Ställar och kåpor

I matematik är rack och quandles uppsättningar med binära operationer som tillfredsställer axiom som är analoga med Reidemeister -rörelserna som används för att manipulera knutdiagram .

Även om de huvudsakligen används för att få invarianter av knop, kan de ses som algebraiska konstruktioner i sig själva. I synnerhet axiomatiserar definitionen av en kvandl egenskaperna för konjugation i en grupp .

Historia

År 1943 introducerade Mituhisa Takasaki (高崎光久) en algebraisk struktur som han kallade en Kei (圭), som senare skulle komma att bli känd som en involutiv quandle. Hans motivation var att hitta en icke-associativ algebraisk struktur för att fånga uppfattningen om en reflektion i samband med finit geometri . Idén återupptäcktes och generaliserades i (opublicerad) korrespondens 1959 mellan John Conway och Gavin Wraith, som vid den tiden var studenter vid University of Cambridge . Det är här som de moderna definitionerna av quandles och rack först dyker upp. Wraith hade blivit intresserad av dessa strukturer (som han till en början kallade sequentials ) när han var i skolan. Conway döpte om dem till wracks , dels som en ordlek på sin kollegas namn, och dels för att de uppstår som rester (eller 'wrack and ruin') av en grupp när man förkastar den multiplikativa strukturen och bara tar hänsyn till konjugationsstrukturen . Stavningen "rack" har nu blivit utbredd.

Dessa konstruktioner dök upp igen på 1980-talet: i ett papper från 1982 av David Joyce (där termen quandle myntades), i en artikel från 1982 av Sergei Matveev (under namnet distributive groupoids ) och i ett konferensbidrag från 1986 av Egbert Brieskorn (där de kallades automorfa uppsättningar ). En detaljerad översikt av rack och deras tillämpningar inom knutteori kan hittas i tidningen av Colin Rourke och Roger Fenn.

Rack

Ett rack kan definieras som en uppsättning $\mathrm {R}$ med en binär operation $\triangleleft$ så att för varje $a,b,c\in \mathrm {R}$ den självfördelande lagen gäller:

$a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)$

och för varje $a,b\in \mathrm {R} ,$ finns det ett unikt $c\in \mathrm {R}$ så att

$a\triangleleft c=b.$

Denna definition, även om den är kortfattad och allmänt använd, är suboptimal för vissa ändamål eftersom den innehåller en existentiell kvantifierare som egentligen inte är nödvändig. För att undvika detta kan vi skriva den unika $c\in \mathrm {R}$ så att $a\triangleleft c=b$ som $b\triangleright a.$ Vi har då

$a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a,$

och sålunda

$a\triangleleft (b\triangleright a)=b,$

och

$(a\triangleleft b)\triangleright a=b.$

Med denna idé kan ett rack definieras på samma sätt som en uppsättning $\mathrm {R}$ med två binära operationer $\triangleleft$ och $\triangleright$ så att för alla $a,b,c\in \mathrm {R} {\text{:}}$

1. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)} ($ vänster själv -fördelningslag)
2. ${\displaystyle (c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)} ($ rätt jag -fördelningslag)
3. $(a\triangleleft b)\triangleright a=b$
4. $a\triangleleft (b\triangleright a)=b$

Det är bekvämt att säga att elementet $a\in \mathrm {R}$ verkar från vänster i uttrycket $a\triangleleft b,$ och verkar från höger i uttrycket $b\triangleright a.$ De tredje och fjärde rackaxiomen säger då att dessa vänster- och högeråtgärder är inverser av varandra. Genom att använda detta kan vi eliminera någon av dessa åtgärder från definitionen av rack. Om vi ​​eliminerar den högra åtgärden och behåller den vänstra, får vi den kortfattade definitionen som gavs initialt.

