sa:s\in S\}.$ Om ${\mathcal {N}}$ är en grannskapsbas för identitetselementet i en topologisk grupp $G$ sedan för alla $x\in X,$$x{\ mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}$ är en grannskapsbas av $x$ i $G.$ I synnerhet bestäms varje grupptopologi på en topologisk grupp helt av vilken grannskapsbas som helst vid identitetselementet. Om $S$ är någon delmängd av $G$ och $U$ är en öppen delmängd av $\displaystyle G,}$$SU:=\{su:s\in S,u\in U\}$ då är en öppen delmängd av $G.$

Symmetriska stadsdelar

Inversionsoperationen $g\mapsto g^{-1}$ på en topologisk grupp $G$ är en homeomorfism från $G$ till sig själv.

En delmängd $S\subseteq G$ sägs vara symmetrisk om $S^{-1}=S,$ där ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.} Stängningen av varje symmetrisk mängd i$ en kommutativ topologisk grupp är symmetrisk. Om S är vilken delmängd som helst av en kommutativ topologisk grupp G , då är följande mängder också symmetriska: S ⁻¹ ∩ S , S ⁻¹ ∪ S , och S ⁻¹ S .

För varje grannskap N i en kommutativ topologisk grupp G av identitetselementet, finns det en symmetrisk grannskap M av identitetselementet så att M ⁻¹ M ⊆ N , där notera att M ⁻¹ M nödvändigtvis är en symmetrisk grannskap av identitetselementet . Således har varje topologisk grupp en grannskapsbas vid identitetselementet som består av symmetriska uppsättningar.

Om G är en lokalt kompakt kommutativ grupp, så finns det för varje grannskap N i G av identitetselementet en symmetrisk relativt kompakt grannskap M av identitetselementet så att cl M ⊆ N (där cl M också är symmetrisk).

Enhetligt utrymme

Varje topologisk grupp kan ses som ett enhetligt utrymme på två sätt; den vänstra likformigheten förvandlar alla vänstermultiplikationer till likformigt kontinuerliga kartor medan den högra likformigheten förvandlar alla högermultiplikationer till likformigt kontinuerliga kartor. Om G inte är abelsk, behöver dessa två inte sammanfalla. De enhetliga strukturerna gör att man kan prata om föreställningar som fullständighet , enhetlig kontinuitet och enhetlig konvergens på topologiska grupper.

Separationsegenskaper

Om U är en öppen delmängd av en kommutativ topologisk grupp G och U innehåller en kompakt mängd K , så finns det en grannskap N av identitetselementet så att KN ⊆ U .

Som ett enhetligt utrymme är varje kommutativ topologisk grupp helt regelbunden . Följaktligen, för en multiplikativ topologisk grupp G med identitetselement 1, är följande ekvivalenta:

1. ₀ G är ett T -rum ( Kolmogorov );
2. G är ett T2 _- rum ( Hausdorff );
3. G är en T _{3 1 ⁄ 2} ( Tychonoff ) ;
4. {1} är stängd i G ;
5. { 1 } := ∩ N ∈ 𝒩 N , där 𝒩 är en grannskapsbas för identitetselementet i G ;
6. för varje $x\in G$ så att $x\neq 1,$ finns det en grannskap U i G av identitetselementet så att $x\not \in U.$

En undergrupp av en kommutativ topologisk grupp är diskret om och endast om den har en isolerad punkt .

Om G inte är Hausdorff, så kan man få en Hausdorff-grupp genom att gå över till kvotgruppen G / K , där K är stängningen av identiteten. Detta motsvarar att ta Kolmogorov-kvoten av G .

Metrisbarhet

Låt G vara en topologisk grupp. Som med vilket topologiskt utrymme som helst, säger vi att G är mätbar om och endast om det finns ett mått d på G , vilket inducerar samma topologi på $G$ . En metrisk d på G kallas

• vänsterinvariant (resp. högerinvariant ) om och endast om $d(ax_{1},ax_{2})=d (x_{1},x_{2})$ (resp. ${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})} )$ för alla $a,x_{ 1},x_{2}\in G$ (motsvarande är $d$ vänsterinvariant i fall kartan $x\mapsto ax$ är en isometri från $(G,d)$ till sig själv för varje $a\in G$ ).
• korrekt om och endast om alla öppna bollar, $B(r)=\{g\in G\mid d(g,1) <r\}$ för $r>0$ , är förkompakta.

