Schur-Horns sats

Inom matematiken , särskilt linjär algebra , karakteriserar Schur-Horn-satsen , uppkallad efter Issai Schur och Alfred Horn , diagonalen av en hermitisk matris med givna egenvärden . Det har inspirerat till undersökningar och betydande generaliseringar i inställningen av symplektisk geometri . Några viktiga generaliseringar är Kostants konvexitetssats , Atiyah–Guillemin–Sternbergs konvexitetssats, Kirwans konvexitetssats.

Påstående

Schur-Horns sats — Sats. Låt $d_{1},\dots ,d_{N}$ och $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N }$ vara två sekvenser av reella tal ordnade i en icke-ökande ordning. Det finns en hermitisk matris med diagonala värden $d_{1},\dots ,d_{N}$ (i den här ordningen, som börjar med $d_{1}$ vid uppe till vänster) och egenvärden $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}$ om och endast om

$$\sum _{i=1}^{n}d_{i}\leq \sum _{i=1 }^{n}\lambda _{i}\qquad n=1,\dots ,N$$

och

$$\sum _{i=1}^{N}d_{i}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}.$$

Ojämlikheterna ovan kan alternativt skrivas:

$${\begin{alignedat}{7}d_{1}&\;\leq \;&&\lambda _{1}\\[0.3ex]d_{2}+d_{1}&\;\leq &&\lambda _{1}+\lambda _{2}\\[0.3ex]\vdots &\;\leq &&\vdots \\[0.3ex]d_{N-1}+\cdots +d_{2} +d_{1}&\;\leq &&\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{N-1}\\[0.3ex]d_{N}+d_{N -1}+\cdots +d_{2}+d_{1}&\;=&&\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{N-1}+\lambda _ {N}.\\[0.3ex]\end{aligned}}$$

Schur-Horns sats kan därför återges mer kortfattat och på ren engelska:

Schur–Horns sats : Givet eventuella icke-ökande reella sekvenser av önskade diagonala element $d_{1}\geq \cdots \geq d_{N}$ och önskade egenvärden $\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N},$ det finns en hermitisk matris med dessa egenvärden och diagonala element om och endast om dessa två sekvenser har samma summa och för varje möjligt heltal $n,$ summan av de första $n$ önskade diagonala elementen överstiger aldrig summan av de första $n$ önskade egenvärdena.

Reformation som tillåter oordnade diagonaler och egenvärden

Även om denna sats kräver att $d_{1}\geq \cdots \geq d_{N}$ och $\lambda _{1}\geq \ cdots \geq \lambda _{N}$ är icke-ökande, är det möjligt att omformulera denna sats utan dessa antaganden.

Vi börjar med antagandet $\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}.$ Den vänstra sidan av satsens karaktärisering (det vill säga "det finns en hermitisk matris med dessa egenvärden och diagonala element") beror på i ordningen för de önskade diagonala elementen $d_{1},\dots ,d_{N}$ (eftersom att ändra deras ordning skulle ändra den hermitiska matrisen vars existens är ifrågasatt) men det gör det inte beror på ordningen för de önskade egenvärdena $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}.$

På den högra högra sidan av karaktäriseringen är endast värdena för $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}$ beroende av antagandet $\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}.$ Lägg märke till att detta antagande innebär att uttrycket $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}$ är bara notation för summan av de $n$ största önskade egenvärdena. Att ersätta uttrycket $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}$ med denna skrivna ekvivalent gör antagandet $\lambda _ {1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}$ helt onödigt:

Schur–Horns sats : Givet alla $N$ önskade reella egenvärden och en icke-ökande reell sekvens av önskade diagonala element $d_{1}\geq \cdots \geq d_{ N},$ det finns en hermitisk matris med dessa egenvärden och diagonala element om och endast om dessa två sekvenser har samma summa och för varje möjligt heltal n , {\ $n,}$ summan av de första ${\displaystyle n$ önskade diagonala element överstiger aldrig summan av de $n$ största önskade egenvärdena.

