Nästan Mathieu-operatör
Inom matematisk fysik uppstår nästan Mathieu-operatorn i studiet av kvanthalleffekten . Det ges av
agerar som en självadjoint operator på Hilbert-utrymmet . Här är parametrar. I ren matematik kommer dess betydelse från det faktum att vara ett av de bäst förstådda exemplen på en ergod Schrödinger-operatör . Till exempel, tre problem (nu alla lösta) av Barry Simons femton problem om Schrödinger-operatörer "för det tjugoförsta århundradet" innehöll nästan Mathieu-operatören. Inom fysiken kan nästan Mathieu-operatorerna användas för att studera metall till isolatorövergångar som i Aubry–André-modellen .
För kallas nästan Mathieu-operatorn ibland Harpers ekvation .
Den spektrala typen
Om är ett rationellt tal , så är en periodisk operator och enligt Floquet-teori är dess spektrum rent absolut kontinuerligt .
Nu till fallet när är irrationell . Eftersom transformationen är minimal, följer det att spektrumet för är inte beroende av . Å andra sidan, genom ergodicitet, är stöden för absolut kontinuerliga, singulära kontinuerliga och rena punktdelar av spektrumet nästan säkert oberoende av . Det är nu känt att
- För , har säkert ett rent absolut kontinuerligt spektrum. (Detta var ett av Simons problem.)
- För , har säkerligen rent singulart kontinuerligt spektrum för alla irrationella .
- För , nästan säkert rent punktspektrum och uppvisar Anderson-lokalisering . (Det är känt att nästan säkert inte kan ersättas med säkert.)
Att de spektrala måtten är singular när följer (genom Yoram Last och Simons arbete) från den nedre gränsen på Lyapunov-exponenten ges av
Denna nedre gräns bevisades oberoende av Joseph Avron, Simon och Michael Herman , efter ett tidigare nästan rigoröst argument av Serge Aubry och Gilles André. Faktum är att när tillhör spektrumet, blir ojämlikheten en jämlikhet (Aubry–André-formeln), bevisad av Jean Bourgain och Svetlana Jitomirskaya .
Spektrumets struktur
En annan slående egenskap hos nästan Mathieu-operatorn är att dess spektrum är en Cantor-uppsättning för alla irrationella och . Detta visades genom att Avila och Jitomirskaya löste det då berömda "tio martini-problemet" (också ett av Simons problem) efter flera tidigare resultat (inklusive generiskt och nästan säkert med avseende på parametrarna).
Dessutom är Lebesgue-måttet på spektrumet för den nästan Mathieu-operatören känt för att vara
för alla . För betyder detta att spektrumet har nollmått (detta föreslogs först av Douglas Hofstadter och blev senare ett av Simons problem). För upptäcktes formeln numeriskt av Aubry och André och bevisades av Jitomirskaya och Krasovsky. Tidigare Senaste hade bevisat denna formel för de flesta värden av parametrarna.
Studiet av spektrumet för leder till Hofstadter's butterfly , där spektrumet visas som en uppsättning.