Birkhoff –Kakutani-satsen (uppkallad efter matematikerna Garrett Birkhoff och Shizuo Kakutani ) säger att följande tre villkor på en topologisk grupp G är ekvivalenta:

1. G är först räknebart (motsvarande: identitetselementet 1 är stängt i G , och det finns en räknebar bas av kvarter för 1 i G ).
2. G är mätbar (som ett topologiskt rum).
3. Det finns ett vänsterinvariant mått på G som inducerar den givna topologin på G .

Dessutom är följande ekvivalenta för vilken topologisk grupp G som helst :

1. G är ett andra räknebart lokalt kompakt (Hausdorff) utrymme.
2. G är ett polskt , lokalt kompakt (Hausdorff) utrymme.
3. G är korrekt mätbar (som ett topologiskt utrymme).
4. Det finns en vänsterinvariant, korrekt metrik på G som inducerar den givna topologin på G .

Notera: Som med resten av artikeln antar vi här en Hausdorff-topologi. Implikationerna 4 $\Rightarrow$ 3 $\Rightarrow$ 2 $\Rightarrow$ 1 håller i valfritt topologiskt utrymme. Speciellt gäller 3 $\Rightarrow$ 2, eftersom i synnerhet varje korrekt mätbart utrymme är en räknebar förening av kompakta metriserbara och därmed separerbara ( jfr egenskaper hos kompakta metriska utrymmen ) delmängder. Den icke-triviala implikationen 1 $\Rightarrow$ 4 bevisades först av Raimond Struble 1974. Ett alternativt tillvägagångssätt gjordes av Uffe Haagerup och Agata Przybyszewska 2006, idén om den är som följer: Man förlitar sig på konstruktionen av en vänsterinvariant metrik , $d_{0}$ , som i fallet med första räkningsbara mellanslag . Genom lokal kompaktitet är slutna kulor med tillräckligt små radier kompakta, och genom att normalisera kan vi anta att detta gäller för radie 1. Att stänga den öppna kulan, U , med radie 1 under multiplikation ger en clopen- undergrupp, H , av G , där måtten $d_{0}$ är korrekt. Eftersom H är öppen och G är andra räkningsbar , har undergruppen som mest countably många cosets. Man använder nu denna sekvens av cosets och metriken på H för att konstruera en riktig metrik på G .

Undergrupper

Varje undergrupp av en topologisk grupp är i sig en topologisk grupp när den ges subrymdstopologin . Varje öppen undergrupp H är också sluten i G , eftersom komplementet till H är den öppna mängden som ges av föreningen av öppna mängder gH för g ∈ G \ H . Om H är en undergrupp av G så är stängningen av H också en undergrupp. På samma sätt, om H är en normal undergrupp av G , är stängningen av H normal i G .

Kvotienter och normala undergrupper

Om H är en undergrupp av G , kallas uppsättningen av vänster cosets G / H med kvottopologin ett homogent utrymme för G. Kvotkartan $q:G\to G/H$ är alltid öppen . S ^Till exempel, för ett positivt heltal n är sfären n ett homogent utrymme för rotationsgruppen SO( n +1) i $\mathbb {R}$ ^{n +1} , med S ⁿ = SO( n +1)/SO( n ) . Ett homogent utrymme G / H är Hausdorff om och endast om H är stängt i G. Delvis av denna anledning är det naturligt att koncentrera sig på slutna undergrupper när man studerar topologiska grupper.

Om H är en normal undergrupp av G , så blir kvotgruppen G / H en topologisk grupp när den ges kvottopologin. Det är Hausdorff om och bara om H är stängt i G . Till exempel är kvotgruppen $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ isomorf till cirkelgruppen S ¹ .

I vilken topologisk grupp som helst är identitetskomponenten (dvs. den anslutna komponenten som innehåller identitetselementet) en sluten normal undergrupp. Om C är identitetskomponenten och a är vilken punkt som helst av G , så är den vänstra coseten aC komponenten av G som innehåller a . Så samlingen av alla vänstra cosets (eller höger cosets) av C i G är lika med samlingen av alla komponenter i G . Härav följer att kvotgruppen G / C är helt frånkopplad .

