Anslutet utrymme

För annan användning, se Anslutning (disambiguation) .

Anslutna och frånkopplade delrum av R ²

Uppifrån och ned: rött utrymme A , rosa utrymme B , gult utrymme C och orange utrymme D är alla sammankopplade utrymmen , medan grönt utrymme E (gjord av delmängder E ₁ , E ₂ , E ₃ , och E ₄ ) är frånkopplat . Dessutom A och B också helt enkelt sammankopplade ( släkte 0), medan C och D inte är: C har släkte 1 och D har släkte 4.

Inom topologi och relaterade grenar av matematik är ett anslutet utrymme ett topologiskt utrymme som inte kan representeras som föreningen av två eller flera disjunkta icke-tomma öppna delmängder . Anknytning är en av de främsta topologiska egenskaperna som används för att särskilja topologiska rum.

En delmängd av ett topologiskt utrymme $X$ är en ansluten mängd om det är ett anslutet utrymme när det ses som ett delrum av $X$ .

Vissa relaterade men starkare villkor är sökvägsanslutna , enkelt anslutna , och $n$ -anslutna . Ett annat relaterat begrepp är lokalt kopplat , vilket varken antyder eller följer av samband.

Formell definition

Ett topologiskt utrymme $X$ sägs vara frånkopplat om det är föreningen av två disjunkta icke-tomma öppna uppsättningar. Annars $X$ vara ansluten . En delmängd av ett topologiskt utrymme sägs vara anslutet om det är anslutet under dess underrumstopologi. Vissa författare utesluter den tomma uppsättningen (med dess unika topologi) som ett anslutet utrymme, men den här artikeln följer inte den praxisen.

För ett topologiskt utrymme $X$ är följande villkor likvärdiga:

1. $X$ är ansluten, det vill säga den kan inte delas upp i två disjunkta icke-tomma öppna uppsättningar.
2. De enda delmängderna av $X$ som är både öppna och stängda ( clopen sets ) är $X$ och den tomma uppsättningen.
3. De enda delmängderna av $X$ med tom gräns är $X$ och den tomma mängden.
4. $X$ kan inte skrivas som föreningen av två icke-tomma separerade uppsättningar (uppsättningar för vilka var och en är osammanhängande från den andras stängning).
5. Alla kontinuerliga funktioner från $X$ till $\{0,1\}$ är konstanta, där $\{0,1\}$ är tvåpunkten utrymme försett med den diskreta topologin.

Historiskt sett uppträdde denna moderna formulering av begreppet anknytning (i termer av ingen uppdelning av $X$ i två separerade uppsättningar) först (oberoende) med NJ Lennes, Frigyes Riesz och Felix Hausdorff i början av 1900-talet. Se för detaljer.

Anslutna komponenter

Givet någon punkt $x$ i ett topologiskt utrymme ${\displaystyle X,} kommer$ föreningen av en samling av anslutna delmängder så att var och en innehåller $x$ återigen vara en ansluten delmängd. Den anslutna komponenten av en punkt $x$ i $X$ är föreningen av alla anslutna delmängder av $X$ som innehåller $x;$ det är den unika största (med avseende på $\subseteq$ ) anslutna delmängd av $X$ som innehåller $x.$ De maximala anslutna delmängderna (ordnade efter inkludering $\subseteq$ ) av ett icke-tomt topologiskt utrymme kallas de anslutna komponenterna i rummet. Komponenterna i ett topologiskt utrymme $X$ bildar en partition av $X$ : de är disjunkta , icke-tomma och deras förening är hela utrymmet. Varje komponent är en sluten delmängd av det ursprungliga utrymmet. Det följer att, i det fall där deras antal är ändligt, är varje komponent också en öppen delmängd. Men om deras antal är oändligt kanske detta inte är fallet; till exempel är de anslutna komponenterna i uppsättningen av de rationella talen enpunktsuppsättningarna ( singlar ), som inte är öppna. Bevis: Alla två distinkta rationella tal $q_{1}<q_{2}$ finns i olika komponenter. Ta ett irrationellt tal $q_{1}<r<q_{2},$ och ställ sedan in $A=\{q \in \mathbb {Q} :q<r\}$ och $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ Då $(A,B)$ är en separation av $\mathbb { Q} ,$ och $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ . Således är varje komponent en enpunktsuppsättning.

