Semifield

I matematik är ett halvfält en algebraisk struktur med två binära operationer , addition och multiplikation, som liknar ett fält , men med vissa axiom avslappnade.

Översikt

Termen halvfält har två motstridiga betydelser, som båda inkluderar fält som ett specialfall.

• I projektiv geometri och finit geometri ( MSC 51A, 51E, 12K10) är ett halvfält en icke-associativ divisionsring med multiplikativt identitetselement. Mer exakt är det en icke-associativ ring vars element som inte är noll bildar en slinga under multiplikation. Med andra ord är ett halvfält en mängd S med två operationer + (addition) och · (multiplikation), så att
  • ( S ,+) är en abelsk grupp ,
  • multiplikation är distributiv till både vänster och höger,
  • det finns ett multiplikativt identitetselement , och
  • division är alltid möjlig: för varje a och varje icke-noll b i S finns det unika x och y i S för vilka b · x = a och y · b = a .

Observera särskilt att multiplikationen inte antas vara kommutativ eller associativ . Ett halvfält som är associativt är en divisionsring , och ett som är både associativt och kommutativt är ett fält . Ett halvfält enligt denna definition är ett specialfall av ett kvasifält . Om S är finit kan det sista axiomet i definitionen ovan ersättas med antagandet att det inte finns några nolldelare , så att a · b = 0 innebär att a = 0 eller b = 0. Observera att på grund av bristen på associativitet , är det sista axiomet inte ekvivalent med antagandet att varje element som inte är noll har en multiplikativ invers, vilket vanligtvis finns i definitioner av fält och divisionsringar.

• Inom ringteori , kombinatorik , funktionsanalys och teoretisk datavetenskap ( MSC 16Y60), är ett semifield en semiring ( S ,+,·) där alla icke-nollelement har en multiplikativ invers. Dessa objekt kallas också för egentliga halvfält . En variation av denna definition uppstår om S innehåller en absorberande nolla som skiljer sig från den multiplikativa enheten e , det krävs att elementen som inte är noll är inverterbara och a ·0 = 0· a = 0. Eftersom multiplikation är associativ (icke-noll) element i ett halvfält bildar en grupp . Emellertid är paret ( S ,+) bara en halvgrupp , dvs additiv invers behöver inte existera, eller i vardagsspråk "det finns ingen subtraktion". Ibland antas det inte att multiplikationen är associativ.

Primitivitet av halvfält

Ett halvfält D kallas höger (resp. vänster) primitivt om det har ett element w så att mängden icke-nollelement i D* är lika med mängden av alla höger (resp. vänster) huvudpotenser av w.

Exempel

Vi ger bara exempel på halvfält i den andra betydelsen, dvs additiva semigrupper med distributiv multiplikation. Dessutom är addition kommutativ och multiplikation är associativ i våra exempel.

• Positiva rationella tal med den vanliga additionen och multiplikationen bildar ett kommutativt halvfält.

  Detta kan förlängas med en absorberande 0.

• Positiva reella tal med den vanliga additionen och multiplikationen bildar ett kommutativt halvfält.

  Detta kan förlängas med en absorberande 0, vilket bildar sannolikheten semiring , som är isomorf till log semiring .

• Rationella funktioner av formen f / g , där f och g är polynom i en variabel med positiva koefficienter, bildar ett kommutativt halvfält.

  Detta kan utökas till att omfatta 0.

• De reella talen R kan ses som ett halvfält där summan av två element definieras som deras maximum och produkten som deras ordinarie summa; detta halvfält betecknas mer kompakt ( R , max, +). På liknande sätt är ( R , min, +) ett halvfält. Dessa kallas den tropiska semiringen .

  Detta kan förlängas med −∞ (en absorberande 0); detta är gränsen ( tropicalization ) för stockens semiring när basen går till oändlighet.

• Genom att generalisera det föregående exemplet, om ( A ,·, ≤) är en gitterordnad grupp så är ( A ,+,·) ett additivt idempotent halvfält med halvfältssumman definierad som summan av två element. Omvänt definierar varje additivt idempotent halvfält ( A ,+,·) en gitterordnad grupp ( A ,·,≤), där a ≤ b om och endast om a + b = b .
• Det booleska halvfältet B = {0, 1} med addition definierad av logisk eller , och multiplikation definierad av logisk och .

Se även

• Plan ternär ring (första sinnet)