Stängning och kompakthet

I vilken kommutativ topologisk grupp som helst är produkten (förutsatt att gruppen är multiplikativ) KC av en kompakt mängd K och en sluten mängd C en sluten mängd. Vidare, för alla delmängder R och S av G , (cl R ) (cl S ) ⊆ cl ( RS ) .

Om H är en undergrupp av en kommutativ topologisk grupp G och om N är en grannskap i G av identitetselementet så att H ∩ cl N är stängd, då är H stängd. Varje diskret undergrupp av en Hausdorff kommutativ topologisk grupp är stängd.

Isomorfismteoremer

Isomorfismsatserna från vanlig gruppteori är inte alltid sanna i den topologiska miljön . Detta beror på att en bijektiv homomorfism inte behöver vara en isomorfism av topologiska grupper.

Till exempel är en ursprunglig version av den första isomorfismsatsen falsk för topologiska grupper: om $f:G\to H$ är en morfism av topologiska grupper (det vill säga en kontinuerlig homomorfism), är det inte nödvändigtvis sant att den inducerade homomorfismen ${\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)$ är en isomorfism av topologiska grupper; det kommer att vara en bijektiv, kontinuerlig homomorfism, men det kommer inte nödvändigtvis att vara en homeomorfism. Med andra ord kommer det inte nödvändigtvis att medge en invers i kategorin topologiska grupper.

Det finns en version av det första isomorfismsatsen för topologiska grupper, som kan anges enligt följande: om $f:G\to H$ är en kontinuerlig homomorfism, så är den inducerade homomorfismen från G /ker( f ) till im( f ) är en isomorfism om och endast om kartan f är öppen på sin bild.

Den tredje isomorfismsatsen stämmer dock mer eller mindre ordagrant för topologiska grupper, vilket man lätt kan kontrollera.

Hilberts femte problem

Det finns flera starka resultat på relationen mellan topologiska grupper och Lie-grupper. För det första är varje kontinuerlig homomorfism av Lie-grupperna $G\to H$ jämn. Det följer att en topologisk grupp har en unik struktur av en Lie-grupp om en sådan existerar. Cartans teorem säger också att varje sluten undergrupp av en Lie-grupp är en Lie-undergrupp, i synnerhet en slät undergrupp .

Hilberts femte problem frågade om en topologisk grupp G som är en topologisk mångfald måste vara en Lie-grupp. Med andra ord, G strukturen som ett smidigt grenrör, vilket gör koncernens verksamhet smidig? Som framgår av Andrew Gleason , Deane Montgomery och Leo Zippin , är svaret på detta problem ja. Faktum är att G har en verklig analytisk struktur. Med hjälp av den släta strukturen kan man definiera Lie-algebra för G , ett objekt för linjär algebra som bestämmer en sammankopplad grupp G upp till täckande utrymmen . Som ett resultat reducerar lösningen på Hilberts femte problem klassificeringen av topologiska grupper som är topologiska mångfalder till ett algebraiskt problem, om än ett komplicerat problem i allmänhet.

Teoremet har också konsekvenser för bredare klasser av topologiska grupper. För det första är varje kompakt grupp (förstått att vara Hausdorff) en omvänd gräns för kompakta Lie-grupper. (Ett viktigt fall är en invers gräns för finita grupper, kallad en profinit grupp . Till exempel gruppen $\mathbb {Z}$ _p av p -adiska heltal och den absoluta Galois-gruppen av ett fält är profinita grupper.) Dessutom är varje ansluten lokalt kompakt grupp en omvänd gräns för anslutna Lie-grupper. I den andra ytterligheten innehåller en totalt frånkopplad lokalt kompakt grupp alltid en kompakt öppen undergrupp, som nödvändigtvis är en profinit grupp. (Till exempel innehåller den lokalt kompakta gruppen GL( n , $\mathbb {Q}$ _p ) den kompakta öppna undergruppen GL( n , $\mathbb {Z}$ _p ) , vilket är inversen gräns för de ändliga grupperna GL( n , $\mathbb {Z}$ / p ^r ) när r ' går till oändlighet.)

Representationer av kompakta eller lokalt kompakta grupper

En verkan av en topologisk grupp G på ett topologiskt utrymme X är en gruppverkan av G på X så att motsvarande funktion G × X → X är kontinuerlig. På samma sätt är en representation av en topologisk grupp G på ett reellt eller komplext topologiskt vektorrum V en kontinuerlig verkan av G på V så att för varje g ∈ G , kartan v ↦ gv från V till sig själv är linjär.

