Zonal sfärisk funktion

Inom matematiken är en zonal sfärisk funktion eller ofta bara sfärisk funktion en funktion på en lokalt kompakt grupp G med kompakt undergrupp K (ofta en maximal kompakt undergrupp ) som uppstår som matriskoefficienten för en K -invariant vektor i en irreducibel representation av G . Nyckelexemplen är matriskoefficienterna för den sfäriska huvudserien , de irreducibla representationerna som uppträder i sönderdelningen av den enhetliga representationen av G på L ² ( G / K ). I detta fall genereras kommutanten av G av algebra av biinvarianta funktioner på G med avseende på K som verkar genom höger faltning . Det är kommutativt om G / K dessutom är ett symmetriskt utrymme , till exempel när G är en sammankopplad semisenkel Lie-grupp med ändligt centrum och K är en maximal kompakt undergrupp. Matriskoefficienterna för den sfäriska huvudserien beskriver exakt spektrumet av motsvarande C*-algebra som genereras av de biinvarianta funktionerna av kompakt stöd, ofta kallad en Hecke-algebra . Spektrum för den kommutativa Banach *-algebra för biinvarianta L ¹ funktioner är större; när G är en semisenkel Lie-grupp med maximal kompakt undergrupp K , kommer ytterligare tecken från matriskoefficienter för den komplementära serien , erhållna genom analytisk fortsättning av den sfäriska huvudserien.

Zonala sfäriska funktioner har explicit bestämts för verkliga semisimpla grupper av Harish-Chandra . För speciella linjära grupper upptäcktes de oberoende av Israel Gelfand och Mark Naimark . För komplexa grupper förenklas teorin avsevärt, eftersom G är komplexiseringen av K , och formlerna är relaterade till analytiska fortsättningar av Weyl-teckenformeln på K . Den abstrakta funktionella analytiska teorin om zonala sfäriska funktioner utvecklades först av Roger Godement . Bortsett från deras gruppteoretiska tolkning, tillhandahåller de zonsfäriska funktionerna för en halvenkel Lie-grupp G också en uppsättning samtidiga egenfunktioner för den naturliga verkan av mitten av den universella omslutande algebra av G på L ² ( G / K ), som differentialoperatorer på det symmetriska utrymmet G / K . För semisenkla p-adiska Lie-grupper utvecklades teorin om zonala sfäriska funktioner och Hecke-algebras först av Satake och Ian G. Macdonald . Analogerna av Plancherel-satsen och Fourier-inversionsformeln i denna inställning generaliserar egenfunktionsexpansionerna av Mehler, Weyl och Fock för singulära vanliga differentialekvationer : de erhölls i full generalitet på 1960-talet i termer av Harish-Chandras c-funktion .

Namnet "zonsfärisk funktion" kommer från fallet när G är SO(3, R ) som verkar på en 2-sfär och K är undergruppen som fixerar en punkt: i detta fall kan de zonsfäriska funktionerna betraktas som vissa funktioner på sfär invariant under rotation kring en fast axel.

Definitioner

Se även: Hecke algebra av en lokalt kompakt grupp

Låt G vara en lokalt kompakt unimodulär topologisk grupp och K en kompakt undergrupp och låt H ₁ = L ² ( G / K ). Således medger H _{1 en} enhetlig representation π av G genom vänster translation. Detta är en underrepresentation av den reguljära representationen, eftersom om H = L ² ( G ) med vänster och höger reguljära representationer λ och ρ av G och P är den ortogonala projektionen

$P=\int _{K}\rho (k)\,dk$

från H till H ₁ så kan H ₁ naturligt identifieras med PH med verkan av G som ges av begränsningen av λ.

Å andra sidan av von Neumanns kommutationssats

$\lambda (G)^{\prime }=\rho (G)^{\prime \prime },$

där S' betecknar kommutanten för en uppsättning operatorer S , så att

$\pi (G)^{\prime }=P\rho (G)^{\prime \prime }P.$

Således genereras kommutanten av π som en von Neumann-algebra av operatorer

$P\rho (f)P=\int _{G}f(g)(P\rho (g) )P)\,dg$

där f är en kontinuerlig funktion av kompakt stöd på G .

Men P ρ( f ) P är bara begränsningen av ρ( F ) till H ₁ , där

$F(g)=\int _{K}\int _{K}f(kgk^{\prime }) \,dk\,dk^{\prime }$

är den K -biinvarianta kontinuerliga funktionen av kompakt stöd som erhålls genom att medelvärdesberäkning av f med K på båda sidor.

Sålunda genereras kommutanten av π av begränsningen av operatorerna ρ( F ) med F i Cc ( K \ G / K ) _, de K -biinvarianta kontinuerliga funktionerna för kompakt stöd på G .

Dessa funktioner bildar en * algebra under faltning med involution

$F^{*}(g)={\overline {F(g^{-1})}},$

kallas ofta Hecke-algebra för paret ( G , K ).

Låt A ( K \ G / K ) beteckna C*-algebra som genereras av operatorerna ρ( F ) på H ₁ .

Paret ( G , K ) sägs vara ett Gelfand-par om en, och därmed alla, av följande algebror är kommutativa :

• $\pi (G)^{\prime }$
• $C_{c}(K\backslash G/K)$
• $A(K\backslash G/K).$

₀ Eftersom A ( K \ G / K ) är en kommutativ C* algebra , har den enligt Gelfand–Naimarks sats formen C ( X ), där X är det lokalt kompakta rummet av normkontinuerliga * homomorfismer av A ( K \ G / K ) till C.

En konkret realisering av *-homomorfismerna i X som K -biinvarianta enhetligt bundna funktioner på G erhålls enligt följande.

På grund av uppskattningen

$\|\pi (F)\|\leq \int _{G}|F(g)|\,dg\equiv \|F\|_{1},$

representationen π av C _c ( K \ G / K ) i A ( K \ G / K ) sträcker sig genom kontinuitet till L ¹ ( K \ G / K ), * algebra för K - biinvarianta integrerbara funktioner. Bilden bildar en tät * subalgebra av A ( K \ G / K ). Begränsningen av en * homomorfism χ kontinuerlig för operatornormen är också kontinuerlig för normen ||·|| ₁ . Eftersom Banach-rymddualen av L ¹ är L ^∞ , följer det att

$\chi (\pi (F))=\int _{G}F(g)h(g)\, dg,$

för någon unik enhetligt bunden K -biinvariant funktion h på G . Dessa funktioner h är exakt de zonsfäriska funktionerna för paret ( G , K ).

Egenskaper

En zonsfärisk funktion h har följande egenskaper:

1. h är jämnt kontinuerlig på G
2. $h(x)h(y)=\int _{K}h(xky)\,dk\,\,(x,y\in G).$
3. h (1) =1 (normalisering)
4. h är en positiv definitiv funktion på G
5. f * h är proportionell mot h för alla f i C _c ( K \ G / K ).

Dessa är lätta konsekvenser av det faktum att den avgränsade linjära funktionella χ definierad av h är en homomorfism. Egenskaperna 2, 3 och 4 eller egenskaperna 3, 4 och 5 karakteriserar zonsfäriska funktioner. En mer allmän klass av zonsfäriska funktioner kan erhållas genom att ta bort positiv definititet från villkoren, men för dessa funktioner finns det inte längre något samband med enhetsrepresentationer . För semisenkla Lie-grupper finns det ytterligare en karakterisering som egenfunktioner för invarianta differentialoperatorer på G / K (se nedan).

I själva verket, som ett specialfall av Gelfand–Naimark–Segal-konstruktionen , finns det en-en-överensstämmelse mellan irreducerbara representationer σ av G med en enhetsvektor v fixerad av K och zonala sfäriska funktioner h given av

$h(g)=(\sigma (g)v,v).$

Sådana irreducerbara representationer beskrivs ofta som att de har klass ett . De är just de irreducerbara representationerna som krävs för att bryta ner den inducerade representationen π på H ₁ . Varje representation σ sträcker sig unikt genom kontinuitet till A ( K \ G / K ), så att varje zonal sfärisk funktion uppfyller

$\left|\int _{G}f(g)h(g)\,dg\right|\leq \|\pi (f)\|$

för f i A ( K \ G / K ). Dessutom, eftersom kommutanten π( G )' är kommutativ, finns det ett unikt sannolikhetsmått μ på rymden av * homomorfismer X så att

$\int _{G}|f(g)|^{2}\,dg=\int _{X}|\chi (\pi (f))|^{2}\,d\mu ( \chi ).$

μ kallas Plancherelmåttet . Eftersom π( G )' är mitten av von Neumann-algebra som genereras av G , ger den också måttet associerat med den direkta integralnedbrytningen av H ₁ i termer av de irreducerbara representationerna σ _χ .

Gelfand parar

Se även: Gelfand-par

Om G är en sammankopplad Lie-grupp , så har G , tack vare arbetet av Cartan , Malcev , Iwasawa och Chevalley , en maximal kompakt undergrupp , unik upp till konjugering. I detta fall K kopplad och kvoten G / K är diffeomorf till ett euklidiskt rum. När G dessutom är semisenkel kan detta ses direkt med hjälp av Cartan-nedbrytningen associerad med det symmetriska utrymmet G / K , en generalisering av den polära nedbrytningen av inverterbara matriser. Faktum är att om τ är den associerade period två automorfism av G med fixpunkt undergrupp K , då

$G=P\cdot K,$

var

$P=\{g\in G|\tau (g)=g^{-1}\}.$

Under den exponentiella kartan är P diffeomorf till -1 egenrymden för τ i Lie - algebra av G. Eftersom τ bevarar K , inducerar det en automorfism av Hecke-algebra C _c ( K \ G / K ). Å andra sidan, om F ligger i C _c ( K \ G / K ), då

F (τ g ) = F ( g ⁻¹ ),

så att τ inducerar en anti-automorfism, eftersom inversion gör det. Därför, när G är halvenkelt,

• Hecke-algebra är kommutativ
• ( G , K ) är ett Gelfand-par.

Mer generellt ger samma argument följande kriterium för Gelfand för att ( G , K ) ska vara ett Gelfand-par:

• G är en unimodulär lokalt kompakt grupp;
• K är en kompakt undergrupp som uppstår som fixpunkterna för en period två automorfism τ av G ;
• G = K · P (inte nödvändigtvis en direkt produkt), där P definieras enligt ovan.

De två viktigaste exemplen som omfattas av detta är när:

• G är en kompakt sammankopplad semisenkel Lie-grupp med τ en period två automorfism;
• G är en halvdirekt produkt $A\rtimes K$ , med A en lokalt kompakt abelian grupp utan 2-torsion och τ( a · k )= k · a ⁻¹ för a i A och k i K .

De tre fallen täcker de tre typerna av symmetriska utrymmen G / K :

1. Icke-kompakt typ , när K är en maximal kompakt undergrupp av en icke-kompakt reell halvenkel Lie-grupp G ;
2. Kompakt typ , när K är fixpunktsundergruppen av en period två automorfism av en kompakt halvenkel Lie-grupp G ;
3. Euklidisk typ , när A är ett ändligt dimensionellt euklidiskt utrymme med en ortogonal verkan av K .

Cartan–Helgasons sats

Låt G vara en kompakt halvenkel sammankopplad och enkelt sammankopplad Lie-grupp och τ en period två automorfism av ett G med fixpunktsundergrupp K = G ^τ . I detta fall är K en sammankopplad kompakt Lie-grupp. Låt dessutom T vara en maximal torus av G invariant under τ, så att T $\cap$ P är en maximal torus i P , och sätt

$S=K\cap T=T^{\tau }.$

S är den direkta produkten av en torus och en elementär abelisk 2-grupp .