Låt $\Gamma _{x}$ vara den anslutna komponenten av $x$ i ett topologiskt utrymme $X,$ och $\Gamma _{x}'$ vara skärningspunkten för alla clopen -mängder som innehåller $x$ (kallas kvasi-komponent av $x.$ ) Sedan $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ där likheten gäller om $X$ är kompakt Hausdorff eller lokalt ansluten.

Frånkopplade utrymmen

Ett utrymme där alla komponenter är enpunktsuppsättningar kallas totalt frånkopplat . Relaterat till den här egenskapen kallas ett blanksteg $X$ helt separerat om det för två distinkta element $x$ och $y$ av $X$ finns disjunkta öppna uppsättningar $U$ som innehåller $x$ och $V$ som innehåller $y$ så att $X$ är föreningen av $U$ och $V$ . Uppenbarligen är alla totalt separerade utrymmen helt frånkopplade, men det omvända håller inte. Ta till exempel två kopior av de rationella talen $\mathbb {Q}$ , och identifiera dem vid varje punkt utom noll. Det resulterande utrymmet, med kvottopologin , är helt frånkopplat. Men genom att betrakta de två kopiorna av noll ser man att utrymmet inte är helt separerat. I själva verket är det inte ens Hausdorff , och villkoret att vara totalt separerad är strikt starkare än villkoret att vara Hausdorff.

Exempel

• Det slutna intervallet $[0,2)$ i standardsubrymdstopologin är anslutet ; även om det till exempel kan skrivas som föreningen av $[0,1)$ och $[1,2),$ är den andra uppsättningen inte öppen i den valda topologin för $[0,2).$
• Unionen av $[0,1)$ och $(1,2]$ är frånkopplad; båda dessa intervall är öppna i det topologiska standardutrymmet $[0,1)\cup (1,2].$
• $(0,1)\cup \{3\}$ är frånkopplad.
• En konvex delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ är ansluten; det är faktiskt helt enkelt kopplat .
• Ett euklidiskt plan exklusive origo, $(0,0),$ är anslutet, men är inte bara anslutet. Det tredimensionella euklidiska rummet utan ursprung är sammankopplat, och till och med helt enkelt sammankopplat. Däremot är det endimensionella euklidiska rummet utan ursprung inte kopplat.
• Ett euklidiskt plan med en rät linje borttagen är inte sammankopplad eftersom det består av två halvplan.
• $\mathbb {R}$ , rymden av reella tal med den vanliga topologin, är ansluten.
• Sorgenfrey -linjen är frånkopplad.
• Om även en enda punkt tas bort från ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ kopplas resten bort. Men om även en räknebar oändlighet av punkter tas bort från $\mathbb {R} ^{n}$ , där $n\geq 2,$ är resten ansluten. Om $n\geq 3$ , så förblir $\mathbb {R} ^{n}$ helt enkelt ansluten efter borttagning av oräkneligt många punkter.
• Vilket topologiskt vektorrum som helst, t.ex. ett Hilbert-rum eller Banach-utrymme , över ett anslutet fält (som $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$ ), kopplas helt enkelt.
• Varje diskret topologiskt utrymme med minst två element är frånkopplat, i själva verket är ett sådant utrymme totalt frånkopplat . Det enklaste exemplet är det diskreta tvåpunktsutrymmet .
• Å andra sidan kan en finit uppsättning vara ansluten. Till exempel består spektrumet av en diskret värderingsring av två punkter och är sammankopplad. Det är ett exempel på ett Sierpiński-utrymme .
• Cantor -setet är helt frånkopplat; eftersom uppsättningen innehåller oräkneligt många punkter, har den oräkneligt många komponenter.
• Om ett mellanslag $X$ är homotopi ekvivalent med ett anslutet utrymme, så är $X$ själv ansluten.
• Topologens sinuskurva är ett exempel på en mängd som är sammankopplad men varken är vägbunden eller lokalt sammankopplad.
• Den allmänna linjära gruppen $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ (det vill säga gruppen av $n$ -by- $n$ verkliga, inverterbara matriser) består av två sammankopplade komponenter: den ena med matriser med positiv determinant och den andra med negativ determinant. I synnerhet är det inte kopplat. Däremot $\operatörsnamn {GL} (n,\mathbb {C} )$ ansluten. Mer generellt är uppsättningen av inverterbara avgränsade operatorer på ett komplext Hilbert-utrymme sammankopplat.
• Spektra för kommutativa lokala ring- och integraldomäner är sammankopplade. Mer generellt är följande likvärdiga
  1. Spektrum för en kommutativ ring $\mathbb {R}$ är ansluten
  2. Varje ändligt genererad projektiv modul över $\mathbb {R}$ har konstant rang.
  3. $\mathbb {R}$ har ingen idempotent $\neq 0,1$ (dvs $\mathbb {R}$ är inte en produkt av två ringar på ett icke-trivialt sätt) .