Grupphandlingar och representationsteori är särskilt välkända för kompakta grupper, vilket generaliserar vad som händer för ändliga grupper . Till exempel är varje finitdimensionell (reell eller komplex) representation av en kompakt grupp en direkt summa av irreducerbara representationer . En oändligt dimensionell enhetsrepresentation av en kompakt grupp kan dekomponeras som en Hilbert-rymds direkt summa av irreducerbara representationer, som alla är ändliga dimensionella; detta är en del av Peter-Weyl-satsen . Till exempel teorin om Fourierserier beskriver nedbrytningen av den enhetliga representationen av cirkelgruppen S ¹ på det komplexa Hilbertrummet L ² ( S ¹ ) . De irreducerbara representationerna av S ¹ är alla 1-dimensionella, av formen z ↦ z ⁿ för heltal n (där S ¹ ses som en undergrupp av den multiplikativa gruppen $\mathbb {C}$ *). Var och en av dessa representationer förekommer med multiplicitet 1 tum ^{_ _} L2 ( S1 ) .

De irreducerbara representationerna av alla kompakta anslutna Lie-grupper har klassificerats. I synnerhet ges karaktären av varje irreducerbar representation av teckenformeln Weyl .

Mer allmänt har lokalt kompakta grupper en rik teori om harmonisk analys , eftersom de medger en naturlig föreställning om mått och integral , givet av Haarmåttet . Varje enhetlig representation av en lokalt kompakt grupp kan beskrivas som en direkt integral av irreducerbara enhetsrepresentationer. (Sönderdelningen är väsentligen unik om G är av typ I , vilket inkluderar de viktigaste exemplen som abelska grupper och halvenkla Lie-grupper .) Ett grundläggande exempel är Fouriertransform , som bryter ned verkan av additivgruppen $} }$ L ² ( ${\displaystyle \mathbb {R} } )$ R på Hilbertutrymmet som en direkt integral av de irreducerbara enhetsrepresentationerna av $\mathbb {R}$ . De irreducerbara enhetsrepresentationerna av $\mathbb {R}$ är alla 1-dimensionella, av formen x ↦ e ^{2π iax} för en ∈ $\mathbb {R}$ .

De irreducerbara enhetliga representationerna av en lokalt kompakt grupp kan vara oändligt dimensionella. Ett viktigt mål för representationsteorin, relaterat till Langlands-klassificeringen av tillåtna representationer , är att hitta den enhetliga dualen (utrymmet för alla irreducerbara enhetsrepresentationer) för de semisimpla Lie-grupperna. Den enhetliga dualen är känd i många fall som SL(2, $\mathbb {R}$ ) , men inte alla.

För en lokalt kompakt abelsk grupp G har varje irreducerbar enhetsrepresentation dimension 1. I detta fall är den enhetliga dubbla ${\hat {G}}$ en grupp, i själva verket en annan lokalt kompakt abelsk grupp. Pontryagin-dualiteten säger att för en lokalt kompakt abelsk grupp G är dualen av ${\hat {G}}$ den ursprungliga gruppen G . Till exempel är den dubbla gruppen av heltalen $\mathbb {Z}$ cirkelgruppen S ¹ , medan gruppen $\mathbb {R}$ av reella tal är isomorf till sin egen dual.

Varje lokalt kompakt grupp G har ett bra utbud av irreducerbara enhetsrepresentationer; till exempel tillräckligt med representationer för att särskilja punkterna i G (Gelfand –Raikov-satsen) . Däremot har representationsteori för topologiska grupper som inte är lokalt kompakta hittills utvecklats endast i speciella situationer, och det kanske inte är rimligt att förvänta sig en generell teori. Till exempel finns det många abelska Banach-Lie-grupper för vilka varje representation på Hilbert-rymden är trivial.

Homotopi teori för topologiska grupper

Topologiska grupper är speciella bland alla topologiska utrymmen, även när det gäller deras homotopityp . En grundläggande poäng är att en topologisk grupp G bestämmer ett vägkopplat topologiskt rum, klassificeringsutrymmet BG (som klassificerar huvudsakliga G -buntar över topologiska rum, under milda hypoteser). Gruppen G är isomorf i kategorin homotopi till slingutrymmet för BG ; som innebär olika restriktioner för homotopitypen av G . Vissa av dessa begränsningar gäller i det bredare sammanhanget av H-utrymmen .

