Väsentligt spektrum

I matematik är det väsentliga spektrumet för en begränsad operator (eller, mer allmänt, för en tätt definierad sluten linjär operator ) en viss delmängd av dess spektrum , definierad av ett tillstånd av typen som säger, grovt sett, "misslyckas dåligt med att vara inverterbar".

Det väsentliga spektrumet av självanslutna operatörer

I formella termer, låt X vara ett Hilbert-mellanslag och låt T vara en självadjoint operator på X .

Definition

Det väsentliga spektrumet för T , vanligtvis betecknat σ _ess ( T ), är mängden av alla komplexa tal λ så att

$T-\lambda I_{X}$

är inte en Fredholm-operator , där $I_{X}$ anger identitetsoperatorn på X , så att $I_{X}(x)=x$ för alla x i X . (En operatör är Fredholm om dess kärna och kokkärna är ändligdimensionella.)

Egenskaper

Det väsentliga spektrumet är alltid stängt , och det är en delmängd av spektrumet . Eftersom T är självadjoint, finns spektrumet på den reella axeln.

Det väsentliga spektrumet är oföränderligt under kompakta störningar. Det vill säga, om K är en kompakt självadjoint operator på X , så sammanfaller de väsentliga spektra för T och det för ${\displaystyle T+K} .$ Detta förklarar varför det kallas det väsentliga spektrumet: Weyl (1910) definierade ursprungligen det väsentliga spektrumet för en viss differentialoperator till att vara spektrumet oberoende av randvillkor.

Weyls kriterium för det väsentliga spektrumet är följande. För det första är ett tal λ i spektrumet av T om och endast om det finns en sekvens {ψ _k } i utrymmet X så att $\Vert \psi _{k}\Vert =1$ och

$\lim _{k\to \infty }\left\|T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\ höger\|=0.$

Dessutom är λ i det väsentliga spektrumet om det finns en sekvens som uppfyller detta villkor, men sådan att den inte innehåller någon konvergent delsekvens (detta är fallet om t.ex. $\{\psi _{k}\ }$ är en ortonormal sekvens); en sådan sekvens kallas en singular sekvens .

Det diskreta spektrumet

Det väsentliga spektrumet är en delmängd av spektrumet σ, och dess komplement kallas det diskreta spektrumet , så

$\sigma _{\mathrm {skiva} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T).$

Om T är självadjoint, så är per definition ett tal λ i det diskreta spektrumet av T om det är ett isolerat egenvärde av finit multiplicitet, vilket betyder att rummets dimension

$\{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}$

har ändlig men icke-noll dimension och att det finns en ε > 0 så att μ ∈ σ( T ) och |μ−λ| < ε innebär att μ och λ är lika. (För allmänna nonselfadjoint-operatorer i Banach-utrymmen , per definition, är ett tal $\lambda$ i det diskreta spektrumet om det är ett normalt egenvärde ; eller, ekvivalent, om det är en isolerad punkt i spektrumet och rangordningen av motsvarande Riesz-projektor är ändlig.)

Det väsentliga spektrumet av slutna operatörer i Banach-utrymmen

Låt X vara ett Banachmellanslag och låt $T:\,X\to X$ vara en sluten linjär operator på X med tät domän $D(T)$ . Det finns flera definitioner av det väsentliga spektrumet, som inte är likvärdiga.

1. Det väsentliga spektrumet $\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)$ är mängden av alla λ så att $T-\ lambda I_{X}$ är inte semi-Fredholm (en operator är semi-Fredholm om dess intervall är stängt och dess kärna eller dess cokernel är finitdimensionell).
2. Det väsentliga spektrumet $\sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)$ är mängden av alla λ så att området för $T-\lambda I_{X}$ är inte stängd eller kärnan i $T-\lambda I_{X}$ är oändlig dimensionell.
3. Det väsentliga spektrumet $\sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)$ är mängden av alla λ så att $T-\ lambda I_{X}$ är inte Fredholm (en operator är Fredholm om dess intervall är stängt och både kärnan och kokkärnan är ändlig-dimensionella).
4. Det väsentliga spektrumet $\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)$ är mängden av alla λ så att $T-\ lambda I_{X}$ är inte Fredholm med index noll (indexet för en Fredholm-operator är skillnaden mellan dimensionen på kärnan och dimensionen på kokkärnan).
5. Det väsentliga spektrumet $\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)$ är föreningen av σ _ess,1 ( T ) med alla komponenter i $\mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)$ som inte skär upplösningsmängden $\mathbb {C} \setminus \sigma (T)$ .

Vart och ett av de ovan definierade väsentliga spektra ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)} ,$ 1 $\displaystyle 1\leq k\ leq 5}$ , är stängd. Dessutom,

$\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T) \subset \mathbb {C} ,$

och någon av dessa inneslutningar kan vara strikta. För självanslutna operatörer sammanfaller alla ovanstående definitioner av det väsentliga spektrumet.

Definiera radien för det väsentliga spektrumet med

$r_{\mathrm {ess} ,k}(T)=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)\}.$

Även om spektrat kan vara olika, är radien densamma för alla k .

Definitionen av mängden $\sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)$ är ekvivalent med Weyls kriterium: ${\ displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$ är mängden av alla λ för vilka det finns en singularis.

Det väsentliga spektrumet $\sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)$ är invariant under kompakta störningar för k = 1,2,3,4, men inte för k = 5. Mängden $\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)$ ger den del av spektrumet som är oberoende av kompakta störningar, dvs.

$\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (T+K),$

där $B_{0}(X)$ betecknar uppsättningen kompakta operatorer på X (DE Edmunds och WD Evans, 1987).

Spektrum för en sluten tätt definierad operator T kan sönderdelas till en disjunkt förening

$\sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\bigsqcup \sigma _{ \mathrm {d} }(T)$ ,

där $\sigma _{\mathrm {d} }(T)$ är det diskreta spektrumet för T .

Se även

• Spektrum (funktionell analys)
• Resolvent formalism
• Nedbrytning av spektrum (funktionsanalys)
• Diskret spektrum (matematik)
• Spektrum för en operatör
• Operatörsteori
• Fredholms teori

Självadjointärendet diskuteras i

•   Reed, Michael C .; Simon, Barry (1980), Metoder för modern matematisk fysik: Funktionell analys, vol. 1, San Diego: Academic Press, ISBN 0-12-585050-6
•   Teschl, Gerald (2009). Matematiska metoder i kvantmekanik; Med applikationer till Schrödinger-operatörer . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5 .

En diskussion om spektrumet för allmänna operatörer finns i

•   DE Edmunds och WD Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2 .

Den ursprungliga definitionen av det väsentliga spektrumet går tillbaka till

• H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68 , 220–269.