Permutationspolytop genererad av en vektor

Permutationspolytopen genererad av $tilde {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{ n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ \ betecknad med ${\mathcal {K}}_{\tilde {x}}$ definieras som det konvexa skrovet av uppsättningen $\{(x_{\pi (1)},x_{\pi (2)},\ldots ,x_{\pi (n)})\in \mathbb {R} ^{n}:\pi \in S_{n}\}.$ Här betecknar ${\displaystyle S_{n}} den$ symmetriska gruppen på $\{1,2,\ldots ,n\}.$ Med andra ord, permutationspolytopen genererad av $(x_{1},\dots ,x_{n })$ är det konvexa skrovet för uppsättningen av alla punkter i $\mathbb {R} ^{n}$ som kan erhållas genom att omordna koordinaterna för $(x_{1},\dots ,x_{n}).$ Permutationspolytopen för $(1,1,2),$ till exempel är det konvexa skrovet av uppsättningen $\{(1,1,2),(1,2,1), (2,1,1)\},$ vilket i detta fall är den heldragna (fyllda) triangeln vars hörn är de tre punkterna i denna mängd. Lägg särskilt märke till att omarrangering av koordinaterna för $(x_{1},\dots ,x_{n})$ inte ändrar den resulterande permutationspolytopen; med andra ord, om en punkt ${\tilde {y}}$ kan erhållas från ${\tilde {x}}=(x_{ 1},\dots ,x_{n})$ genom att ordna om dess koordinater, sedan ${\mathcal {K}}_{\tilde {y}}={\mathcal {K}}_{\tilde {x}}.$

$\mathbb {R} ^{n}.$ karakteriserar permutationspolytopen för en vektor i

Lemma — Om $x_{1}\geq \cdots \geq x_{n},$ och $y_{1}\geq \cdots \geq y_{n},$ har samma summa $x_{1}+\cdots +x_{n}=y_{1}+\ cdots +y_{n},$ då är följande påståenden likvärdiga:

1. ${\tilde {y}}:=(y_{1},\cdots ,y_{n})\i {\mathcal {K}}_{\tilde {x}}.$
2. $y_{1}\leq x_{1},$ och $y_{1}+y_{2}\leq x_{ 1}+x_{2},$ och $\ldots ,$ och $y_{ 1}+y_{2}+\cdots +y_{n-1}\leq x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}$
3. Det finns en sekvens av punkter ${\tilde {x}}_{1},\dots ,{\tilde {x}}_{n}$ i ${\mathcal {K}}_{\tilde {x}},$ som börjar med ${\tilde {x}}_{1}={\tilde {x}}$ och slutar med ${\tilde {x}}_{n}={\tilde {y}}$ så att ${\tilde {x}}_{k+1}=t{\tilde {x}}_{k}+(1-t)\tau ({\tilde {x_ {k}}})$ för varje $k$ i $\{1,2,\ldots ,n-1\},$ någon transponering $\tau$ i $S_{n},$ och några $t$ i $[0,1],$ beroende på $k.$

Omformulering av Schur-Horns sats

Med tanke på motsvarigheten mellan (i) och (ii) i det ovan nämnda lemmat kan man omformulera teoremet på följande sätt.

Sats. Låt $d_{1},\dots ,d_{N}$ och $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N }$ vara reella tal. Det finns en hermitisk matris med diagonala poster $d_{1},\dots ,d_{N}$ och egenvärden $\lambda _{1}, \dots ,\lambda _{N}$ om och endast om vektorn $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ finns i permutationspolytopen som genereras av $(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}).$

Observera att i denna formulering behöver man inte lägga någon ordning på inmatningarna av vektorerna $d_{1},\dots ,d_{N}$ och $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}.$

Bevis för Schur-Horns sats

Låt $A=(a_{jk})$ vara en $n\times n$ Hermitisk matris med egenvärden $\ {\lambda _{i}\}_{i=1}^{n},$ räknat med multiplicitet. Beteckna diagonalen för $A$ med ${\tilde {a}},$ tänkt som en vektor i $\mathbb {R} ^{n},$ och vektorn $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$ av ${\tilde {\lambda }}.$ Låt $\Lambda$ vara den diagonala matrisen som har $\lambda _{1},\lambda _{ 2},\ldots ,\lambda _{n}$ på sin diagonal.