Till exempel är den fundamentala gruppen i en topologisk grupp G abelisk. (Mer generellt är Whitehead-produkten på homotopigrupperna hos G noll.) För vilket fält k som helst, har kohomologiringen H *( G , k ) också strukturen av en Hopf - algebra . Med tanke på struktursatser om Hopf-algebror av Heinz Hopf och Armand Borel , sätter detta starka restriktioner på de möjliga kohomologiringarna för topologiska grupper. I synnerhet, om G är en vägbunden topologisk grupp vars rationella kohomologiring H *( G , $\mathbb {Q}$ ) är ändlig dimensionell i varje grad, då måste denna ring vara en fri graderad kommutativ algebra över $\mathbb {Q}$ , det vill säga tensorprodukten av en polynomring på generatorer av jämn grad med en yttre algebra på generatorer av udda grad.

Speciellt för en sammankopplad Lie-grupp G är den rationella kohomologiringen av G en yttre algebra på generatorer av udda grad. Dessutom har en sammankopplad Lie-grupp G en maximal kompakt undergrupp K , som är unik upp till konjugering, och inkluderingen av K i G är en homotopi-ekvivalens . Så att beskriva homotopityperna av Lie-grupper reduceras till fallet med kompakta Lie-grupper. Till exempel, den maximala kompakta undergruppen av SL(2, $\mathbb {R}$ ) är cirkelgruppen SO(2) , och det homogena rummet SL(2, $\mathbb {R}$ )/SO(2) kan identifieras med det hyperboliska planet . Eftersom det hyperboliska planet är sammandragbart , är inkluderingen av cirkelgruppen i SL(2, ${\displaystyle \mathbb {R} } )$ en homotopiekvivalens.

Slutligen har kompakta anslutna Lie-grupper klassificerats av Wilhelm Killing , Élie Cartan och Hermann Weyl . Som ett resultat finns det en väsentligen fullständig beskrivning av de möjliga homotopityperna av Lie-grupper. Till exempel är en kompakt sammankopplad Lie-grupp med dimensionen högst 3 antingen en torus, gruppen SU(2) ( diffeomorf till 3-sfären S ³ ), eller dess kvotgrupp SU(2)/{±1} ≅ SO (3) (diffeomorf till RP3 ^. )

Komplett topologisk grupp

Se även: Komplett enhetligt utrymme

Information om konvergens av nät och filter, såsom definitioner och egenskaper, finns i artikeln om filter i topologi .

Kanonisk enhetlighet på en kommutativ topologisk grupp

Huvudartikel: Uniform space

Den här artikeln kommer hädanefter att anta att varje topologisk grupp som vi anser är en additiv kommutativ topologisk grupp med identitetselement 0. {\ $0.}$

Diagonalen för $\displaystyle X}$ { är uppsättningen

$$\Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}$$

och för alla $N\subseteq X$ som innehåller ${\displaystyle 0,} är$ den kanoniska entourage eller kanoniska omgivningar runt $N$ uppsättningen

$$\Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:xy\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N) \times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})$$

För en topologisk grupp $(X,\tau ),$ är den kanoniska likformigheten på ${\displaystyle X} den$ enhetliga strukturen inducerad av mängden av alla kanoniska entourages $\Delta (N)$ som $N$ sträcker sig över alla områden av $0$ i $X.$

Det vill säga, det är stängningen uppåt av följande förfilter på $X\times X,$

$$\left\{\Delta (N):N{\text{ är en grannskap av }}0{\text{ i }}X\right\ }$$

där detta förfilter bildar vad som är känt som en bas av entourages av den kanoniska enhetligheten.

För en kommutativ additiv grupp $X,$ kallas ett fundamentalt system av entourages ${\displaystyle {\mathcal {B}}} en$ translationsinvariant enhetlighet om för varje $B\in {\mathcal {B}},$$(x,y)\in B$ om och endast om $(x+z,y+z)\in B$ för alla $x,y,z\in X.$ En enhetlighet ${\mathcal {B}}$ kallas translation-invariant om den har en bas av entourages som är translation-invariant.