Ett exempel på ett utrymme som inte är anslutet är ett plan med en oändlig linje borttagen från det. Andra exempel på frånkopplade utrymmen (det vill säga utrymmen som inte är anslutna) inkluderar planet med en annulus avlägsnad, såväl som föreningen av två disjunkta slutna skivor , där alla exempel i detta stycke bär subrymdstopologin inducerad av tvådimensionell euklidisk Plats.

Banförbindelse

Detta delrum av R ² är bananslutet, eftersom en bana kan ritas mellan vilka två punkter som helst i rummet.

Ett vägkopplat utrymme är en starkare föreställning om anknytning, som kräver strukturen hos en väg. En väg från en punkt $x$ till en punkt $y$ i ett topologiskt utrymme $X}$${\ displaystyle [0,1]}$ är en kontinuerlig funktion $f$ från enhetsintervallet till $X$ med $f(0)=x$ och $f(1)=y$ . En sökvägskomponent av $X$ är en ekvivalensklass av $X$ under ekvivalensrelationen som gör $x$ ekvivalent med $y$ om det finns en sökväg från ${ \displaystyle x}$ till $y$ . Mellanrummet $X$ sägs vara väganslutet (eller vägmässigt kopplat eller $\mathbf {0}$ -anslutet ) om det finns exakt en vägkomponent, dvs om det finns en väg som förenar två punkter i $X$ . Återigen, många författare utesluter det tomma utrymmet (med den här definitionen är dock det tomma utrymmet inte väganslutet eftersom det har noll vägkomponenter; det finns en unik ekvivalensrelation på den tomma mängden som har nollekvivalensklasser).

Varje vägkopplat utrymme är anslutet. Det omvända är inte alltid sant: exempel på sammankopplade utrymmen som inte är väganslutna inkluderar den förlängda långa linjen $L^{*}$ och topologens sinuskurva .

Delmängder av den reella linjen $\mathbb {R}$ är anslutna om och endast om de är väganslutna; dessa delmängder är intervallen för $\mathbb {R}$ . Också öppna delmängder av $\mathbb {R} ^{n}$ eller $\mathbb {C} ^{n}$ är anslutna om och endast om de är sökvägsanslutna. Dessutom är koppling och koppling till väg desamma för ändliga topologiska utrymmen .

Bågförbindelse

Ett mellanslag $X$ sägs vara båganslutet eller bågförbundet om två topologiskt urskiljbara punkter kan förenas med en båge , som är en inbäddning $f:[0 ,1]\till X$ . En bågkomponent av $X$ är en maximal bågansluten delmängd av $X$ ; eller motsvarande en ekvivalensklass för ekvivalensrelationen av huruvida två punkter kan förenas med en båge eller av en väg vars punkter är topologiskt omöjliga att särskilja.