( $\Rightarrow$ ) $A$ kan skrivas i formen $U\Lambda U^{-1},$ där $U$ är en enhetlig matris. Sedan

$$a_{ii}=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|u_{ij}|^{2},\;i=1,2,\ldots ,n.$$

Låt $S=(s_{ij})$ vara matrisen definierad av $s_{ij}=|u_{ij}|^{2}.$ Eftersom $U$ är en enhetlig matris är $S$ en dubbelstokastisk matris och vi har ${\tilde {\lambda }}.}$ S Genom Birkhoff–von Neumann-satsen kan $S$ skrivas som en konvex kombination av permutationsmatriser. Således ${\tilde {a}}$ i permutationspolytopen som genereras av ${\tilde {\lambda }}.$ Detta bevisar Schurs teorem.

( $\Leftarrow$ ) Om ${\tilde {a}}$ förekommer som diagonalen för en hermitisk matris med egenvärden $\{\lambda _ {i}\}_{i=1}^{n},$ sedan $t{\tilde {a}}+(1-t)\ tau ({\tilde {a}})$ förekommer också som diagonalen för någon hermitisk matris med samma uppsättning egenvärden, för varje transponering $\tau$ i $S_{n}.$ Man kan bevisa det på följande sätt.

Låt $\xi$ vara ett komplext tal av modul $1$ så att ${\overline {\xi a_{jk}}}=- \xi a_{jk}$ och $U$ är en enhetlig matris med $\xi {\sqrt {t}},{\sqrt {t}}$ i ${ \displaystyle j,j}$ respektive $k,k$ poster, $-{\sqrt {1-t}},\xi {\sqrt { 1-t}}$ vid $j,k$ respektive $k,j$ -posterna, $1$ vid alla diagonala poster förutom ${\ displaystyle j,j}$ och $k,k,$ och $0$ vid alla andra poster. Då har $UAU^{-1}$$ta_{jj}+(1-t)a_{kk}$ vid $j,j$ post, $(1-t)a_{jj}+ta_{kk}$ vid ${\ displaystyle k,k}$ -posten, och $a_{ll}$ vid $l,l$ -posten där $l\neq j,k.$ Låt $\tau$ vara transponeringen av $\{1,2,\dots ,n\}$ som växlar $j$ och $k.$

är diagonalen för $UAU^{-1}}$$t{\tilde {a}}+(1-t)\tau ({\tilde {a}}).$

$\Lambda$ är en hermitisk matris med egenvärden $\{\lambda _{i}\}_{i=1}^{n}.$ Genom att använda ekvivalensen av (i) och (iii) i lemmat som nämns ovan, ser vi att vilken vektor som helst i permutationen polytop genererad av $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}),$ förekommer som diagonalen av en hermitisk matris med de föreskrivna egenvärdena. Detta bevisar Horns teorem.