• Den kanoniska enhetligheten på varje kommutativ topologisk grupp är translationsinvariant.
• Samma kanoniska enhetlighet skulle resultera genom att använda en grannskapsbas för ursprunget snarare filtret för alla stadsdelar av ursprunget.
• Varje entourage $\Delta _{X}(N)$ innehåller diagonalen $\Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}$ eftersom $0\in N.$
• Om $N$ är symmetrisk (det vill säga $-N=N$ ) så är $\Delta _{X}(N)$ symmetrisk (vilket betyder att ${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatörsnamn {op} }=\Delta _{X}(N)} )$ och $\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ det finns }}y\i X{\text{ så att }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N) .$
• Topologin som induceras på $X$ av den kanoniska enhetligheten är densamma som topologin som $X$ började med (det vill säga den är $\tau$ ).

Cauchy förfilter och nät

Huvudartiklar: Filter i topologi och nät (matematik)

Den allmänna teorin om enhetliga utrymmen har sin egen definition av ett "Cauchy-förfilter" och "Cauchy-nät". För den kanoniska enhetligheten på $X,$ reduceras dessa ned till definitionen som beskrivs nedan.

Antag att ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}} är$ ett nät i $X$ och ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}} är$ ett nät i $Y.$ Gör $I\times J$ till en riktad uppsättning genom att deklarera $(i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)$ om och endast om $i\leq i_{2}{\text{ och }}j\leq j_{2}.$ Sedan $x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ anger produkten netto . Om $X=Y$ så anger bilden av detta nät under additionskartan $X\times X\to X$ summan av dessa två nät:

$$x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j }\right)_{(i,j)\in I\times J}$$

och på liknande sätt definieras deras skillnad som bilden av produktnätet under subtraktionskartan:

$$x_{\bullet }-y_{\bullet}:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.$$

A netto $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ i en additiv topologisk grupp $X$ kallas ett Cauchy-nät if

$$\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I }\till 0{\text{ i }}X$$

eller motsvarande, om det för varje område $N$ av $0$ i $X,$ finns några $i_{0}\in I$ så att $x_{i}-x_{j}\in N$ för alla index $i,j\geq i_{0}.$

En Cauchy-sekvens är ett Cauchy-nät som är en sekvens.

Om $B$ är en delmängd av en additiv grupp $X$ och $N$ är en uppsättning som innehåller , $\displaystyle 0,}$ så sägs ${\displaystyle B} vara en$$N$ -liten mängd eller liten ordning $N$ om $BB\subseteq N.$

Ett förfilter ${\mathcal {B}}$ på en additiv topologisk grupp $X$ kallas ett Cauchy-förfilter om det uppfyller något av följande ekvivalenta villkor:

1. ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0$ i $X,$ där ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{BC:B,C\in {\mathcal {B}}\}} är ett förfilter$ .
2. $\{BB:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0$ i $X,$ där $\{BB:B\in {\mathcal {B}}\}$ är ett förfilter som motsvarar ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.$
3. För varje stadsdel $N$ av $0$ i $X,$${\mathcal {B}}$ någon $\displaystyle N}$ -liten uppsättning (det vill säga , det finns några $B\in {\mathcal {B}}$ så att $BB\subseteq N$ ).

och om $X$ är kommutativ då också:

4. För varje stadsdel $N$ av $0$ i $X,$ finns det några $B\in {\mathcal {B}}$ och några ${ \displaystyle x\in X}$ så att $B\subseteq x+N.$

• Det räcker att kontrollera något av ovanstående villkor för en given grannskapsbas för $0$ i $X.$

Antag att ${\mathcal {B}}$ är ett förfilter på en kommutativ topologisk grupp $X$ och $x\in X.$ Sedan ${\mathcal {B}}\to x$ i $X$ om och endast om $x\in \ operatornamn {cl} {\mathcal {B}}$ och ${\mathcal {B}}$ är Cauchy.

