Konjugerat transponera

"Adjoint matrix" omdirigerar hit. För transponering av kofaktor, se Adjugate matris .

Inom matematik är den konjugata transponera , även känd som den hermitiska transponeringen , av en $m\times n$ komplex matris ${\boldsymbol {A}}$ är en $n \times m$ matris erhållen genom att transponera ${\boldsymbol {A}}$ och tillämpa komplex konjugat på varje post (det komplexa konjugatet av $a+ib$ är ${\ displaystyle a-ib}$ , för reella tal $a$ och ${\displaystyle b} )$ . Det betecknas ofta som ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ eller ${\boldsymbol {A}}^{*}$ eller ${\boldsymbol {A}}'$ , och mycket vanligt inom fysiken som ${\boldsymbol {A}}^{\dolk }$ .

För verkliga matriser är den konjugata transponeringen bara transponeringen, ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T} }$ .

Definition

Den konjugerade transponeringen av en $m\times n$ matris ${\boldsymbol {A}}$ definieras formellt av

$\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {{\boldsymbol {A} }_{ji}}}$

 

 

 

 

()

där nedsänkningen $ij$ betecknar $(i,j)$ -te posten, för $1\leq i\leq n$ och $1\leq j\leq m$ , och överstapeln betecknar ett skalärt komplext konjugat.

Denna definition kan också skrivas som

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\boldsymbol {A}}}\right)^{ \mathsf {T}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}$

där ${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}$ anger transponeringen och ${\overline {\boldsymbol {A}}}$ anger matrisen med komplexa konjugerade poster .

Andra namn för konjugatet transponera en matris är hermitiskt konjugat , adjoint matris eller transjugat . Den konjugerade transponeringen av en matris ${\boldsymbol {A}}$ kan betecknas med någon av dessa symboler:

• ${\boldsymbol {A}}^{*}$ , vanligen använd i linjär algebra
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }} ,$ vanligen använd i linjär algebra
• ${\boldsymbol {A}}^{\dolk }$ (uttalas ibland som A dolk ), vanligen använt inom kvantmekaniken
• ${\boldsymbol {A}}^{+}$ , även om denna symbol är vanligare för Moore–Penrose-pseudoinversen

I vissa sammanhang betecknar ${\boldsymbol {A}}^{*}$ matrisen med endast komplexa konjugerade poster och ingen transponering.

Exempel

Antag att vi vill beräkna den konjugerade transponeringen av följande matris ${\boldsymbol {A}}$ .

${\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{ bmatrix}}$

Vi transponerar först matrisen:

${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}1&1+i\\- 2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}$

Sedan konjugerar vi varje post i matrisen:

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\ -2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}$

Grundläggande anmärkningar

En kvadratisk matris ${\boldsymbol {A}}$ med poster $a_{ij}$ kallas

• Hermitisk eller självadjoint om ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ ; dvs, $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ .
• Skev Hermitian eller antihermitian om ${\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ ; dvs, $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$ .
• Normal om ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^ {\mathrm {H} }$ .
• Enhet om ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{-1}} , motsvarande A$ A $displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}} , motsvarande A H A = I {\displaystyle {\$ boldsymbol ${ \mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {I}}}$ .

Även om ${\boldsymbol {A}}$ inte är kvadratisk, är de två matriserna ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}$ och ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }} är$ både hermitiska och faktiskt positiva semidefinita matriser .

Konjugatet transponerar "adjoint"-matrisen ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ ska inte förväxlas med adjugatet , $\operatorname {adj} ( {\boldsymbol {A}})$ , som också ibland kallas adjoint .

Den konjugerade transponeringen av en matris ${\boldsymbol {A}}$ med reella poster reduceras till transponeringen av ${\boldsymbol {A}}$ , eftersom konjugatet av ett reellt tal är själva talet .

