Kvasigrupp

I matematik , särskilt i abstrakt algebra , är en kvasigrupp en algebraisk struktur som liknar en grupp i den meningen att " delning " alltid är möjlig. Kvasigrupper skiljer sig från grupper huvudsakligen genom att de inte behöver vara associativa och inte behöver ha ett identitetselement .

En kvasigrupp med ett identitetselement kallas en loop .

Definitioner

Det finns minst två strukturellt ekvivalenta formella definitioner av kvasigrupp. En definierar en kvasigrupp som en mängd med en binär operation , och den andra, från universell algebra , definierar en kvasigrupp som att ha tre primitiva operationer. Den homomorfa bilden av en kvasigrupp definierad med en enda binär operation behöver dock inte vara en kvasigrupp. Vi börjar med den första definitionen.

Algebra

En kvasigrupp ( Q , ∗) är en icke-tom mängd Q med en binär operation ∗ (det vill säga en magma , som indikerar att en kvasigrupp måste uppfylla closure-egenskapen), som lyder den latinska kvadrategenskapen . Detta anger att det för varje a och b i Q finns unika element x och y i Q så att båda

a ∗ x = b ,

y ∗ a = b

håll. (Med andra ord: Varje element i mängden förekommer exakt en gång i varje rad och exakt en gång i varje kolumn i kvasigruppens multiplikationstabell, eller Cayley-tabellen . Den här egenskapen säkerställer att Cayley-tabellen för en finit kvasigrupp, och i synnerhet, finit grupp, är en latinsk kvadrat .) Kravet på att x och y är unika kan ersättas med kravet att magman ska vara cancellativ .

De unika lösningarna till dessa ekvationer skrivs x = a \ b och y = b / a . Operationerna '\' och '/' kallas för vänsterdivision respektive högerdivision . När det gäller Cayley-tabellen betyder den första ekvationen (vänster division) att b- posten i a- raden markerar x -kolumnen medan den andra ekvationen (höger division) betyder att b- posten i a - kolumnen markerar y - raden.

Den tomma uppsättningen utrustad med den tomma binära operationen uppfyller denna definition av en kvasigrupp. Vissa författare accepterar den tomma kvasigruppen men andra exkluderar den uttryckligen.

Universal algebra

Givet någon algebraisk struktur , är en identitet en ekvation där alla variabler är tysta universellt kvantifierade , och där alla operationer är bland de primitiva operationerna som tillhör strukturen. Algebraiska strukturer som uppfyller axiom som är givna enbart av identiteter kallas en variation . Många standardresultat i universell algebra gäller endast för sorter. Kvasigrupper bildar en variation om vänster och höger division tas som primitiv.

En kvasigrupp ( Q , ∗, \, /) är en typ (2,2,2) algebra (dvs utrustad med tre binära operationer) som uppfyller identiteterna:

y = x ∗ ( x \ y ),

y = x \ ( x ∗ y ),

y = ( y / x ) ∗ x ,

y = ( y ∗ x ) / x .

Med andra ord: Multiplikation och division i endera ordningen, efter varandra, på samma sida med samma element, har ingen nettoeffekt.

Om därför ( Q , ∗) är en kvasigrupp enligt den första definitionen, så är ( Q , ∗, \, /) samma kvasigrupp i betydelsen universell algebra. Och vice versa: om ( Q , ∗, \, /) är en kvasigrupp enligt betydelsen av universell algebra, så är ( Q , ∗) en kvasigrupp enligt den första definitionen.

Slingor

En loop är en kvasigrupp med ett identitetselement ; det vill säga ett element, e , sådan att

x ∗ e = x och e ∗ x = x för alla x i Q .

Det följer att identitetselementet, e , är unikt, och att varje element i Q har unika vänster- och högerinverser (som inte behöver vara samma).

En kvasigrupp med ett idempotent element kallas en pique ("spetsad idempotent kvasigrupp"); detta är en svagare föreställning än en slinga men vanlig ändå eftersom, till exempel, givet en abelsk grupp , ( A , +) , tar dess subtraktionsoperation som kvasigruppmultiplikation en piké ( A , −) med gruppidentiteten (noll) vriden till en "spetsad idempotent". (Det vill säga, det finns en huvudisotopi ( x , y , z ) ↦ ( x , − y , z ) .)

En slinga som är associativ är en grupp. En grupp kan ha en icke-associativ pique-isotop, men den kan inte ha en icke-associativ loop-isotop.

Det finns svagare associativitetsegenskaper som har fått speciella namn.

