Shilov gräns

I funktionell analys , en gren av matematiken, är Shilov-gränsen den minsta slutna delmängden av strukturutrymmet för en kommutativ Banach-algebra där en analog av principen om maximal modul gäller. Den är uppkallad efter sin upptäckare, Georgii Evgen'evich Shilov .

Exakt definition och existens

Låt ${\mathcal {A}}$ vara en kommutativ Banachalgebra och låt $\Delta {\mathcal {A}}$ vara dess strukturutrymme utrustad med den relativa svaga*-topologin för dualen ${\mathcal {A}}^{*}$ . En sluten (i denna topologi) delmängd $F$ av $\Delta {\mathcal {A}}$ kallas en gräns för ${\mathcal {A}}$ om ${\textstil \max _{f\in \Delta {\mathcal {A}}}|f(x)|=\max _{f\in F}|f(x)|} för alla$ x $\ displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$ . Mängden ${\textstyle S=\bigcap \{F:F{\text{ är en gräns för }}{\mathcal {A}}\}}$ kallas Shilov gräns . Det har bevisats av Shilov att $S$ är en gräns för ${\mathcal {A}}$ .

Således kan man också säga att Shilov-gränsen är den unika mängden $S\subset \Delta {\mathcal {A}}$ som uppfyller

1. $S$ är en gräns för ${\displaystyle {\mathcal {A}}},$ och
2. närhelst $F$ är en gräns för ${\displaystyle {\mathcal {A}}} ,$ då $S\subset F$ .

Exempel

Låt ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}} vara$ den öppna enhetsskivan i det komplexa planet och låt ${\mathcal {A}}=H^{\infty }(\mathbb {D} )\cap {\mathcal {C}}({\bar {\mathbb {D} }} )$ vara diskalgebra , dvs funktionerna holomorfa i $\mathbb {D}$ och kontinuerliga i stängningen av $\mathbb {D}$ med högsta norm och vanliga algebraiska operationer. Då $\Delta {\mathcal {A}}={\bar {\mathbb {D} }}$ och $S=\{|z|=1\}$ .

• "Bergman-Shilov gränsen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

Se även

• James gräns
• Furstenbergs gräns