Komplett kommutativ topologisk grupp

Huvudartikel: Komplett enhetligt utrymme

Kom ihåg att för alla $S\subseteq X,$ är ett förfilter ${\mathcal {C}}$ på $S$ nödvändigtvis en delmängd av $\wp (S)$ ; det ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).$

En delmängd $S$ av en topologisk grupp $X$ kallas en komplett delmängd om den uppfyller något av följande ekvivalenta villkor:

1. Varje Cauchy-förfilter ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)$ på $S$ konvergerar till minst en punkt av $S.$
   • Om $X$ är Hausdorff så kommer varje förfilter på $S$ att konvergera till högst en punkt av $X.$ Men om $X$ är inte Hausdorff så kan ett förfilter konvergera till flera punkter i $X.$ Detsamma gäller för nät.
2. Varje Cauchy-nät i $S$ konvergerar till minst en punkt av $S$ ;
3. Varje Cauchy-filter ${\mathcal {C}}$ på $S$ konvergerar till minst en punkt av $S.$
4. $S$ är ett fullständigt enhetligt utrymme (under punktuppsättningens topologidefinition av " komplett enhetligt utrymme ") när $S$ är försett med den enhetlighet som induceras på den av den kanoniska enhetligheten för $X$ ;

En delmängd $S$ kallas en sekventiellt komplett delmängd om varje Cauchy-sekvens i $S$ (eller motsvarande, varje elementärt Cauchy-filter/förfilter på $S$ ) konvergerar till minst en punkt av $S.$

• Viktigt är att konvergens utanför $S$ tillåts : Om $X$ inte är Hausdorff och om varje Cauchy-förfilter på $S$ konvergerar till någon punkt av $S,$ då $S$ kommer att vara komplett även om några eller alla Cauchy-förfilter på $S$ också konvergerar till punkt(er) i komplementet $X\setminus S.$ Kort sagt, det finns inget krav på att dessa Cauchy-förfilter på $S$ endast konvergerar till punkter i $S.$ Detsamma kan sägas om konvergensen av Cauchy-nät i $S.$
  • Som en konsekvens, om en kommutativ topologisk grupp $X$ inte är Hausdorff , då säger varje delmängd av stängningen av $\{0\},$$S\subseteq \operatörsnamn {cl} \{0\},$ är komplett (eftersom den är tydligt kompakt och varje kompakt uppsättning nödvändigtvis är komplett). Så i synnerhet, om $S\neq \varnothing$ (till exempel om $S$ a är singleton set som $S=\{0\}$ ) då skulle $S$ vara komplett även om varje Cauchy-nät i $S$ (och varje Cauchy-förfilter på $S$ ), konvergerar till varje punkt i $\operatorname {cl} \{0\}$ (inkludera dessa punkter i $\operatorname {cl} \{0\}$ som inte finns i $S$ ).
  • Det här exemplet visar också att kompletta delmängder (till och med kompakta delmängder) av ett icke-Hausdorff-utrymme kanske inte kan stängas (till exempel om $\varnothing \neq S\subseteq \operatornamn {cl} \{0\}$ så stängs ${\displaystyle S} om och endast om$${\displaystyle S=\operatörsnamn {cl} \{0\}} )$ .

En kommutativ topologisk grupp $X$ kallas en komplett grupp om något av följande ekvivalenta villkor gäller:

1. $X$ är komplett som en delmängd av sig själv.
2. Varje Cauchy-nät i $X$ konvergerar till minst en punkt i $X.$
3. Det finns ett område av $0$ i $X$ som också är en komplett delmängd av $X.$
   • Detta innebär att varje lokalt kompakt kommutativ topologisk grupp är komplett.
4. $X$ har sin kanoniska enhetlighet blir det ett fullständigt enhetligt utrymme .
   • I den allmänna teorin om likformiga utrymmen kallas ett likformigt utrymme ett fullständigt likformigt utrymme om varje Cauchy- filter i $X$ konvergerar i $(X,\tau )$ till någon punkt av $X.$

En topologisk grupp kallas sekventiellt komplett om den är en sekventiellt komplett delmängd av sig själv.