Till exempel är en Bol-loop en loop som uppfyller antingen:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z för varje x , y och z i Q (en vänster Bol-loop ),

annars

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) för varje x , y och z i Q (en höger Bol-loop ).

En slinga som är både en vänster och höger Bol-loop är en Moufang-loop . Detta motsvarar vilken som helst av följande enstaka Moufang-identiteter som håller för alla x , y , z :

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z ,

z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x , ( x ,

( x ) ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x ), eller

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) ∗ x .

Symmetrier

( Smith 2007 ) namnger följande viktiga egenskaper och underklasser:

Semisymmetri

En kvasigrupp är semisymmetrisk om följande likvärdiga identiteter gäller:

x ∗ y = y / x ,

y ∗ x = x \ y ,

x = ( y ∗ x ) ∗ y ,

x = y ∗ ( x ∗ y ).

Även om denna klass kan verka speciell, inducerar varje kvasigrupp Q en semisymmetrisk kvasigrupp Q Δ på den direkta produktkuben Q ³ via följande operation:

(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3} )=(y_{3}/x_{2},\,y_{1}\backslash \,x_{3},\,x_{1}\!*y_{2})=(x_{2}/\ !/y_{3},\,x_{3}\backslash \!\backslash \,y_{1},\,x_{1}\!*y_{2}),

där "//" och "\\" är de konjugerade divisionsoperationerna som ges av $y/\!/x=x/y$ och ${\ visningsstil y\backslash \!\backslash x=x\backslash y}$ .

Trialitet

Total symmetri

En smalare klass är en totalt symmetrisk kvasigrupp (ibland förkortad TS-kvasigrupp ) där alla konjugat sammanfaller som en operation: x ∗ y = x / y = x \ y . Ett annat sätt att definiera (samma föreställning om) totalt symmetrisk kvasigrupp är som en semisymmetrisk kvasigrupp som också är kommutativ, dvs x ∗ y = y ∗ x .

Idempotenta totala symmetriska kvasigrupper är precis (dvs i en bijektion med) Steiner-trippel , så en sådan kvasigrupp kallas också för en Steiner-kvasigrupp , och ibland förkortas den senare till och med som squag . Termen sling syftar på en analog för slingor, nämligen helt symmetriska slingor som uppfyller x ∗ x = 1 istället för x ∗ x = x . Utan idempotens motsvarar totala symmetriska kvasigrupper den geometriska uppfattningen om förlängd Steiner-trippel, även kallad Generalized Elliptic Cubic Curve (GECC).

Total antisymmetri

En kvasigrupp ( Q , ∗) kallas totalt antisymmetrisk om för alla c , x , y ∈ Q , båda följande implikationer gäller:

( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x innebär att x = y
x ∗ y = y ∗ x innebär att x = y .

Det kallas svagt totalt antisymmetriskt om bara den första implikationen håller.

Den här egenskapen krävs till exempel i Damm-algoritmen .

Exempel

Varje grupp är en slinga, eftersom a ∗ x = b om och endast om x = a ⁻¹ ∗ b , och y ∗ a = b om och endast om y = b ∗ a ⁻¹ .
Heltalen Z (eller rationalerna Q eller realtalen R ) med subtraktion ( −) bildar en kvasigrupp. Dessa kvasiqrupper är inte loopar eftersom det inte finns något identitetselement (0 är en högeridentitet eftersom a − 0 = a , men inte en vänsteridentitet eftersom, i allmänhet, 0 − a ≠ a ).
Rationalerna Q ^{× som inte är noll} (eller realerna som inte är noll R ^× ) med division (÷) bildar en kvasigrupp.
Varje vektorrum över ett fält med karaktäristik som inte är lika med 2 bildar en idempotent , kommutativ kvasigrupp under operationen x ∗ y = ( x + y ) / 2 .
Varje Steiner-trippelsystem definierar en idempotent , kommutativ kvasigrupp: a ∗ b är det tredje elementet i trippeln som innehåller a och b . Dessa kvasigrupper uppfyller också ( x ∗ y ) ∗ y = x för alla x och y i kvasigruppen. Dessa kvasigrupper är kända som Steiner-kvasigrupper .
Mängden {±1, ±i, ±j, ±k} där ii = jj = kk = +1 och med alla andra produkter som i kvaterniongruppen bildar en icke-associativ loop av ordning 8. Se hyperboliska kvaternioner för dess tillämpning. (De hyperboliska kvaternionerna inte själva en loop eller kvasigrupp.)
Oktonjonerna som inte är noll bildar en icke-associativ loop under multiplikation. Oktonionerna är en speciell typ av loop som kallas Moufang loop .
En associativ kvasigrupp är antingen tom eller är en grupp, eftersom om det finns minst ett element, innebär inverterbarheten av den kvasigruppens binära operationen kombinerat med associativitet existensen av ett identitetselement som sedan antyder existensen av inversa element, vilket således uppfyller alla tre krav på en grupp.
Följande konstruktion beror på Hans Zassenhaus . På den underliggande uppsättningen av det fyrdimensionella vektorutrymmet F ⁴ över 3-elementet Galois-fältet F = Z /3 Z definiera

₄) + (0, 0, 0, (x ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ∗ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y4 _{) +}₍ − y₃)(xy₂ − x₂y₁)).

Then, (F⁴, ∗) is a commutative Moufang loop that is not a group.

More generally, the nonzero elements of any division algebra form a quasigroup.

Egenskaper

I återstoden av artikeln ska vi beteckna kvasigruppmultiplikation helt enkelt genom juxtaposition .

Kvasigrupper har avbrytningsegenskapen : om ab = ac , då b = c . Detta följer av det unika med vänsterdelning av ab eller ac med a . På liknande sätt, om ba = ca , då b = c .

Den latinska kvadrategenskapen för kvasigrupper innebär att, givet två av de tre variablerna i xy = z , är den tredje variabeln unikt bestämd.

Multiplikationsoperatorer

Definitionen av en kvasigrupp kan behandlas som villkor på vänster och höger multiplikationsoperatorer L _x , R _x : Q → Q , definierade av

{\begin{aligned}L_{x}(y)&=xy\\R_{x}(y)&=yx\\\ end{aligned}}

Definitionen säger att båda mappningarna är bijektioner från Q till sig själv. En magma Q är en kvasigrupp just när alla dessa operatorer, för varje x i Q , är bijektiva. De inversa mappningarna är vänster och höger division, det vill säga

{\begin{aligned}L_{x}^{-1}(y)&=x\omvänt snedstreck y\ \R_{x}^{-1}(y)&=y/x\end{aligned}}

är identiteterna bland kvasigruppens multiplikations- och divisionsoperationer (angivna i avsnittet om universell algebra )

{\begin{aligned}L_{x}L_{x}^{-1}&=1\qquad & {\text{motsvarande}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L_{x}^{-1}L_{x}&=1\qquad &{\text{motsvarande}}\ qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{-1}&=1\qquad &{\text{motsvarande}}\qquad (y/x)x&=y\ \R_{x}^{-1}R_{x}&=1\qquad &{\text{motsvarande}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}

där 1 betecknar identitetskartläggningen på Q .

latinska rutor

En latinsk kvadrat, den obegränsade multiplikationstabellen för en kvasigrupp vars 10 element är siffrorna 0–9.

Multiplikationstabellen för en finit kvasigrupp är en latinsk kvadrat : en n × n tabell fylld med n olika symboler på ett sådant sätt att varje symbol förekommer exakt en gång i varje rad och exakt en gång i varje kolumn.

Omvänt kan varje latinsk kvadrat tas som multiplikationstabellen för en kvasigrupp på många sätt: kantraden (som innehåller kolumnrubrikerna) och kantkolumnen (som innehåller radrubrikerna) kan var och en vara valfri permutation av elementen. Se små latinska rutor och kvasigrupper .

Oändliga kvasigrupper

För en räkningsbart oändlig kvasigrupp Q är det möjligt att föreställa sig en oändlig array där varje rad och varje kolumn motsvarar något element q i Q , och där elementet a ∗ b finns i raden som motsvarar a och kolumnen som svarar på b . Även i denna situation säger den latinska kvadrategenskapen att varje rad och varje kolumn i den oändliga arrayen kommer att innehålla alla möjliga värden exakt en gång.

För en oräkneligt oändlig kvasigrupp, såsom gruppen av reella tal som inte är noll under multiplikation, gäller fortfarande den latinska kvadrategenskapen, även om namnet är något otillfredsställande, eftersom det inte är möjligt att producera den grupp av kombinationer som ovanstående idé om en oändlig array sträcker sig eftersom de reella talen inte alla kan skrivas i en sekvens . (Detta är dock något missvisande, eftersom realerna kan skrivas i en sekvens med längden ${\displaystyle {\mathfrak {c}}} ,$ med antagande av välordnande teoremet .)

Omvända egenskaper

Den binära operationen för en kvasigrupp är inverterbar i den meningen att både $L_{x}$ och ${\displaystyle R_{x}},$ vänster och höger multiplikationsoperatorer , är bijektiva och därmed inverterbara .