Många olika konventioner används i litteraturen om ställ och kåpor. Till exempel föredrar många författare att arbeta med precis rätt handling. Dessutom är användningen av symbolerna $\triangleleft$ och $\triangleright$ inte på något sätt universell: många författare använder exponentiell notation

$a\triangleleft b={}^{a}b$

och

$b\triangleright a=b^{a},$

medan många andra skriver

$b\triangleright a=b\star a.$

Ännu en likvärdig definition av ett rack är att det är en uppsättning där varje element verkar till vänster och höger som automorfismer av racket, med den vänstra åtgärden den omvända till den högra. I denna definition kodar det faktum att varje element fungerar som automorfismer för vänster och höger självfördelningslagar, och även dessa lagar:

${\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\ \triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\ end{aligned}}$

som är följder av den eller de definitioner som angetts tidigare.

Quandles

En quandle definieras som ett rack, $\mathrm {Q} ,$ så att för alla $a\in \mathrm {Q}$

$a\triangleleft a=a,$

eller motsvarande

$a\triangleright a=a.$

Exempel och tillämpningar

Varje grupp ger en quandle där operationerna kommer från konjugering:

${\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a& =a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{aligned}}$

Faktum är att varje ekvationslag som uppfylls av konjugering i en grupp följer av kvistaxiomen. Så man kan tänka på en kvista som det som är kvar av en grupp när vi glömmer multiplikation, identiteten och inverser, och bara kommer ihåg operationen av konjugation.

Varje tam knut i tredimensionella euklidiska rymden har en "grundläggande kvista". För att definiera detta kan man notera att grundgruppen för knutkomplementet, eller knutgruppen , har en presentation ( Wirtinger-presentationen ) där relationerna endast involverar konjugering. Så den här presentationen kan också användas som en presentation av en quandle. Den fundamentala kvandlen är en mycket kraftfull invariant av knutar. I synnerhet, om två knutar har isomorfa fundamentala kvandlar, så finns det en homeomorfism av tredimensionellt euklidiskt rymd, som kan vara orienteringsvändande , vilket tar en knut till den andra.

Mindre kraftfulla men mer lättberäkningsbara invarianter av knop kan erhållas genom att räkna homomorfismerna från knutkvandlen till en fixerad kvandel $\mathrm {Q} .$ Eftersom Wirtinger-presentationen har en generator för varje sträng i ett knutdiagram , kan dessa invarianter beräknas genom att räkna sätt att märka varje sträng med ett element av $\mathrm {Q } ,$ med vissa begränsningar. Mer sofistikerade invarianter av detta slag kan konstrueras med hjälp av quandle cohomology .

Alexanderkvandlarna är också viktiga, eftersom de kan användas för att beräkna Alexanderpolynomet för en knut . Låt $\mathrm {A}$ vara en modul över ringen $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$ av Laurents polynom i en variabel . Sedan är Alexander-kvisteln $\mathrm {A}$ gjord till en quandel med den vänstra åtgärden som ges av

$a\triangleleft b=tb+(1-t)a.$

Rack är en användbar generalisering av quandles i topologi, eftersom medan quandles kan representera knutar på ett runt linjärt föremål (som ett rep eller en tråd), kan rack representera band, som kan vara både tvinnade och knutna.

En kvandel $\mathrm {Q}$ sägs vara ofrivillig om för alla $a,b\in \mathrm {Q} ,$

$a\triangleleft (a\triangleleft b)=b$

eller motsvarande,

$(b\triangleright a)\triangleright a=b.$

Varje symmetriskt mellanslag ger en ofrivillig kvandla, där $a\triangleleft b$ är resultatet av att 'reflektera $b$ genom $a$ '.

Se även

• Biracks och biqudles
• Laver bord

externa länkar

• Knot Quandaries Quelled by Quandles - En grundutbildningsintroduktion till quandles och en annan knutinvarianter
• En undersökning av Quandle Idéer av Scott Carter
• Knot Invariants härledd från Quandles and Racks av Seiichi Kamada
• Hyllor, ställ, spindlar och kåpor , sid. 56 av Lie 2-Algebras av Alissa Crans
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle