Normalt egenvärde

Inom matematiken, närmare bestämt inom spektralteori , kallas ett egenvärde för en sluten linjär operator normal om rymden medger en nedbrytning till en direkt summa av ett finitdimensionellt generaliserat egenrum och ett invariant delrum där $A-\ lambda I$ har en begränsad invers. Uppsättningen av normala egenvärden sammanfaller med det diskreta spektrumet .

Rot linjär

Låt ${\mathfrak {B}}$ vara ett Banach-mellanslag . Den linjära roten ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ för en linjär operator $A:\,{\mathfrak {B}} \to {\mathfrak {B}}$ med domän ${\mathfrak {D}}(A)$ som motsvarar egenvärdet $\lambda \in \sigma _{p}(A)$ definieras som

${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\{x\ i {\mathfrak {D}}(A):\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{j}x\in {\mathfrak {D}}(A)\,\forall j \in \mathbb {N} ,\,j\leq k;\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0\}\subset {\mathfrak {B}},$

där $I_{\mathfrak {B}}$ är identitetsoperatorn i ${\mathfrak {B}}$ . Denna uppsättning är ett linjärt grenrör men inte nödvändigtvis ett vektorrum , eftersom det inte nödvändigtvis är stängt i ${\mathfrak {B}}$ . Om denna mängd är stängd (till exempel när den är finitdimensionell) kallas den för det generaliserade egenutrymmet för $A$ som motsvarar egenvärdet $\lambda$ .

Definition av ett normalt egenvärde

Ett egenvärde $\lambda \in \sigma _{p}(A)$ för en sluten linjär operator $A:\,{\mathfrak {B}} \to {\mathfrak {B}}$ i Banach-utrymmet ${\mathfrak {B}}$ med domän ${\mathfrak {D}}(A)\subset { \mathfrak {B}}$ kallas normal (i den ursprungliga terminologin motsvarar $\lambda$ ett normalt delande änddimensionellt rotunderrum ), om följande två villkor är uppfyllda:

1. Den algebraiska multipliciteten av $\lambda$ är finit: $\nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)<\ infty$ , där ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ är rotlinjen av $A$ som motsvarar egenvärdet $\lambda$ ;
2. Mellanrummet ${\mathfrak {B}}$ skulle kunna dekomponeras till en direkt summa ${\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_ {\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }$ , där ${\mathfrak {N}}_{\lambda }$ är ett invariant delrum av ${\ displaystyle A}$ där $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ har en begränsad invers.

Det vill säga, begränsningen $A_{2}$ av $A$ till ${\mathfrak {N}}_{\lambda }$ är en operator med domän ${\mathfrak {D}}(A_{2})={\mathfrak {N}}_{\lambda }\cap {\mathfrak {D}}(A)$ och med området ${\mathfrak {R}}(A_{2}-\lambda I)\subset {\mathfrak {N}}_{\lambda }$ som har en begränsad invers.

Ekvivalenta karakteriseringar av normala egenvärden

Låt $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ vara en sluten linjär tätt definierad operator i Banachrymden ${\mathfrak {B }}$ . Följande påståenden är likvärdiga (sats III.88):

1. $\lambda \in \sigma (A)$ är ett normalt egenvärde;
2. $\lambda \in \sigma (A)$ är en isolerad punkt i $\sigma (A)$ och $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ är semi-Fredholm ;
3. $\lambda \in \sigma (A)$ är en isolerad punkt i $\sigma (A)$ och $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ är Fredholm ;
4. $\lambda \in \sigma (A)$ är en isolerad punkt i $\sigma (A)$ och $A-\lambda I_{\mathfrak {B}}$ är Fredholm med index noll;
5. $\lambda \in \sigma (A)$ är en isolerad punkt i $\sigma (A)$ och rangordningen för motsvarande Riesz-projektor $P_{\lambda }$ är ändlig;
6. $\lambda \in \sigma (A)$ är en isolerad punkt i $\sigma (A)$ , dess algebraiska multiplicitet $\nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ är ändlig, och området för $A-\lambda I_{\mathfrak {B} }$ är stängd .

Om $\lambda$ är ett normalt egenvärde, så sammanfaller den rotlinjära ${\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)$ med räckvidden för Riesz-projektorn, ${\mathfrak {R}}(P_{\lambda })$ .

Relation till det diskreta spektrumet

Ovanstående ekvivalens visar att uppsättningen av normala egenvärden sammanfaller med det diskreta spektrumet , definierat som uppsättningen av isolerade punkter i spektrumet med ändlig rangordning för motsvarande Riesz-projektor.

Nedbrytning av spektrumet av icke-självsammanhängande operatörer

Spektrum för en sluten operator $A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ i Banach-utrymmet ${\mathfrak {B}}$ kan sönderdelas i föreningen av två disjunkta uppsättningar, uppsättningen av normala egenvärden och den femte typen av det väsentliga spektrumet :

$\sigma (A)=\{{\text{normala egenvärden för}}\ A\}\cup \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A).$

Se även

• Nedbrytning av spektrum (funktionell analys)
• Diskret spektrum (matematik)
• Väsentligt spektrum
• Fredholm operatör
• Operatörsteori
• Resolvent formalism
• Riesz projektor
• Spektrum (funktionell analys)
• Spektrum för en operatör