Symplektiskt geometriperspektiv

Schur-Horn-satsen kan ses som en följd av Atiyah-Guillemin-Sternbergs konvexitetssats på följande sätt. Låt ${\mathcal {U}}(n)$ beteckna gruppen av $n\ gånger n$ enhetliga matriser. Dess Lie-algebra, betecknad med ${\mathfrak {u}}(n),$ är uppsättningen av sned-Hermitiska matriser. Man kan identifiera det dubbla utrymmet ${\mathfrak {u}}(n)^{*}$ med mängden hermitiska matriser ${\mathcal {H}}( n)$ via den linjära isomorfismen $\Psi :{\mathcal {H}}(n)\högerpil {\mathfrak {u}}(n)^{* }$ definieras av ${\displaystyle \Psi (A)(B)=\mathrm {tr} (iAB)$ för ${\displaystyle A\in {\mathcal {H}}(n),B\in {\mathfrak {u}}(n).} Den enhetliga$ gruppen ${\mathcal {U}}( n)$ verkar på ${\mathcal {H}}(n)$ genom konjugation och verkar på ${\mathfrak {u}}(n)^{*}$ av coadjoint action . Under dessa åtgärder $\Psi$ en ${\mathcal {U}}(n)$ -ekvivariant karta dvs. för varje $U\in { \mathcal {U}}(n)$ följande diagram pendlar,

Låt ${\tilde {\lambda }}=(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\ lambda _{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ och $\Lambda \in {\mathcal {H}}(n)$ betecknar diagonalmatrisen med givna poster av ${\tilde {\lambda }}.$ Låt ${\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}$ beteckna omloppsbanan för $\Lambda$ under ${\mathcal {U}}(n)$ -åtgärd dvs konjugation. Under ${\mathcal {U}}(n)$ -ekvivariant isomorfism $\Psi ,$ kan den symplektiska strukturen på motsvarande coadjoint-bana föras till ${\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}.$ Således är ${\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}$ ett Hamiltonsk ${\mathcal {U}}(n)$ -grenrör.

Låt $\mathbb {T}$ beteckna Cartan-undergruppen av ${\mathcal {U}}(n)$ som består av diagonala komplexa matriser med diagonala poster med modul $1.$ Lie-algebra ${\mathfrak {t}}$ av $\mathbb {T}$ består av diagonala skev-hermitiska matriser och det dubbla rummet ${\mathfrak {t }}^{*}$ består av diagonala hermitiska matriser, under isomorfismen $\Psi .$ Med andra ord, ${\mathfrak {t}}$ består av diagonala matriser med rent imaginära poster och ${\mathfrak {t}}^{*}$ består av av diagonala matriser med riktiga poster. Inklusionskartan ${\mathfrak {t}}\hookrightarrow {\mathfrak {u}}(n)$ inducerar en karta ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}(n)\cong {\mathfrak {u}}(n)^{*}\rightarrow {\mathfrak {t}}^{*},} som$ projicerar en matris $A$ till den diagonala matrisen med samma diagonala poster som $A.$ Mängden ${\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}$ är ett Hamiltonskt $\mathbb {T}$ -grenrör, och begränsningen av $\Phi$ till denna uppsättning är en ögonblickskarta för denna åtgärd.

Enligt Atiyah–Guillemin–Sternbergs sats är $\Phi ({\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }})$ en konvex polytop. En matris $A\in {\mathcal {H}}(n)$ är fixerad under konjugering av varje element i $\mathbb {T}$ om och endast om ${\ visningsstil A}$ är diagonal. De enda diagonala matriserna i ${\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}$ är de med diagonala poster $\lambda _ {1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ i någon ordning. Således genererar dessa matriser den konvexa polytopen $\Phi ({\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}).$ Detta är exakt påståendet i Schur-Horns sats.

Anteckningar

• Schur, Issai , Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie , Sitzungsber. Berl. Matematik. Ges. 22 (1923), 9–20.
• Horn, Alfred , Dubbelstokastiska matriser och diagonalen av en rotationsmatris, American Journal of Mathematics 76 (1954), 620–630.
• Kadison, RV ; Pedersen, GK, Medel och konvexa kombinationer av enhetsoperatorer, Math. Scand. 57 (1985), 249-266.
• Kadison, RV , Pythagoras teorem: I. The finita case , Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 99 nr. 7 (2002):4178–4184 (elektronisk)

externa länkar

• MathWorld
• Terry Tao : 254A, not 3a: Egenvärden och summor av hermitiska matriser
• Sheela Devadas, Peter J. Haine, Keaton Stubis: The Schur-Horn Theorem