Spektral asymmetri

Inom matematik och fysik är den spektrala asymmetrin asymmetrin i fördelningen av spektrumet av egenvärden för en operator . I matematik uppstår den spektrala asymmetrin i studiet av elliptiska operatorer på kompakta grenrör och ges en djup mening av Atiyah-Singer indexsatsen . Inom fysiken har den många tillämpningar, vilket vanligtvis resulterar i en fraktionell laddning på grund av asymmetrin i spektrumet för en Dirac-operatör . Till exempel ges vakuumförväntningsvärdet för baryontalet av den spektrala asymmetrin hos den Hamiltonska operatorn . Den spektrala asymmetrin hos de begränsade kvarkfälten är en viktig egenskap hos den kirala påsmodellen . För fermioner är det känt som Witten-indexet och kan förstås som att det beskriver Casimir-effekten för fermioner.

Definition

Givet en operator med egenvärden ${\displaystyle \omega _{n}} ,$ vars lika många är positiva och negativa, kan den spektrala asymmetrin definieras som summan

$B=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\ summa _{n}\operatörsnamn {sgn}(\omega _{n})\exp(-t|\omega _{n}|)$

där $\operatorname {sgn}(x)$ är teckenfunktionen . Andra regulatorer , såsom zeta-funktionsregulatorn , kan användas.

Behovet av både ett positivt och negativt spektrum i definitionen är anledningen till att den spektrala asymmetrin vanligtvis uppstår i studien av Dirac-operatorer .

Exempel

Som ett exempel, betrakta en operatör med ett spektrum

$\omega _{n}=n+\alpha$

där n är ett heltal som sträcker sig över alla positiva och negativa värden. Man kan på ett enkelt sätt visa att i detta fall lyder $B(\alpha )$$B(\alpha )=B(\alpha + m)$ för vilket heltal som helst $m$ , och att för $0<\alpha <1$ har vi $B(\alpha ) =1/2-\alpha$ . Grafen för $B(\alpha )$ är därför en periodisk sågtandskurva.

Diskussion

Relaterat till den spektrala asymmetrin är vakuumförväntningsvärdet för energin associerad med operatören, Casimir-energin , som ges av

$E=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\summa _{n}|\omega _{n}|\exp (-t|\omega _{n}|)$

Denna summa är formellt divergerande, och avvikelserna måste redovisas och tas bort med hjälp av standardregleringstekniker.

• MF Atiyah, VK Patodi och IM Singer, Spektral asymmetri och Riemannsk geometri I, Proc. Camb. Phil. Soc., 77 (1975), 43-69.
• Linas Vepstas, AD Jackson, AS Goldhaber, Tvåfasmodeller av baryoner och den kirala Casimir-effekten , Physics Letters B140 (1984) sid. 280-284.
• Linas Vepstas, AD Jackson, Justifying the Chiral Bag , Physics Reports, 187 (1990) sid. 109-143.