Kvadratisk heltal

I talteorin är kvadratiska heltal en generalisering av de vanliga heltal till kvadratiska fält . Kvadratiska heltal är algebraiska heltal av grad två, det vill säga lösningar av formens ekvationer

x ² + bx + c = 0

med b och c (vanliga) heltal. När algebraiska heltal beaktas kallas de vanliga heltal ofta för rationella heltal .

Vanliga exempel på kvadratiska heltal är kvadratrötterna av rationella heltal, såsom √ 2 , och det komplexa talet i = √ −1 , som genererar de Gaussiska heltal . Ett annat vanligt exempel är den icke- reella kubikroten av enhet −1 + √ −3 / 2 , som genererar Eisenstein-heltalen .

Kvadratiska heltal förekommer i lösningarna av många Diophantine ekvationer , såsom Pells ekvationer , och andra ifrågasätter relaterade till integral kvadratiska former . Studiet av ringar av kvadratiska heltal är grundläggande för många frågor om algebraisk talteori .

Historia

Medeltida indiska matematiker hade redan upptäckt en multiplikation av kvadratiska heltal av samma D , vilket gjorde det möjligt för dem att lösa några fall av Pells ekvation .

Karakteriseringen som ges i § Explicit representation av kvadratiska heltal gavs först av Richard Dedekind 1871.

Definition

Ett kvadratiskt heltal är ett algebraiskt heltal av grad två. Mer uttryckligen är det ett komplext tal $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}$ , som löser en ekvation av formen x ² + bx + c = 0 , med b och c heltal . Varje kvadratiskt heltal som inte är ett heltal är inte rationellt – det är nämligen ett reellt irrationellt tal om b ² − 4 c > 0 och icke-reellt om b ² − 4 c < 0 – och ligger i ett unikt bestämt kvadratiskt fält ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)} ,$ förlängningen av $\mathbb {Q}$ genererad av kvadratroten av det unika kvadratfria heltal D som uppfyller b ² − 4 c = De ² för något heltal e . Om D är positivt är det kvadratiska heltal reellt. Om D < 0 är den imaginär (det vill säga komplex och icke-verklig).

De kvadratiska heltal (inklusive de vanliga heltalen) som tillhör ett kvadratiskt fält $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ bildar en integral domän som kallas ringen av heltal av $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$

Även om de kvadratiska heltal som hör till ett givet kvadratiskt fält bildar en ring , är uppsättningen av alla kvadratiska heltal inte en ring eftersom den inte är stängd under addition eller multiplikation. Till exempel är $1+{\sqrt {2}}$ och ${\sqrt {3}}$ kvadratiska heltal, men $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ och $(1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}$ är inte, eftersom deras minimala polynom har grad fyra.

Explicit representation

Här och i det följande tillhör de kvadratiska heltal som anses tillhöra ett kvadratiskt fält $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),$ där D är en kvadratfri heltal. Detta begränsar inte generaliteten, eftersom likheten   √ a ² D = a √ D (för alla positiva heltal a ) innebär $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).$

Ett element x av $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ är ett kvadratiskt heltal om och endast om det finns två heltal a och b så att antingen

$x=a+b{\sqrt {D}},$

eller, om D − 1 är en multipel av 4

$x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},$ med a och b båda udda

Med andra ord kan varje kvadratiskt heltal skrivas a + ωb   , där a och b är heltal, och där ω definieras av

$\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{ if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod { 4}}\end{cases}}$

(eftersom D har antagits kvadratfritt är fallet $D\equiv 0{\pmod {4}}$ omöjligt, eftersom det skulle antyda att D är delbart med kvadraten 4 ).

Norm och konjugation

Ett kvadratiskt heltal i $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ kan skrivas

a + b √ D ,

där a och b antingen är båda heltal, eller bara om D ≡ 1 (mod 4) båda halvorna av udda heltal . Normen för ett sådant kvadratiskt heltal är

N ( a + b √ D ) = a ² − Db ² .

Normen för ett kvadratiskt heltal är alltid ett heltal. Om D < 0 är normen för ett kvadratiskt heltal kvadraten på dess absoluta värde som ett komplext tal (detta är falskt om D > 0 ). Normen är en fullständigt multiplikativ funktion , vilket innebär att normen för en produkt av kvadratiska heltal alltid är produkten av deras normer.

Varje kvadratiskt heltal a + b √ D har ett konjugat

${\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=ab{\sqrt {D}}.$

Ett kvadratiskt heltal har samma norm som dess konjugat, och denna norm är produkten av det kvadratiska heltal och dess konjugat. Konjugatet av en summa eller en produkt av kvadratiska heltal är summan eller produkten (respektive) av konjugaten. Detta betyder att konjugationen är en automorfism av ringen av heltal $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ — se § Kvadratiska heltalsringar nedan.

Kvadratiska heltalsringar

Varje kvadratfritt heltal (olikt från 0 och 1) D definierar en kvadratisk heltalsring , som är den integraldomän som består av de algebraiska heltal som finns i $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ Det är mängden   Z [ ω ] = { a + ωb : a , b ∈ Z }, där ${ \displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ om D = 4 k + 1 , och ω = √ D annars. Det betecknas ofta ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}} ,$ eftersom det är ringen av heltal i ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)} ,$ som är integralslutningen av Z i $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ Ringen Z [ ω ] består av alla rötter till alla ekvationer x ² + Bx + C = 0 vars diskriminant B ² − 4 C är produkten av D med kvadraten av ett heltal. Speciellt √ D tillhör Z [ ω ] , som är en rot av ekvationen x ² − D = 0 , som har 4 D som sin diskriminant.

Kvadratroten ur ett heltal är ett kvadratiskt heltal, eftersom varje heltal kan skrivas n = m ² D , där D är ett kvadratfritt heltal, och dess kvadratrot är en rot av x ² − m ² D = 0 .

Grundsatsen för aritmetik är inte sann i många ringar av kvadratiska heltal. Det finns dock en unik faktorisering för ideal , som uttrycks av det faktum att varje ring av algebraiska heltal är en Dedekind-domän . Eftersom det är de enklaste exemplen på algebraiska heltal, är kvadratiska heltal vanligtvis startexemplen för de flesta studier av algebraisk talteori .

De kvadratiska heltalsringarna delar sig i två klasser beroende på tecknet D . Om D > 0 är alla element i ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}} reella, och ringen$ är en riktig kvadratisk heltalsring . Om D < 0 är de enda reella elementen i ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ de vanliga heltal, och ringen är en komplex kvadratisk heltalsring .

För verkliga kvadratiska heltalsringar anges klassnumret – som mäter misslyckandet med unik faktorisering – i OEIS A003649 ; för det imaginära fallet ges de i OEIS A000924 .

Enheter

Ett kvadratiskt heltal är en enhet i ringen av heltal $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ om och endast om dess norm är 1 eller −1 . I det första fallet är dess multiplikativa invers dess konjugat. Det är negationen av dess konjugat i det andra fallet.

Om D < 0 har ringen av heltal $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ högst sex enheter. När det gäller de Gaussiska heltal ( D = −1 ), är de fyra enheterna 1, −1, √ −1 , − √ −1 . I fallet med Eisenstein-heltalen ( D = −3 ) är de sex enheterna ±1, ±1 ± √ −3 / 2 . För alla andra negativa D finns det bara två enheter, som är 1 och −1 .

Om D > 0 , har ringen av heltal för $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ oändligt många enheter som är lika med ± u ⁱ , där i är ett godtyckligt heltal, och u är en viss enhet som kallas en fundamental enhet . Givet en grundläggande enhet u , finns det tre andra grundläggande enheter, dess konjugat ${\overline {u}},$ och även $-u$ och $-{\overline {u}}.$ Vanligtvis kallar man " den grundläggande enheten" den unika som har ett absolut värde större än 1 (som ett reellt tal). Det är den unika grundläggande enheten som kan skrivas som a + b √ D , med a och b positiva (heltal eller halvor av heltal).

Grundenheterna för de 10 minsta positiva kvadratfria D är 1 + √ 2 , 2 + √ 3 , 1 + √ 5 / 2 (det gyllene snittet ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 , 3 + √ 13 / 2 , 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . För större D kan koefficienterna för den fundamentala enheten vara mycket stora . Till exempel, för D = 19, 31, 43 är grundenheterna 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 respektive 3482 + 531 √ 43 .

Exempel på komplexa kvadratiska heltalsringar

Gaussiska heltal

Eisenstein primtal

För D < 0 är ω ett komplext ( imaginärt eller på annat sätt icke-reellt) tal. Därför är det naturligt att behandla en kvadratisk heltalsring som en uppsättning algebraiska komplexa tal .

• Ett klassiskt exempel är ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]} ,$ de Gaussiska heltal , som introducerades av Carl Gauss omkring 1800 för att ange hans biquadratic reciprocity-lag.
• Elementen i ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\ mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]$ kallas Eisenstein-heltal .

Båda ringarna som nämns ovan är ringar med heltal av cyklotomiska fält Q (ζ ₄ ) och Q (ζ ₃ ) på motsvarande sätt. Däremot Z [ √ −3 ] inte ens en Dedekind-domän .

Båda ovanstående exempel är principiella idealringar och även euklidiska domäner för normen. Detta är inte fallet för

${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \ vänster[{\sqrt {-5}}\,\right],$

vilket inte ens är en unik faktoriseringsdomän . Detta kan visas på följande sätt.

I ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},$ har vi

$9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).$

Faktorerna 3, $2+{\sqrt {-5}}$ och $2-{\sqrt {-5}}$ är irreducerbara , eftersom de alla har en norm av 9, och om de inte var irreducerbara skulle de ha en faktor av norm 3, vilket är omöjligt, normen för ett element som skiljer sig på ± 1 är minst 4. Faktoriseringen av 9 till irreducerbara faktorer är alltså inte unik.

Idealen ⟨ $\langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle$ ⟨ $\displaystyle \langle 3,1- {\sqrt {-5}}\,\rangle }$ är inte principal , eftersom en enkel beräkning visar att deras produkt är det ideal som genereras av 3, och om de var principal skulle detta innebära att 3 inte skulle vara irreducerbar.

Exempel på verkliga kvadratiska heltalsringar

Det gyllene snittets krafter

För D > 0 är ω ett positivt irrationellt reellt tal , och den motsvarande kvadratiska heltalsringen är en uppsättning algebraiska reella tal. Lösningarna av Pells ekvation X ² − DY ² = 1 , en diofantisk ekvation som har studerats mycket, är enheterna för dessa ringar, för D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• För D 5 ω = 1+ √ 5/2 = . är det gyllene snittet Denna ring studerades av Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Dess enheter har formen ± ω ⁿ , där n är ett godtyckligt heltal. Denna ring uppstår också från att studera 5-faldig rotationssymmetri på euklidiskt plan, till exempel Penrose-plattor .
• Den indiska matematikern Brahmagupta behandlade Pells ekvation X ² − 61 Y ² = 1 , motsvarande ringen är Z [ √ 61 ] . Vissa resultat presenterades för det europeiska samfundet av Pierre Fermat 1657.

Huvudringar av kvadratiska heltal

Den unika faktoriseringsegenskapen verifieras inte alltid för ringar med kvadratiska heltal, som ses ovan för fallet med Z [ √ −5 ] . Men som för varje Dedekind-domän är en ring av kvadratiska heltal en unik faktoriseringsdomän om och bara om det är en huvudsaklig idealdomän . Detta inträffar om och endast om klassnumret för motsvarande kvadratiska fält är ett.

De imaginära ringarna av kvadratiska heltal som är de viktigaste idealringarna har fastställts fullständigt. Dessa är ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ för

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

antogs först av Gauss och bevisades av Kurt Heegner , även om Heegners bevis inte troddes förrän Harold Stark gav ett senare bevis 1967 (se Stark–Heegners teorem) . Detta är ett specialfall av det berömda klassnummerproblemet .

Det finns många kända positiva heltal D > 0 , för vilka ringen av kvadratiska heltal är en principiell idealring. Den fullständiga listan är dock inte känd; det är inte ens känt om antalet av dessa huvudsakliga idealringar är ändligt eller inte.

Euklidiska ringar av kvadratiska heltal

Se även: Euklidisk domän § Norm-euklidiska fält

När en ring av kvadratiska heltal är en principiell idealdomän, är det intressant att veta om det är en euklidisk domän . Detta problem har lösts helt enligt följande.

Utrustad med normen $N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|$ som en euklidisk funktion , ${\mathcal { O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ är en euklidisk domän för negativ D när

D = −1, −2, −3, −7, −11 ,

och, för positiv D , när

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (sekvens A048981 i OEIS ) .

Det finns ingen annan ring av kvadratiska heltal som är euklidisk med normen som en euklidisk funktion.

För negativ D är en ring av kvadratiska heltal euklidisk om och endast om normen är en euklidisk funktion för den. Därav följer att, för

D = −19, −43, −67, −163 ,

de fyra motsvarande ringarna av kvadratiska heltal är bland de sällsynta kända exemplen på huvudsakliga idealdomäner som inte är euklidiska domäner.

Å andra sidan innebär den generaliserade Riemann-hypotesen att en ring av reella kvadratiska heltal som är en principiell idealdomän också är en euklidisk domän för någon euklidisk funktion, som verkligen kan skilja sig från den vanliga normen. Värdena D = 14, 69 var de första för vilka ringen av kvadratiska heltal visade sig vara euklidisk, men inte normeuklidisk.

Anteckningar

•    Bourbaki, Nicolas (1994). Element i matematikens historia . Översatt av Meldrum, John. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6 . MR 1290116 .
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 uppl.), Vieweg . Hämtad 5 augusti 2009
• Dummit, DS och Foote, RM, 2004. Abstrakt Algebra , 3:e upplagan.
• Artin, M, Algebra , 2:a uppl., kap 13.

Vidare läsning

• JS Milne. Algebraisk talteori , version 3.01, 28 september 2008. föreläsningsanteckningar online