Schröder–Bernsteins satser för operatoralgebror

Schröder –Bernsteins sats från mängdläran har analoger i kontextoperatorn algebras . Den här artikeln diskuterar sådana operatöralgebraiska resultat.

För von Neumann algebror

Antag att M är en von Neumann-algebra och E , F är projektioner i M . Låt ~ beteckna Murray-von Neumann-ekvivalensrelationen på M . Definiera en partiell ordning « på familjen av projektioner av E « F om E ~ F' ≤ F . Med andra ord, E « F om det finns en partiell isometri U ∈ M så att U*U = E och UU* ≤ F .

För slutna delrum M och N där projektionerna PM _är och PN _, PM _, på M respektive N element av M , M « N om « P _N .

Schröder –Bernstein-satsen säger att om M « N och N « M , så M ~ N .

Ett bevis, ett som liknar ett mängdteoretiskt argument, kan skissas på följande sätt. I vardagsspråk betyder N « M att N kan vara isometriskt inbäddad i M . Så

$M=M_{0}\uppsättning N_{0}$

₀₀ där N är en isometrisk kopia av N i M . Genom antagande är det också sant att N , alltså N , innehåller en isometrisk kopia M ₁ av M . Därför kan man skriva

$M=M_{0}\supset N_{0}\supset M_{1}.$

Genom induktion,

$M=M_{0}\supset N_{0}\supset M_{1}\supset N_{1}\supset M_{2}\supset N_{2}\supset \cdots .$

Det är tydligt att

$R=\cap _{i\geq 0}M_{i}=\cap _{i\geq 0}N_{i}.$

Låta

$M\ominus N{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}M\cap (N)^{\perp }.$

Så

$M=\oplus _{i\geq 0}(M_{i}\ominus N_{ i})\quad \oplus \quad \oplus _{j\geq 0}(N_{j}\ominus M_{j+1})\quad \oplus R$

och

$N_{0}=\oplus _{i\geq 1}(M_{i}\ominus N_{i})\quad \oplus \quad \oplus _{j\geq 0}(N_{j}\ ominus M_{j+1})\quad \oplus R.$

Lägga märke till

$M_{i}\ominus N_{i}\sim M\ominus N\quad {\mbox{för alla}}\quad i.$

Satsen följer nu av den räknebara additiviteten av ~.

Representationer av C*-algebror

Det finns också en analog till Schröder–Bernstein för representationer av C*-algebror . Om A är en C*-algebra, är en representation av A en *-homomorfism φ från A till L ( H ), de avgränsade operatorerna på något Hilbertrum H .

Om det finns en projektion P i L ( H ) där P φ ( a ) = φ ( a ) P för varje a i A , så kan en underrepresentation σ av φ definieras på ett naturligt sätt: σ ( a ) är φ ( a ) begränsad till intervallet P . Så φ kan då uttryckas som en direkt summa av två underrepresentationer φ = φ' ⊕ σ .

Två representationer φ ₁ och φ ₂ , på H ₁ respektive H ₂ , sägs vara enhetligt ekvivalenta om det finns en enhetlig operator U : H ₂ → H ₁ så att φ ₁ ( a ) U = Uφ ₂ ( a ), för varje a .

I den här inställningen lyder Schröder–Bernsteins sats :

Om två representationer ρ och σ , på Hilbert-utrymmena H respektive G , är var och en enhetligt ekvivalent med en underrepresentation av den andra, så är de enhetligt ekvivalenta.

Ett bevis som liknar det tidigare argumentet kan skisseras. Antagandet innebär att det finns surjektiva partiella isometrier från H till G och från G till H . Fixa två sådana partiella isometrier för argumentet. En har

$\rho =\rho _{1}\simeq \rho _{1}'\oplus \sigma _{1}\quad {\mbox{där}}\quad \sigma _{1}\simeq \sigma .$

I tur och ordning,

$\rho _{1}\simeq \rho _{1}'\oplus (\sigma _{1}'\oplus \rho _{2})\quad {\mbox{där}}\quad \rho _{2}\simeq \rho .$

Genom induktion,

$_{1}$

och

$\sigma _{1}\simeq \sigma _{1}'\oplus \rho _{2}'\oplus \sigma _{2}'\cdots \simeq (\oplus _{i\geq 2} \rho _{i}')\oplus (\oplus _{i\geq 1}\sigma _{i}').$

Nu erhålls varje ytterligare summering i det direkta summauttrycket med en av de två fixerade partiella isometrierna, alltså

$\rho _{i}'\simeq \rho _{j}'\quad {\mbox{and}}\quad \sigma _{i}'\simeq \sigma _{j}'\quad {\ mbox{för alla}}\quad i,j\;.$

Detta bevisar satsen.

Se även

• Schröder–Bernsteins sats för mätbara utrymmen
• Schröder–Bernstein fastighet

• B. Blackadar, Operator Algebras , Springer, 2006.