1929 hittade Élie Cartan en regel för att bestämma sönderdelningen av L ² ( G / K ) till den direkta summan av finita dimensionella irreducible representationer av G , vilket bevisades rigoröst först 1970 av Sigurdur Helgason . Eftersom kommutanten av G på L ² ( G / K ) är kommutativ, visas varje irreducerbar representation med multiplicitet ett. Genom Frobenius reciprocitet för kompakta grupper är de irreducibla representationerna V som förekommer just de som tillåter en icke-noll vektor fixerad med K .

Från representationsteorin för kompakta semisimpla grupper klassificeras irreducibla representationer av G efter deras högsta vikt . Detta specificeras av en homomorfism av den maximala torusen T till T .

Cartan –Helgason-satsen säger det

de irreducerbara representationerna av G som tillåter en vektor som inte är noll fixerad av K är exakt de med högsta vikter som motsvarar homomorfismer triviala på S .

Motsvarande irreducerbara representationer kallas sfäriska representationer .

Satsen kan bevisas med hjälp av Iwasawa-sönderdelningen :

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}},$

där ${\mathfrak {g}}$ , ${\displaystyle {\mathfrak {k}}} ,$ en $\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ är komplexiseringarna av Lie-algebran för G , K , A = T $\cap$ P och

${\mathfrak {n}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}_{\alpha },$

summeras över alla egenrum för T in ${\mathfrak {g}}$ som motsvarar positiva rötter α som inte är fixerade med τ.

₀₀₀ Låt V vara en sfärisk representation med högst vikt vektor v och K -fixerad vektor v _K . Eftersom v är en egenvektor till den lösbara Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {p}}} ,$ antyder Poincaré –Birkhoff–Witt-satsen att K -modulen som genereras av v är hela V . Om Q är den ortogonala projektionen på de fixerade punkterna av K i V som erhålls genom att medelvärde över G med avseende på Haarmåttet , följer det att

$\displaystyle {v_{K}=cQv_{0}}$

₀₀ för någon konstant som inte är noll c . Eftersom v _K är fixerad av S och v är en egenvektor för S måste subgruppen S faktiskt fixa v , en ekvivalent form av trivialitetsvillkoret på S .

₀ Omvänt om v är fixerad med S , då kan det visas att matriskoefficienten

$\displaystyle {f(g)=(gv_{0},v_{0})}$

₀₀₀ är icke-negativ på K . Eftersom f (1) > 0, följer det att ( Qv , v ) > 0 och därmed att Qv är en vektor som inte är noll fixerad med K .

Harish-Chandras formel

Om G är en icke-kompakt semisenkel Lie-grupp, verkar dess maximala kompakta undergrupp K genom konjugering på komponenten P i Cartan-nedbrytningen . Om A är en maximal Abelisk undergrupp av G som finns i P , så är A diffeomorf till dess Lie-algebra under den exponentiella kartan och, som en ytterligare generalisering av den polära nedbrytningen av matriser, är varje element i P konjugerat under K till ett element av A , så att

G = KAK .

Det finns också en associerad Iwasawa-nedbrytning

G = KAN ,

där N är en sluten nilpotent undergrupp, diffeomorf till dess Lie-algebra under den exponentiella kartan och normaliserad med A . Således S = AN en sluten lösbar undergrupp av G , den halvdirekta produkten av N med A , och G = KS .

Om α i Hom( A , T ) är ett tecken av A , så sträcker sig α till ett tecken av S , genom att definiera det som trivialt på N . Det finns en motsvarande enhetlig inducerad representation σ av G på L ² ( G / S ) = L ² ( K ), en så kallad (sfärisk) huvudserierepresentation .

