*-algebra

Inom matematiken , och mer specifikt inom abstrakt algebra , är en *-algebra (eller involutiv algebra ) en matematisk struktur som består av två involutiva ringar R och A , där R är kommutativ och A har strukturen som en associativ algebra över R. Involutiva algebror generaliserar idén om ett talsystem utrustat med konjugation, till exempel de komplexa talen och komplex konjugation , matriser över de komplexa talen och konjugat transponera , och linjära operatorer över ett Hilbert-utrymme och Hermitiska adjoints . Det kan dock hända att en algebra inte medger någon involution .

Definitioner

*-ringa

Inom matematiken är en *-ring en ring med en karta *: A → A som är en antiautomorfism och en involution .

Mer exakt krävs * för att uppfylla följande egenskaper:

• ( x + y )* = x * + y *
• ( x y )* = y * x *
• 1* = 1
• ( x *)* = x

för alla x , y i A .

Detta kallas också en involutiv ring , involutiv ring och ring med involution . Det tredje axiomet antyds av det andra och fjärde axiomet, vilket gör det överflödigt.

Element sådana att x * = x kallas självadjoint .

Arketypiska exempel på en *-ring är fält med komplexa tal och algebraiska tal med komplex konjugation som involution. Man kan definiera en sesquilinjär form över vilken *-ring som helst.

Man kan också definiera *-versioner av algebraiska objekt, såsom ideal och subring , med kravet att vara *- invariant : x ∈ I ⇒ x * ∈ I och så vidare.

Observera att *-ringar inte är relaterade till stjärnsemirings i beräkningsteorin.

*-algebra

En *-algebra A är en *-ring, med involution * som är en associativ algebra över en kommutativ *-ring R med involution ′ , så att   ( r x )* = r ′ x * ∀ r ∈ R , x ∈ A .

Basen *-ringen R är ofta de komplexa talen (där * fungerar som komplex konjugation).

Det följer av axiomen att * på A är konjugatlinjär i R , vilket betyder

    ( λ x + μ y )* = λ ′ x * + μ ′ y *

för λ , μ ∈ R , x , y ∈ A .

A *-homomorfism f : A → B är en algebrahomomorfism som är kompatibel med involutionerna av A och B , dvs.

• f ( a *) = f ( a )* för alla a i A .

Filosofi för *-driften

*-operationen på en *-ring är analog med komplex konjugering på de komplexa talen. *-operationen på en *-algebra är analog med att ta adjoints i komplexa matrisalgebror .

Notation

* Involutionen är en unär operation skriven med en efterfixerad stjärnglyph centrerad ovanför eller nära medellinjen :

x ↦ x * , eller

x ↦ x ^∗ ( TeX : x^* ),

men inte som " x ∗ "; se asteriskartikeln för detaljer.