Varje loopelement har en unik vänster och höger invers som ges av

{\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e} x

\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}

En slinga sägs ha ( tvåsidiga ) inverser om $x^{\lambda }=x^{\rho }$ för alla x . I det här fallet betecknas det inversa elementet vanligtvis med $x^{-1}$ .

Det finns några starkare föreställningar om inverser i loopar som ofta är användbara:

En slinga har den vänstra inversa egenskapen om $x^{\lambda }(xy)=y$ för alla $x$ och $y$ . På motsvarande sätt, $L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}$ eller $x\backslash y=x ^{\lambda }y$ .
En slinga har den rätta inversa egenskapen om $(yx)x^{\rho }=y$ för alla $x$ och $y$ . På motsvarande sätt är $R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}$ eller $y/x=yx^ {\rho }$ .
En slinga har den antiautomorfa inversa egenskapen if $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ eller, ekvivalent, if $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$ .
En slinga har den svaga inversa egenskapen när $(xy)z=e$ om och endast om $x(yz)=e$ . Detta kan anges i termer av inverser via $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ eller motsvarande $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$ .

En slinga har den omvända egenskapen om den har både den vänstra och högra inversa egenskapen. Inversa egenskapsslingor har också de antiautomorfa och svaga inversa egenskaperna. Faktum är att varje slinga som uppfyller två av ovanstående fyra identiteter har den omvända egenskapen och uppfyller därför alla fyra.

Varje slinga som uppfyller de vänstra, högra eller antiautomorfa inversa egenskaperna har automatiskt tvåsidiga inverser.

Morfismer

En kvasigrupp eller loophomomorfism är en karta f : Q → P mellan två kvasigrupper så att f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Kvasigrupphomomorfismer bevarar nödvändigtvis vänster- och högerdelning, såväl som identitetselement (om de finns).

Homotopi och isotopi

Låt Q och P vara kvasigrupper. En kvasigrupphomotopi från Q till P är en trippel (α, β, γ) av kartor från Q till P så att

\alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,

för alla x , y i Q . En kvasigrupphomomorfism är bara en homotopi för vilken de tre kartorna är lika.

En isotopi är en homotopi för vilken var och en av de tre kartorna (α, β, γ) är en bijektion . Två kvasigrupper är isotopiska om det finns en isotopi mellan dem. I termer av latinska kvadrater ges en isotopi (α, β, γ) av en permutation av rader α, en permutation av kolumner β och en permutation på den underliggande elementmängden γ.

En autotopi är en isotopi från en kvasigrupp till sig själv. Uppsättningen av alla autotopier av en kvasigrupp bildar en grupp med automorfismgruppen som en undergrupp.

Varje kvasigrupp är isotop till en loop. Om en slinga är isotopisk för en grupp, så är den isomorf för den gruppen och är således själv en grupp. En kvasigrupp som är isotop för en grupp behöver dock inte vara en grupp. Till exempel är kvasigruppen på R med multiplikation given med ( x + y )/2 isotopisk för den additiva gruppen ( R , +) , men är inte i sig en grupp. Varje medial kvasigrupp är isotop för en abelsk grupp enligt Bruck-Toyoda-satsen .

Konjugering (parastrofe)

Vänster och höger division är exempel på att bilda en kvasigrupp genom att permutera variablerna i den definierande ekvationen. Från den ursprungliga operationen ∗ (dvs. x ∗ y = z ) kan vi bilda fem nya operationer: x o y := y ∗ x (motsatsen ), / och \, och deras motsatser. Det gör totalt sex kvasigruppoperationer, som kallas konjugaten eller parastrofer av ∗. Alla två av dessa operationer sägs vara "konjugerade" eller "parastrofiska" för varandra (och för dem själva).

Isostrof (paratopi)

Om mängden Q har två kvasigruppoperationer, ∗ och ·, och en av dem är isotopisk till ett konjugat av den andra, sägs operationerna vara isostrofiska med varandra. Det finns också många andra namn för detta förhållande av "isostroph", t.ex. paratopi .

Generaliseringar

Polyadiska eller multiära kvasigrupper

En n - är kvasigrupp är en mängd med en n -är operation , ( Q , f ) med f : Q ⁿ → Q , så att ekvationen f ( x ₁ ,..., x _n ) = y har en unik lösning för en variabel om alla de andra n variablerna specificeras godtyckligt. Polyadisk eller multiär betyder n -ary för något icke-negativt heltal n .

