GCD-domän

I matematik är en GCD-domän en integraldomän R med egenskapen att vilka två element som helst har en största gemensamma divisor (GCD); dvs det finns ett unikt minimalt principideal som innehåller idealet som genereras av två givna element. På motsvarande sätt har alla två element i R en minsta gemensamma multipel (LCM).

En GCD-domän generaliserar en unik faktoriseringsdomän (UFD) till en icke- noeterisk miljö i följande mening: en integrerad domän är en UFD om och endast om det är en GCD-domän som uppfyller de stigande kedjevillkoren på huvudideal (och i synnerhet om det är Noetherian ).

GCD-domäner visas i följande kedja av klassinneslutningar :

rngs ⊃ ringar ⊃ kommutativa ringar ⊃ integrerade domäner ⊃ integrerat slutna domäner ⊃ GCD-domäner ⊃ unika faktoriseringsdomäner ⊃ huvudsakliga idealdomäner ⊃ Euklidiska domäner ⊃ fält ⊃ algebraiskt slutna fält

Egenskaper

Varje irreducerbart element i en GCD-domän är prime . En GCD-domän är integrerat stängd och varje element som inte är noll är primärt . Med andra ord är varje GCD-domän en Schreier-domän .

För varje par av element x , y i en GCD-domän R , en GCD d av x och y och en LCM m av x och y kan väljas så att dm = xy , eller anges annorlunda, om x och y är icke-noll element och d är valfri GCD d av x och y , då är xy / d en LCM av x och y , och vice versa. Det följer att operationerna för GCD och LCM gör kvoten R /~ till ett distributivt gitter , där "~" betecknar ekvivalensrelationen för att vara associerade element . Ekvivalensen mellan förekomsten av GCD och förekomsten av LCM är inte en följd av liknande resultat på kompletta gitter , eftersom kvoten R /~ inte behöver vara ett komplett gitter för en GCD-domän R. ^{[ citat behövs ]}

Om R är en GCD-domän _, så är polynomringen R [ Xi ,..., Xn ] också en GCD-domän _.

R är en GCD-domän om och endast om ändliga skärningar av dess huvudsakliga ideal är principiella. Speciellt ${\displaystyle (a)\cap (b)=(c)} ,$ där $c$ är LCM för $a$ och $b$ .

För ett polynom i X över en GCD-domän kan man definiera dess innehåll som GCD för alla dess koefficienter. Då är innehållet i en produkt av polynom produkten av deras innehåll, vilket uttrycks av Gauss lemma , som är giltigt över GCD-domäner.

Exempel

En unik faktoriseringsdomän är en GCD-domän. Bland GCD-domänerna är de unika faktoriseringsdomänerna just de som också är atomära domäner (vilket betyder att det finns minst en faktorisering till irreducerbara element för alla icke-noll-enheter).
En Bézout-domän (dvs en integrerad domän där varje ändligt genererat ideal är principiellt) är en GCD-domän. Till skillnad från principiella idealdomäner (där varje ideal är principiellt), behöver en Bézout-domän inte vara en unik faktoriseringsdomän; till exempel är ringen av hela funktioner en icke-atomär Bézout-domän, och det finns många andra exempel. En integrerad domän är en Prüfer GCD-domän om och endast om det är en Bézout-domän.
Om R är en icke-atomär GCD-domän, så är R [ X ] ett exempel på en GCD-domän som varken är en unik faktoriseringsdomän (eftersom den är icke-atomär) eller en Bézout-domän (eftersom X och en icke-inverterbar och icke-noll element a av R genererar ett ideal som inte innehåller 1, men 1 är ändå en GCD av X och a ); mer generellt har vilken ring som helst R [ Xi _, ..., _Xn ] dessa egenskaper.
En kommutativ monoidring $R[X;S]$ är en GCD-domän om $R$ är en GCD-domän och $S$ är en torsionsfri kansellerande GCD-semigrupp. En GCD-semigrupp är en semigrupp med den ytterligare egenskapen att för alla $a$ och $b$ i semigruppen $S$ finns det en $c$ så att $(a+S)\cap (b+S)=c+S$ . I synnerhet, om $G$ är en abelsk grupp , då $R[X;G]$ är en GCD-domän om $R$ är en GCD-domän och $G$ är torsionsfri.
Ringen $\mathbb {Z} [{\sqrt {-d}}]$ är inte en GCD-domän för alla kvadratfria heltal $d\geq 3$ .

^ Anderson, DD (2000). "GCD-domäner, Gauss lemma och innehåll i polynom". I Chapman, Scott T.; Glaz, Sarah (red.). Icke-Noetherian Commutative Ring Theory . Matematik och dess tillämpning. Vol. 520. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. s. 1–31. doi : 10.1007/978-1-4757-3180-4_1 . MR 1858155 .
^ bevis på att en gcd-domän är integrerat stängd , PlanetMath.org
^ Robert W. Gilmer, Commutative semigroup rings , University of Chicago Press, 1984, s. 172.
^ Ali, Majid M.; Smith, David J. (2003), "Generaliserade GCD-ringar. II" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 75–98, MR 1990985 . S. 84: "Det är lätt att se att en integrerad domän är en Prüfer GCD-domän om och bara om det är en Bezout-domän, och att en Prüfer-domän inte behöver vara en GCD-domän.".
^ Gilmer, Robert; Parker, Tom (1973), "Divisibility Properties in Semigroup Rings" , Michigan Mathematical Journal , 22 (1): 65–86, MR 0342635 .
^ Mihet, Dorel (2010), "A Note on Non-Unique Factorization Domains (UFD)" , Resonance , 15 (8): 737–739 .

[1] Anderson, DD (2000). "GCD-domäner, Gauss lemma och innehåll i polynom". I Chapman, Scott T.; Glaz, Sarah (red.). Icke-Noetherian Commutative Ring Theory . Matematik och dess tillämpning. Vol. 520. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. s. 1–31. doi : 10.1007/978-1-4757-3180-4_1 . MR 1858155 .

[2] vis på att en gcd-domän är integrerat stängd , PlanetMath.org

[3] Robert W. Gilmer, Commutative semigroup rings , University of Chicago Press, 1984, s. 172.

[4] Ali, Majid M.; Smith, David J. (2003), "Generaliserade GCD-ringar. II" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 75–98, MR 1990985 . S. 84: "Det är lätt att se att en integrerad domän är en Prüfer GCD-domän om och bara om det är en Bezout-domän, och att en Prüfer-domän inte behöver vara en GCD-domän.".

[5] Gilmer, Robert; Parker, Tom (1973), "Divisibility Properties in Semigroup Rings" , Michigan Mathematical Journal , 22 (1): 65–86, MR 0342635 .

[6] Mihet, Dorel (2010), "A Note on Non-Unique Factorization Domains (UFD)" , Resonance , 15 (8): 737–739 .