Exempel

• Varje kommutativ ring blir en *-ring med den triviala ( identiska ) involutionen.
• Det mest välbekanta exemplet på en *-ring och en *-algebra över reella är fältet för komplexa tal C där * bara är komplex konjugation .
• Mer allmänt är en fältförlängning gjord genom adjunktion av en kvadratrot (som den imaginära enheten √ −1 ) en *-algebra över det ursprungliga fältet, betraktad som en trivialt-*-ring. * vänder tecknet för den kvadratroten.
• En kvadratisk heltalsring (för vissa D ) är en kommutativ *-ring med * definierad på liknande sätt; kvadratiska fält är *-algebror över lämpliga kvadratiska heltalsringar.
• Kvaternioner , delade komplexa tal , dubbla tal och möjligen andra hyperkomplexa talsystem bildar *-ringar (med sin inbyggda konjugationsoperation) och *-algebror över reella (där * är trivialt). Observera att ingen av de tre är en komplex algebra.
• Hurwitz quaternions bildar en icke-kommutativ *-ring med quaternion konjugationen.
• Matrisalgebra för n × n matriser över R med * som ges av transpositionen .
• Matrisalgebra för n × n matriser över C med * som ges av konjugattransponeringen .
• Dess generalisering, den hermitiska adjointen i algebra av avgränsade linjära operatorer på ett Hilbertrum definierar också en *-algebra.
• Polynomringen R [ x ] över en kommutativ trivialt-*-ring R är en *-algebra över R med P * ( x ) = P (− x ) .
• Om ( A , +, ×, *) samtidigt är en *-ring, en algebra över en ring R (kommutativ) och ( r x )* = r ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , så är A en *-algebra över R (där * är trivial).
  • Som ett delfall är vilken *-ring som helst en *-algebra över heltal .
• Varje kommutativ *-ring är en *-algebra över sig själv och, mer generellt, över vilken som helst av dess *-subring .
• För en kommutativ *-ring R är dess kvot med vilket *-ideal som helst en *-algebra över R .
  • Till exempel är varje kommutativ trivialt-*-ring en *-algebra över dess dubbla tal ring , en *-ring med icke-trivial *, eftersom kvoten med ε = 0 gör den ursprungliga ringen.
  • restores K Samma sak med en kommutativ ring K och dess polynomring K [ x ] : kvoten med x = 0 =
• I Hecke-algebra är en involution viktig för Kazhdan–Lusztig-polynomet .
• Endomorfismringen i en elliptisk kurva blir en *-algebra över heltalen, där involutionen ges genom att ta den dubbla isogenin . En liknande konstruktion fungerar för abelska sorter med en polarisering , i vilket fall den kallas Rosati-involutionen (se Milnes föreläsningsanteckningar om abelska sorter).

Involutiva Hopf-algebror är viktiga exempel på *-algebror (med tilläggsstrukturen av en kompatibel comultiplication ); det mest kända exemplet är:

• Gruppen Hopf-algebra : en gruppring , med involutionen given av g ↦ g ⁻¹ .

Icke-exempel

Inte varje algebra medger en involution:

Se 2×2- matriserna över de komplexa talen. Tänk på följande subalgebra:

$${\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a, b\in \mathbb {C} \right\}$$

All icke-trivial antiautomorfism har nödvändigtvis formen:

$$\varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}} \right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right] ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$$

för alla komplexa tal $z\in \mathbb {C}$ .

Det följer att all icke-trivial antiautomorfism inte är idempotent:

$$\varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right] ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$$

Slutsatsen att subalgebra inte medger någon involution.

Ytterligare strukturer

Många egenskaper hos transponeringen gäller för allmänna *-algebror:

• De hermitiska elementen bildar en Jordanalgebra ;
• De skeva hermitiska elementen bildar en Lie-algebra ;
• 1/2 i *-ringen, så symmetriserande (1 − *) är operatorerna , 1/2 ( 1 + *) och ortogonala idempotenter kallade och antisymmetriserande , så algebra bryts ner som en direkt summa av moduler ( vektorrum om *-ringen är ett fält) av symmetriska och antisymmetriska (hermitiska och skeva hermitiska) element. Dessa utrymmen bildar i allmänhet inte associativa algebror, eftersom de idempotenta är operatorer , inte element i algebra.

Skev strukturer

Givet en *-ring finns även kartan −* : x ↦ − x * . Den definierar inte en *-ringstruktur (såvida inte egenskapen är 2, i vilket fall −* är identisk med originalet *), som 1 ↦ −1 , den är inte heller antimultiplikativ, men den uppfyller de andra axiomen (linjär, involution). ) och är därför ganska lik *-algebra där x ↦ x * .

Element fixerade av denna karta (dvs sådana att a = − a * ) kallas skev Hermitian .

För de komplexa talen med komplex konjugation är de reella talen de hermitiska elementen och de imaginära talen är de sneda hermiterna.

Se även

• Semigrupp med involution
• B*-algebra
• C*-algebra
• Dolk kategori
• von Neumann algebra
• Baer ring
• Operatörsalgebra
• Konjugerat (algebra)
• Cayley-Dickson konstruktion
• Sammansättning algebra