En 0-är, eller nullär , kvasigrupp är bara ett konstant element av Q . En 1-är, eller unär , kvasigrupp är en bijektion av Q till sig själv. En binär eller 2-är kvasigrupp är en vanlig kvasigrupp.

Ett exempel på en multiär kvasigrupp är en itererad gruppoperation, y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; det är inte nödvändigt att använda parenteser för att specificera operationsordningen eftersom gruppen är associativ. Man kan också bilda en multiär kvasigrupp genom att utföra valfri sekvens av samma eller olika grupp- eller kvasigruppoperationer, om operationsordningen är specificerad.

Det finns multiära kvasigrupper som inte kan representeras på något av dessa sätt. En n -är kvasigrupp är irreducerbar om dess operation inte kan inkluderas i sammansättningen av två operationer på följande sätt:

f( x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\ ,x_{j+1},\dots ,x_{n}),

där 1 ≤ i < j ≤ n och ( i, j ) ≠ (1, n ) . Finita irreducerbara n -ära kvasigrupper finns för alla n > 2 ; se Akivis och Goldberg (2001) för detaljer.

En n -är kvasigrupp med en n -är version av associativitet kallas en n -är grupp .

Höger- och vänsterkvasigrupper

En höger kvasigrupp ( Q , ∗, /) är en typ (2,2) algebra som uppfyller båda identiteterna: y = ( y / x ) ∗ x ; y = ( y ∗ x ) / x .

På liknande sätt är en vänster-kvasigrupp ( Q , ∗, \) en typ (2,2) algebra som uppfyller båda identiteterna: y = x ∗ ( x \ y ); y = x \ ( x ∗ y ).

Antal små kvasigrupper och loopar

Antalet isomorfismklasser av små kvasigrupper (sekvens A057991 i OEIS ) och loopar (sekvens A057771 i OEIS ) ges här:

Beställa	Antal kvasigrupper	Antal slingor
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1,411	6
6	1,130,531	109
7	12,198,455,835	23,746
8	2,697,818,331,680,661	106,228,849
9	15 224 734 061 438 247 321 497	9,365,022,303,540
10	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513	20,890,436,195,945,769,617
11	19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025	1,478,157,455,158,044,452,849,321,016

Se även

Divisionsring – en ring där varje element som inte är noll har en multiplikativ invers
Semigroup – en algebraisk struktur som består av en mängd tillsammans med en associativ binär operation
Monoid – en semigrupp med ett identitetselement
Plan ternär ring – har en additiv och multiplikativ slingstruktur
Problem i loopteori och kvasigruppteori
Matematik i Sudoku

Anteckningar

Akivis, MA; Goldberg, Vladislav V. (2001). "Lösning av Belousovs problem". Discussiones Mathematicae - Allmän algebra och tillämpningar . 21 (1): 93–103. arXiv : math/0010175 . doi : 10.7151/dmgaa.1030 . S2CID 18421746 .
Belousov, VD (1967). Grunderna för teorin om kvasigrupper och slingor ( på ryska). Moskva: Izdat. "Nauka". OCLC 472241611 .
Belousov, VD (1971). Algebraiska nät och kvasigrupper (på ryska). Kishinev: Izdat. "Štiinca". OCLC 8292276 .
Belousov, VD (1981). Elements of Quasigroup Theory: en specialkurs (på ryska). Kishinev: Kishinev State University Printing House. OCLC 318458899 .
Bruck, RH (1971) [1958]. En undersökning av binära system . Springer. ISBN 978-0-387-03497-3 .
Chein, O.; Pflugfelder, HO; Smith, JDH, red. (1990). Kvasigrupper och loopar: teori och tillämpningar . Berlin: Heldermann. ISBN 978-3-88538-008-5 .
Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs (2:a upplagan), CRC Press, ISBN 978-1-58488-506-1
Dudek, WA; Glazek, K. (2008). "Kring Hosszu-Gluskin-teorem för n-ary-grupper". Diskret matematik . 308 (21): 4861–76. arXiv : math/0510185 . doi : 10.1016/j.disc.2007.09.005 . S2CID 9545943 .
Pflugfelder, HO (1990). Kvasigrupper och loopar: Introduktion . Berlin: Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8 .
Smith, JDH (2007). En introduktion till kvasigrupper och deras representationer . CRC Tryck. ISBN 978-1-58488-537-5 .
Shcherbacov, VA (2017). Element av kvasigruppteori och tillämpningar . CRC Tryck. ISBN 978-1-4987-2155-4 .

externa länkar

kvasigrupper
"Quasi-group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]