Motivering

Den konjugerade transponeringen kan motiveras genom att notera att komplexa tal med fördel kan representeras av $2\x 2$ reella matriser, genom att följa matrisaddition och multiplikation:

$a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$

Det vill säga att beteckna varje komplext tal $z$ med den reella $2\times 2$ -matrisen för den linjära transformationen på Argand-diagrammet (sett som det reella vektorutrymmet $\mathbb {R} ^{2}$ ), påverkad av komplex $z$ -multiplikation på $\mathbb {C}$ .

Således skulle en $m\times n$ -matris av komplexa tal väl kunna representeras av en $2m\times 2n$ -matris av reella tal. Den konjugerade transponeringen uppstår därför mycket naturligt som ett resultat av att helt enkelt transponera en sådan matris — när den ses tillbaka igen som en $n\ gånger m$ matris som består av komplexa tal.

Konjugatets egenskaper transponeras

• $({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{ \mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }$ för två valfria matriser ${\boldsymbol {A}}$ och ${\boldsymbol {B} }$ av samma dimensioner.
• $(z{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {H} }={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ för alla komplexa tal $z$ och valfri $m\times n$ matris ${\boldsymbol {A}}$ .
• $({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm { H} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ för valfri $m\times n$ matris ${\boldsymbol {A}}$ och valfri $n\times p$ matris ${\boldsymbol {B}}$ . Observera att ordningen på faktorerna är omvänd.
• ${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}} för$ alla $m\times n$ matris ${\boldsymbol {A}}$ , dvs hermitisk transposition är en involution .
• Om ${\boldsymbol {A}}$ är en kvadratisk matris, då är $\det \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm { H} }\right)={\overline {\det \left({\boldsymbol {A}}\right)}}$ där $\operatorname {det} (A)$ anger determinanten av ${\boldsymbol {A}}$ .
• Om ${\boldsymbol {A}}$ är en kvadratisk matris, då ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}} ^{\mathrm {H} }\right)={\överlinje {\operatörsnamn {tr} ({\boldsymbol {A}})}}} där tr$ ⁡ $displaystyle \operatörsnamn {tr} (A) }$ betecknar spåret av ${\boldsymbol {A}}$ .
• ${\boldsymbol {A}}$ är inverterbar om och endast om ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ är inverterbar, och i så fall $\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^ {-1}\right)^{\mathrm {H} }$ .
• Egenvärdena för $\mathrm {H} }}$ { är de komplexa konjugaten av egenvärdena för ${\boldsymbol {A}}$ .
• $\left\langle {\boldsymbol {A}}x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,{\ fetsymbol {A}}^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}$ för valfri $m\times n$ matris ${\boldsymbol {A}}$ , vilken vektor som helst i $x\in \mathbb {C} ^{n}$ och vilken vektor som helst $y\in \mathbb {C} ^{m}$ . Här $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}$ den standardkomplexa inre produkten på $\mathbb {C} ^{m}$ , och på liknande sätt för $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}$ .

Generaliseringar

Den sista egenskapen ovan visar att om man ser ${\boldsymbol {A}}$ som en linjär transformation från Hilbert space $\mathbb {C} ^{n}$ till ${\ displaystyle \mathbb {C} ^{m},} då$ motsvarar matrisen ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }} den$ adjointoperator för ${\boldsymbol { A}}$ . Konceptet med adjointoperatorer mellan Hilbertrum kan alltså ses som en generalisering av den konjugerade transponeringen av matriser med avseende på en ortonormal bas.

En annan generalisering är tillgänglig: anta att $A$ är en linjär karta från ett komplext vektorrum $V$ till ett annat, $W$ , sedan den komplexa konjugerade linjära kartan såväl som den transponerade linjära kartan är definierade, och vi kan alltså ta den konjugerade transponeringen av $A$ för att vara den komplexa konjugatet av transponeringen av $A$ . Den mappar den konjugerade dualen av $W$ till den konjugerade dualen av $V$ .

Se även

• Komplex prickprodukt
• Hermitisk anknytning
• Justera matris

externa länkar

• "Adjoint matris" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]