Magma (algebra)

I abstrakt algebra är en magma , binär eller, sällan, groupoid en grundläggande sorts algebraisk struktur . Specifikt består en magma av en uppsättning utrustad med en enda binär operation som måste stängas per definition. Inga andra fastigheter åläggs.

Historia och terminologi

Termen groupoid introducerades 1927 av Heinrich Brandt som beskrev sin Brandt groupoid (översatt från tyska Gruppoid ). Termen antogs sedan av B. A. Hausmann och Øystein Ore (1937) i betydelsen (av en mängd med en binär operation) som används i denna artikel. I ett par recensioner av efterföljande artiklar i Zentralblatt höll Brandt inte med om denna överbelastning av terminologi. Brandt groupoid är en groupoid i den mening som används i kategoriteorin, men inte i den mening som används av Hausmann och Ore. Ändå använder inflytelserika böcker inom semigroup theory, inklusive Clifford och Preston (1961) och Howie (1995) groupoid i betydelsen av Hausmann och Ore. Hollings (2014) skriver att termen groupoid är "kanske oftast används i modern matematik" i den mening som ges till det i kategoriteorin.

Enligt Bergman och Hausknecht (1996): "Det finns inget allmänt accepterat ord för en mängd med en inte nödvändigtvis associativ binär operation. Ordet groupoid används av många universella algebraister, men arbetare inom kategoriteori och relaterade områden protesterar starkt mot denna användning. eftersom de använder samma ord för att betyda 'kategori där alla morfismer är inverterbara'. Termen magma användes av Serre [Lie Algebras and Lie Groups, 1965]." Det förekommer också i Bourbakis Éléments de mathématique , Algèbre, kapitlen 1 à 3, 1970 .

Definition

En magma är en mängd M som matchas med en operation • som skickar två godtyckliga element a , b ∈ M till ett annat element, a • b ∈ M . Symbolen • är en allmän platshållare för en korrekt definierad operation. För att kvalificera sig som en magma måste mängden och operationen ( M , •) uppfylla följande krav (känd som magma eller stängningsaxiom ):

För alla a , b i M , är resultatet av operationen a • b också i M .

Och i matematisk notation:

a,b\in M\implicerar a\cdot b\in M.

Om • istället är en partiell operation , så kallas ( M , •) en partiell magma eller oftare en partiell groupoid .

Morfism av magma

En morfism av magma är en funktion f : M → N som kartlägger magma M till magma N som bevarar den binära operationen:

f ( x • _M y ) = f ( x ) • _N f ( y ),

där • _M och • N _betecknar den binära operationen på M respektive N.

Notation och kombinatorik

Magmaoperationen kan tillämpas upprepade gånger, och i det allmänna, icke-associativa fallet är det ordningen som har betydelse, vilket är noterat med parentes. Också operationen • utelämnas ofta och noteras genom sida:

(a • (b • c)) • d \equiv (a (bc)) d .

En stenografi används ofta för att reducera antalet parenteser, där de innersta operationerna och paren av parenteser utelämnas, som bara ersätts med sida: $xy • z \equiv (x • y) • z$ . Till exempel är ovanstående förkortat till följande uttryck, som fortfarande innehåller parenteser:

(a • bc) d .

Ett sätt att helt undvika användningen av parenteser är prefixnotation , där samma uttryck skulle skrivas $•• a • bcd$ . Ett annat sätt, bekant för programmerare, är postfix-notation ( omvänd polsk notation ), där samma uttryck skulle skrivas $abc •• d •$ , där exekveringsordningen helt enkelt är från vänster till höger (ingen currying ).

Uppsättningen av alla möjliga strängar som består av symboler som betecknar element i magman och uppsättningar av balanserade parenteser kallas Dyck-språket . Det totala antalet olika sätt att skriva $n$ applikationer av magmaoperatorn ges av det katalanska talet $C n$ . Således, till exempel, $C 2 = 2$ , vilket bara är påståendet att $(ab) c$ och $a (bc)$ är de enda två sätten att para ihop tre element i en magma med två operationer. $a Mindre b (cd))$ trivialt är $(C3 = 5$ : $((ab) c) d$ , $(a (bc)) d$ , $(ab)(cd)$ , $a ((bc) d)$ och .

Det finns $n n 2$ magma med $n$ element, så det finns 1, 1, 16, 19683, 4 294 967 296 , ... (sekvens A002489 i OEIS ) magma med 0, 1, 2, 3, 4, .. .element. Motsvarande antal icke- isomorfa magma är 1, 1, 10, 3330, 178 981 952 , ... (sekvens A001329 i OEIS ) och antalet samtidigt icke-isomorfa och icke- antiisomorfa magma är 1, 1, , 1734, 89 521 056 , ... (sekvens A001424 i OEIS ).

Gratis magma

En fri magma M _X på en mängd X är den "mest generella möjliga" magma som genereras av X (dvs. det finns inga relationer eller axiom som påtvingas generatorerna; se fritt objekt ). Den binära operationen på M _X bildas genom att var och en av de två operanderna lindas inom parentes och placeras intill varandra i samma ordning. Till exempel:

a • b = (a)(b),

a • (a • b) = (a)((a)(b)),

(a • a) • b = ((a)(a))(b) .

M _X kan beskrivas som en uppsättning icke-associativa ord på X med bibehållna parenteser.

Det kan också ses, i termer som är bekanta inom datavetenskap , som magma av binära träd med löv märkta av element av X . Operationen går ut på att sammanfoga träd vid roten. Det har därför en grundläggande roll i syntax .

En fri magma har den universella egenskapen att om f : X → N är en funktion från X till valfri magma N , så finns det en unik förlängning av f till en morfism av magma f ′

f ′ : M _X → N.