Grannskapsbas : Antag att $C$ är en komplettering av en kommutativ topologisk grupp $X$ med $X\subseteq C$ och att ${\mathcal {N}}$ är en grannskapsbas med ursprung i $X.$ Sedan familjen av uppsättningar

$$\left\{\operatörsnamn {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}$$

är en grannskapsbas vid ursprunget i $C.$

Enhetlig kontinuitet

Låt $X$ och $Y$ vara topologiska grupper, $D\subseteq X,$ och $f:D\to Y$ vara en karta . Då är $f:D\to Y$ enhetligt kontinuerlig om för varje grannskap $U$ av ursprunget i $X,$ det finns en grannskap $V$ av ursprunget i $Y$ så att för alla $x,y\in D,$ om $yx\in U$ sedan $f(y)-f(x)\in V.$

Generaliseringar

Olika generaliseringar av topologiska grupper kan erhållas genom att försvaga kontinuitetsvillkoren:

• En semitopologisk grupp är en grupp G med en topologi sådan att för varje c ∈ G är de två funktionerna G → G definierade av x ↦ xc och x ↦ cx kontinuerliga.
• En kvasitopologisk grupp är en semitopologisk grupp där funktionen som kartlägger element till deras inverser också är kontinuerlig.
• En paratopologisk grupp är en grupp med en topologi så att gruppoperationen är kontinuerlig.

Se även

• Algebraisk grupp – Algebraisk variant med gruppstruktur
• Komplett fält – Algebraisk struktur som är komplett i förhållande till ett mätvärde Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Kompakt grupp – Topologisk grupp med kompakt topologi
• Komplett topologisk vektorrymd – en TVS där punkter som kommer gradvis närmare varandra alltid kommer att konvergera till en punkt
• Lie group – Grupp som också är ett differentierbart grenrör med gruppverksamhet som är smidig
• Lokalt kompakt fält
• Lokalt kompakt grupp – topologisk grupp G för vilken den underliggande topologin är lokalt kompakt och Hausdorff, så att Haar-måttet kan definieras Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Lokalt kompakt kvantgrupp – relativt ny C*-algebraisk metod för kvantgrupper Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Profinit grupp – topologisk grupp som är isomorf till den inversa (projektiva) gränsen för ett inverst system av diskreta finita grupper Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Ordnat topologiskt vektorutrymme
• Topologisk abelsk grupp – begrepp i matematik Sidor som visar wikidatabeskrivningar som en reserv
• Topologiskt fält – Algebraisk struktur med addition, multiplikation och division Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Topologisk modul
• Topologisk ring – ring där ringoperationer är kontinuerliga Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Topologisk semigrupp – semigrupp med kontinuerlig drift Sidor som visar wikidatabeskrivningar som reserv
• Topologiskt vektorrum – Vektorrum med en föreställning om närhet

Citat

•    Arhangel'skii, Alexander ; Tkachenko, Mikhail (2008). Topologiska grupper och relaterade strukturer . World Scientific . ISBN 978-90-78677-06-2 . MR 2433295 .
•    Armstrong, Mark A. (1997). Basic Topology (1:a upplagan). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90839-0 . MR 0705632 .
•    Banaszczyk, Wojciech (1983), "On the existence of exotic Banach–Lie-grupper" , Mathematische Annalen , 264 (4): 485–493, doi : 10.1007/BF01456956 , MR 0716262 , S1975ID 11975ID
•    Bourbaki, Nicolas (1998), Allmän topologi. Kapitel 1–4 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-64241-2 , MR 1726779
•   Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis , CRC Press , ISBN 0-8493-8490-7
•    Bredon, Glen E. (1997). Topologi och geometri . Graduate Texts in Mathematics (1:a uppl.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97926-3 . MR 1700700 .
•    Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0 , MR 1867354
•    Edwards, Robert E. (1995). Funktionsanalys: teori och tillämpningar . New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6 . OCLC 30593138 .
•    Hewitt, Edwin ; Ross, Kenneth A. (1979), Abstract Harmonic Analysis , vol. 1 (andra upplagan), Springer-Verlag , ISBN 978-0387941905 , MR 0551496
•    Hewitt, Edwin ; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract Harmonic Analysis , vol. 2, Springer-Verlag , ISBN 978-0387048321 , MR 0262773
•    Mackey, George W. (1976), The Theory of Unitary Group Representations , University of Chicago Press , ISBN 0-226-50051-9 , MR 0396826
•   Montgomery, Deane ; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups , New York, London: Interscience Publishers , MR 0073104
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
• Pontrjagin, Leon (1946). Topologiska grupper . Princeton University Press .
•    Pontryagin, Lev S. (1986). Topologiska grupper . trans. från ryska av Arlen Brown och PSV Naidu (3:e uppl.). New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-133-6 . MR 0201557 .
•    Porteous, Ian R. (1981). Topological Geometry (2:a uppl.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-23160-4 . MR 0606198 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .