Antihomomorfism

Inom matematiken är en antihomomorfism en typ av funktion definierad på mängder med multiplikation som omvänder multiplikationsordningen . En antiautomorfism är en bijektiv antihomomorfism, dvs en antiisomorfism , från en uppsättning till sig själv. Av bijektivitet följer att antiautomorfismer har inverser, och att inversen av en antiautomorfism också är en antiautomorfism.

Definition

Informellt är en antihomomorfism en karta som ändrar multiplikationsordningen. Formellt är en antihomomorfism mellan strukturerna $X$ och $Y$ en homomorfism ${\displaystyle \phi \colon X\to Y^{\text{op}}} ,$ där $Y^{\text{op}}$ är lika med $Y$ som en mängd, men har sin multiplikation omvänd till den som definieras på $Y$ . Betecknar den (i allmänhet icke- kommutativa ) multiplikationen på $Y$ med $\cdot$ , multiplikationen på $Y^{\text{op}}$ , betecknad med $*$ , definieras av $x*y:=y\cdot x$ . Objektet $Y^{\text{op}}$ kallas det motsatta objektet till $Y$ (respektive motsatt grupp , motsatt algebra , motsatt kategori etc.).

Denna definition är ekvivalent med den för en homomorfism $\phi \colon X^{\text{op}}\to Y$ (omvänd operation före eller efter applicering av kartan är ekvivalent). Formellt är det en funktion att skicka $X$ till $X^{\text{op}}$ och agera som identitet på kartor (i själva verket en involution ).

Exempel

I gruppteorin är en antihomomorfism en karta mellan två grupper som omvänder multiplikationsordningen. Så om φ : X → Y är en grupp antihomomorfism,

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

för alla x , y i X .

Kartan som skickar x till x ⁻¹ är ett exempel på en grupp antiautomorfism. Ett annat viktigt exempel är transponeringsoperationen i linjär algebra , som tar radvektorer till kolumnvektorer . Vilken vektor-matrisekvation som helst kan transponeras till en ekvivalent ekvation där ordningen på faktorerna är omvänd.

Med matriser ges ett exempel på en antiautomorfism av transponeringskartan. Eftersom både inversion och transponering ger antiautomorfismer är deras sammansättning en automorfism. Denna involution kallas ofta den motstridiga kartan, och den ger ett exempel på en yttre automorfism av den allmänna linjära gruppen GL( n , F ) , där F är ett fält, utom när | F | = 2 och n = 1 eller 2 , eller | F | = 3 och n = 1 (dvs för grupperna GL(1, 2) , GL(2, 2) och GL(1, 3) ).

I ringteorin är en antihomomorfism en karta mellan två ringar som bevarar addition, men vänder multiplikationsordningen. Så φ : X → Y är en ringantihomomorfism om och endast om:

φ (1) = 1

φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y )

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

för alla x , y i X .

För algebror över ett fält K måste φ vara en K - linjär karta över det underliggande vektorrummet . Om det underliggande fältet har en involution kan man istället be φ vara konjugat-linjär , som i konjugat transponera, nedan.

Involutioner

Det är ofta så att antiautomorfismer är involutioner , dvs kvadraten på antiautomorfismen är identitetskartan ; dessa kallas också involutiva antiautomorfism s . Till exempel, i vilken grupp som helst är kartan som skickar x till dess inversa x ⁻¹ en involutiv antiautomorfism.

En ring med en involutiv antiautomorfism kallas en *-ring , och dessa utgör en viktig klass av exempel .

Egenskaper

Om källan X eller målet Y är kommutativ, så är en antihomomorfism samma sak som en homomorfism .

Sammansättningen av två antihomomorfismer är alltid en homomorfism, eftersom omvänd ordning två gånger bevarar ordningen . Sammansättningen av en antihomomorfism med en homomorfism ger en annan antihomomorfism.

Se även

• Semigrupp med involution

• Weisstein, Eric W. "Antihomomorphism" . MathWorld .