Typer av magma

Algebraiska strukturer mellan magma och grupper

Magmas studeras inte ofta som sådana; istället finns det flera olika sorters magma, beroende på vilka axiom operationen krävs för att uppfylla. Vanligt studerade typer av magma inkluderar:

Quasigroup : En magma där division alltid är möjlig.
- Loop : En kvasigrupp med ett identitetselement .
Semigroup : En magma där operationen är associativ .
- Monoid : En halvgrupp med ett identitetselement.
Invers halvgrupp : En halvgrupp med invers . (Också en kvasigrupp med associativitet)
Grupp : En magma med invers, associativitet och ett identitetselement.

Observera att var och en av delbarhet och inverterbarhet innebär avbrytningsegenskapen .

Magma med kommutativitet

Kommutativ magma : En magma med kommutativitet.
Kommutativ monoid : En monoid med kommutativitet.
Abelisk grupp : En grupp med kommutativitet.

Klassificering efter fastigheter

Gruppliknande strukturer
	Helhet	Associativitet	Identitet	Omvänd	Kommutativitet
Semigruppoid	Onödigt	Nödvändig	Onödigt	Onödigt	Onödigt
Liten kategori	Onödigt	Nödvändig	Nödvändig	Onödigt	Onödigt
Groupoid	Onödigt	Nödvändig	Nödvändig	Nödvändig	Onödigt
Magma	Nödvändig	Onödigt	Onödigt	Onödigt	Onödigt
Kvasigrupp	Nödvändig	Onödigt	Onödigt	Nödvändig	Onödigt
Enhetlig magma	Nödvändig	Onödigt	Nödvändig	Onödigt	Onödigt
Semigrupp	Nödvändig	Nödvändig	Onödigt	Onödigt	Onödigt
Slinga	Nödvändig	Onödigt	Nödvändig	Nödvändig	Onödigt
Monoid	Nödvändig	Nödvändig	Nödvändig	Onödigt	Onödigt
Grupp	Nödvändig	Nödvändig	Nödvändig	Nödvändig	Onödigt
Kommutativ monoid	Nödvändig	Nödvändig	Nödvändig	Onödigt	Nödvändig
Abelian grupp	Nödvändig	Nödvändig	Nödvändig	Nödvändig	Nödvändig
^α Stängningsaxiomet , som används av många källor och definieras på olika sätt , är likvärdigt.

En magma $(S, • )$ , med $x, y, u, z$ ∈ $S$ , kallas

Medial: Om den uppfyller identiteten $xy • uz \equiv xu • yz$
Vänster semimedial: Om den uppfyller identiteten $xx • yz \equiv xy • xz$
Höger semimedial: Om den uppfyller identiteten $yz • xx \equiv yx • zx$
Semimedial: Om den är både vänster och höger semimedial
Vänsterdistributiv: Om den uppfyller identiteten $x • yz \equiv xy • xz$
Högerdistributiv: Om den uppfyller identiteten $yz • x \equiv yx • zx$
Autodistributiv: Om den är både vänster- och högerdistributiv
Kommutativ: Om den uppfyller identiteten $xy \equiv yx$
Idempotent: Om den uppfyller identiteten $xx \equiv x$
Unipotent: Om den uppfyller identiteterna $xx • y \equiv x • xy$ och $x • xyy \equiv Om den Om$; den uppfyller identiteten $xx \equiv yy$
Nollpotent: uppfyller identiteterna $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$
Alternativt
Kraftassociativ: Om submagman som genereras av något element är associativ
Flexibel: om $xy • x \equiv x • yx$
En semigrupp , eller associativ: Om den uppfyller identiteten $x • yz \equiv xy • z$
A left unar: Om den uppfyller identiteten $xy \equiv xz$
A höger unar: Om den uppfyller identiteten $yx \equiv zx$
Halvgrupp med nollmultiplikation, eller nollhalvgrupp: Om den uppfyller identiteten $xy \equiv uv$
Unital: Om den har ett identitetselement
Vänster- annullerande: Om, för alla $x, y, z$ , relation $xy = xz$ antyder $y = z$
Högerkansellerande: Om, för alla $x, y, z$ , relation $yx = zx$ antyder $y = z$
Cancellativ: Om den är både höger- och vänsterkansellerande
En halvgrupp med vänster nollor: Om det är en halvgrupp och den uppfyller identiteten $xy \equiv x$
En semigrupp med högra nollor: Om det är en semigrupp och den uppfyller identiteten $yx \equiv x$
Trimedial: Om någon trippel av (inte nödvändigtvis distinkta) element genererar en medial submagma
Entropisk: Om det är en homomorf bild av en medial annullering magma .

Kategori av magma

Kategorin av magma, betecknad Mag , är kategorin vars föremål är magma och vars morfismer är magmahomomorfismer . Kategorin Mag har direkta produkter , och det finns en inklusionsfunktion : Set → Med ↪ Mag som triviala magma, med operationer givna av projektion $x T y = y$ .

En viktig egenskap är att en injektiv endomorfism kan utökas till en automorfism av en magma- förlängning , bara kogränsen för ( konstant sekvens av) endomorfismen .

Eftersom singeltonen $({*}, *)$ är det terminala objektet för Mag , och eftersom Mag är algebraisk , är Mag spetsig och komplett .

Se även

Magma kategori
Universal algebra
Magma datoralgebrasystem , uppkallat efter föremålet för denna artikel.
Kommutativ magma
Algebraiska strukturer vars axiom alla är identiteter
Groupoid algebra
Hall set

Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Magma" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Groupoid" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Fri magma" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
Weisstein, Eric W. "Groupoid" . MathWorld .

Vidare läsning

Bruck, Richard Hubert (1971), A survey of binary systems (3:e upplagan), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3