Varje Hausdorff-utrymme som är väganslutet är också bågförbundet; mer generellt gäller detta för ett $\Delta$ -Hausdorff space , som är ett utrymme där varje bild av en bana är stängd. Ett exempel på ett utrymme som är väganslutet men inte bågförbundet ges av linjen med två ursprung ; dess två kopior av $0$ kan kopplas samman med en sökväg men inte med en båge.

Intuition för bananslutna utrymmen överförs inte lätt till båganslutna utrymmen. Låt $X$ vara linjen med två ursprung . Följande är fakta vars analoger gäller för väganslutna utrymmen, men inte gäller för båganslutna utrymmen:

• Kontinuerlig bild av båganslutet utrymme kanske inte är bågförbundet: till exempel kan en kvotmapp från ett båganslutet utrymme till dess kvot med otaliga många (minst 2) topologiskt urskiljbara punkter inte bågkopplas på grund av för liten kardinalitet .
• Bågkomponenter får inte vara disjunkta. Till exempel $X$ två överlappande bågkomponenter.
• Båganslutna produktutrymmen får inte vara en produkt av båganslutna utrymmen. Till exempel $X\times \mathbb {R}$ bågansluten, men $X$ är det inte.
• Bågkomponenter av ett produktutrymme får inte vara produkter av bågkomponenter av marginalutrymmen. Till exempel $X\times \mathbb {R}$ en enda bågkomponent, men $X$ har två bågkomponenter.
• Om båganslutna delmängder har en icke-tom korsning, kanske deras förening inte är bågansluten. Till exempel skär bågkomponenterna i $X$ , men deras förening är inte bågansluten.

Lokal anknytning

Huvudartikel: Lokalt anslutet utrymme

Ett topologiskt utrymme sägs vara lokalt anslutet vid en punkt $x$ om varje grannskap av $x$ innehåller ett anslutet öppet grannskap. Den är lokalt ansluten om den har en bas av anslutna uppsättningar. Det kan visas att ett mellanslag $X$ är lokalt anslutet om och endast om varje komponent i varje öppen uppsättning av $X$ är öppen.

På liknande sätt sägs ett topologiskt utrymme vara lokalt väganslutet om det har en bas av väganslutna uppsättningar. En öppen delmängd av ett lokalt väganslutet utrymme är anslutet om och endast om det är sökvägsanslutet. Detta generaliserar det tidigare påståendet om $\mathbb {R} ^{n}$ och ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ,$ som var och en är lokalt vägkopplad. Mer generellt är vilket topologiskt grenrör som helst lokalt vägkopplat.

Topologens sinuskurva är ansluten, men den är inte lokalt ansluten

Lokalt ansluten innebär inte ansluten, inte heller lokalt väg-ansluten innebär väg ansluten. Ett enkelt exempel på ett lokalt anslutet (och lokalt sökvägsanslutet) utrymme som inte är anslutet (eller sökvägsanslutet) är föreningen av två separerade intervall i $\mathbb {R} } ,$$(0,1)\cup (2,3)$ såsom .

Ett klassiskt exempel på ett sammankopplat utrymme som inte är lokalt kopplat är den så kallade topologens sinuskurva , definierad som ${ \displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in ( 0,1]\right\}}$ , med den euklidiska topologin inducerad av inkludering i $\mathbb {R} ^{2}$ .

Ställ in operationer

Exempel på fackföreningar och korsningar av anslutna uppsättningar

Skärningen av anslutna uppsättningar är inte nödvändigtvis ansluten .

Unionen av anslutna uppsättningar är inte nödvändigtvis sammankopplade, vilket kan ses genom att betrakta $=(0,1)\cup (1,2)}$ X .

Varje ellips är en ansluten uppsättning, men föreningen är inte ansluten, eftersom den kan delas upp i två disjunkta öppna uppsättningar $U$ och $V$ .

Detta betyder att, om föreningen $X$ är frånkopplad, då kan samlingen $\{X_{i}\}$ delas upp i två undersamlingar, så att föreningarna av undersamlingar är osammanhängande och öppna i $X$ (se bild). Detta innebär att i flera fall är en förening av sammankopplade uppsättningar nödvändigtvis sammankopplade. Särskilt:

1. Om den gemensamma skärningspunkten för alla uppsättningar inte är tom ( ${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$ ), så kan de uppenbarligen inte delas upp i samlingar med disjunkta fackföreningar . Därför är föreningen av anslutna uppsättningar med icke-tom skärningspunkt ansluten.
2. Om skärningspunkten för varje par av uppsättningar inte är tom ( $\forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$ ) återigen kan de inte delas upp i samlingar med osammanhängande fackföreningar, så deras fackförening måste anslutas.
3. Om uppsättningarna kan beställas som en "länkad kedja", dvs indexeras med heltalsindex och $\forall i:X_{i}\cap X_{i+1} \neq \emptyset$ , sedan måste deras förening återigen anslutas.
4. Om uppsättningarna är parvis disjunkta och kvotutrymmet $X/\{X_{i}\}$ är anslutet, måste X vara anslutet. Annars, om $U\cup V$ är en separation av X så är $q(U)\cup q(V)$ en separation av kvotutrymmet (eftersom $q(U),q(V)$ är disjunkta och öppna i kvotutrymmet).

Uppsättningsskillnaden för anslutna uppsättningar är inte nödvändigtvis kopplad . Men om $X\supseteq Y$ och deras skillnad $X\setminus Y$ kopplas bort (och därmed kan skrivas som en förening av två öppna uppsättningar $X_{ 1}$ och ${\displaystyle X_{2}} ), så$ ansluts föreningen av ${\displaystyle Y} med varje sådan komponent (dvs.$$Y\cup X_{i}$ är ansluten för alla $i$ ).

Bevis

Tvärtemot, anta att $Y\cup X_{1}$ inte är ansluten. Så det kan skrivas som föreningen av två disjunkta öppna mängder, t.ex. $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$ . Eftersom $Y$ är ansluten måste den helt och hållet ingå i en av dessa komponenter, säg ${\displaystyle Z_{1}} ,$ och därför ingår ${\displaystyle Z_{2}} i$$X_{1}$ . Nu vet vi att:

$$X=\left(Y\cup X_ {1}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup Z_{2}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup X_{2}\ höger)\kopp \left(Z_{2}\cap X_{1}\right)$$

De två uppsättningarna i den sista unionen är disjunkta och öppna i $X$ , så det finns en separation av ${\displaystyle X} ,$ vilket motsäger det faktum att $X$ är ansluten.

Två anslutna set vars skillnad inte är ansluten

Satser

• Huvudsats om koppling : Låt $X$ och $Y$ vara topologiska rum och låt $f:X\rightarrow Y$ vara en kontinuerlig funktion. Om $X$ är (sökväg-)ansluten så är bilden $f(X)$ (sökväg-)ansluten. Detta resultat kan betraktas som en generalisering av mellanvärdessatsen .
• Varje vägkopplat utrymme är anslutet.
• Varje lokalt väganslutet utrymme är lokalt anslutet.
• Ett lokalt väganslutet utrymme är väganslutet om och endast om det är anslutet.
• Stängningen av en ansluten delmängd är ansluten . Dessutom är varje delmängd mellan en ansluten delmängd och dess stängning ansluten.
• De anslutna komponenterna är alltid stängda (men i allmänhet inte öppna)
• De anslutna komponenterna i ett lokalt anslutet utrymme är också öppna.
• De sammankopplade komponenterna i ett utrymme är osammanhängande föreningar av de väganslutna komponenterna (som i allmänhet varken är öppna eller slutna).
• Varje kvot av ett anslutet (resp. lokalt anslutet, väg-anslutet, lokalt väg-anslutet) utrymme är anslutet (resp. lokalt anslutet, väg-anslutet, lokalt väg-anslutet).
• Varje produkt av en familj av anslutna (resp. väg-anslutna) utrymmen är anslutna (resp. väg-anslutna).
• Varje öppen delmängd av ett lokalt anslutet (resp. lokalt väg-anslutet) utrymme är lokalt anslutet (resp. lokalt väg-anslutet).
• Varje grenrör är lokalt väganslutet.
• Bågmässigt anslutet utrymme är väganslutet, men banmässigt anslutet utrymme kanske inte är bågförbundet
• Kontinuerlig bild av bågvis ansluten uppsättning är bågvis ansluten.

Grafer

Grafer har vägkopplade delmängder, nämligen de delmängder för vilka varje par av punkter har en bana av kanter som förenar dem. Men det är inte alltid möjligt att hitta en topologi på uppsättningen av punkter som inducerar samma sammankopplade mängder. 5-cykelgrafen ( och alla $n$ -cykel med $n>3$ udda) är ett sådant exempel.

Som en konsekvens kan en föreställning om anknytning formuleras oberoende av topologin på ett utrymme. Det finns nämligen en kategori av anslutningsutrymmen som består av uppsättningar med samlingar av sammankopplade delmängder som uppfyller anslutningsaxiom; deras morfismer är de funktioner som mappar anslutna mängder till anslutna mängder ( Muscat & Buhagiar 2006) . Topologiska utrymmen och grafer är specialfall av sammanbindande utrymmen; faktiskt, de ändliga anslutningsutrymmena är just de ändliga graferna.

Varje graf kan dock kanoniskt göras till ett topologiskt utrymme, genom att behandla hörn som punkter och kanter som kopior av enhetsintervallet (se topologisk grafteori#Graphs as topological spaces ) . Då kan man visa att grafen är sammankopplad (i grafteoretisk mening) om och bara om den är sammankopplad som ett topologiskt rum.

Starkare former av anknytning

Det finns starkare former av anknytning för topologiska utrymmen , till exempel:

• Om det inte finns två disjunkta icke-tomma öppna uppsättningar i ett topologiskt utrymme $X$ , måste $X$ kopplas ihop, och därmed är hyperanslutna utrymmen också anslutna.
• Eftersom ett enkelt anslutet utrymme , per definition, också krävs för att vara väganslutet, är varje enkelt anslutet utrymme också anslutet. Om kravet på "väganslutenhet" tas bort från definitionen av enkel anslutning behöver inte ett enkelt anslutet utrymme anslutas.
• Men starkare versioner av anslutning inkluderar föreställningen om ett sammandragbart utrymme . Varje sammandragbart utrymme är vägförbundet och därmed också sammankopplat.

I allmänhet måste alla väganslutna utrymmen vara anslutna men det finns anslutna utrymmen som inte är väganslutna. Det borttagna kamutrymmet ger ett sådant exempel, liksom den ovan nämnda topologens sinuskurva .

Se även

• Ansluten komponent (grafteori) – Maximal subgraf vars hörn kan nå varandra Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Anslutningsställe
• Domän (matematisk analys) – Ansluten öppen delmängd av ett topologiskt utrymme
• Extremt frånkopplat utrymme – Topologiskt utrymme där stängningen av varje öppen uppsättning är öppen
• Lokalt sammanhängande utrymme – Egenskap för topologiska utrymmen
• n -ansluten
• Uniformt sammankopplat utrymme – Typ av enhetligt utrymme
• Pixel-anslutning

Vidare läsning

•   Munkres, James R. (2000). Topologi, andra upplagan . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .
• Weisstein, Eric W. "Connected Set" . MathWorld .
• VI Malykhin (2001) [1994], "Connected space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Anslutande utrymmen" (PDF) . Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc . 39 : 1–13. Arkiverad från originalet (PDF) 2016-03-04 . Hämtad 2010-05-17 . .