Denna representation kan uttryckligen beskrivas enligt följande. Till skillnad från G och K är den lösbara Lie-gruppen S inte unimodulär. Låt dx beteckna vänster invariant Haar mäta på S och Δ _S den modulära funktionen av S . Sedan

$\int _{G}f(g)\,dg=\int _{S}\int _{K}f(x\cdot k)\,dx\,dk=\int _{S}\ int _{K}f(k\cdot x)\Delta _{S}(x)\,dx\,dk.$

Den huvudsakliga serierepresentationen σ realiseras på L ² ( K ) as

$(\sigma (g)\xi )(k)=\alpha ^{\prime }(g^{-1}k)^{-1}\,\xi (U(g^{-1}k)),$

var

$g=U(g)\cdot X(g)$

är Iwasawa-nedbrytningen av g med U ( g ) i K och X ( g ) i S och

$\alpha ^{\prime }(kx)=\Delta _{S}(x)^{1/2}\alpha (x)$

för k i K och x i S .

Representationen σ är irreducerbar, så att om v betecknar konstantfunktionen 1 på K , fixerad med K ,

$\varphi _{\alpha }(g)=(\sigma (g)v,v)$

definierar en zonsfärisk funktion av G .

Att beräkna den inre produkten ovan leder till Harish-Chandras formel för den zonala sfäriska funktionen

$\varphi _{\alpha }(g)=\int _{K}\alpha ^{\prime }(gk)^{ -1}\,dk$

som en integral över K .

Harish-Chandra bevisade att dessa zonsfäriska funktioner förbrukar karaktärerna i C*-algebra som genereras av Cc ( K \ G / K ) som verkar genom höger faltning på L ² ( G / K ₎ . Han visade också att två olika tecken α och β ger samma zonsfäriska funktion om och endast om α = β· s , där s är i Weyl-gruppen i A

$W(A)=N_{K}(A)/C_{K}(A),$

kvoten av normaliseraren för A i K med dess centraliserare , en finit reflektionsgrupp .

Det kan också verifieras direkt att denna formel definierar en zonal sfärisk funktion, utan att använda representationsteori. Beviset för generella semisenkla Lie-grupper att varje zonformel uppstår på detta sätt kräver en detaljerad studie av G - invarianta differentialoperatorer på G / K och deras samtidiga egenfunktioner (se nedan). När det gäller komplexa halvenkla grupper insåg Harish-Chandra och Felix Berezin oberoende av varandra att formeln förenklade avsevärt och kunde bevisas mer direkt.

De återstående positiv-definita zonsfäriska funktionerna ges av Harish-Chandras formel med α i Hom( A , C *) istället för Hom( A , T ). Endast vissa α är tillåtna och motsvarande irreducerbara representationer uppstår som analytiska fortsättningar av den sfäriska huvudserien. Denna så kallade " komplementära serie " studerades först av Bargmann (1947) för G = SL(2, R ) och av Harish-Chandra (1947) och Gelfand & Naimark (1947) för G = SL(2, C ). Därefter på 1960-talet utvecklades konstruktionen av en kompletterande serie genom analytisk fortsättning av den sfäriska huvudserien systematiskt för generella semisimpla Lie-grupper av Ray Kunze, Elias Stein och Bertram Kostant . Eftersom dessa irreducibla representationer inte är härdade , krävs de vanligtvis inte för harmonisk analys på G (eller G / K ).

Egenfunktioner

Harish-Chandra bevisade att zonsfäriska funktioner kan karakteriseras som de normaliserade positiva definitiva K -invarianta funktionerna på G / K som är egenfunktioner till D ( G / K ), algebra för invarianta differentialoperatorer på G . Denna algebra verkar på G / K och pendlar med G: s naturliga verkan genom vänsteröversättning. Det kan identifieras med subalgebra av den universella omslutande algebra av G fixerad under adjoint verkan av K . När det gäller kommutanten av G på L ² ( G / K ) och motsvarande Hecke-algebra, är denna algebra av operatorer kommutativ ; det är faktiskt en subalgebra av algebra av mätbara operatorer anslutna till kommutanten π( G )', en Abelian von Neumann-algebra. Som Harish-Chandra bevisade, är det isomorft till algebra av W ( A )-invarianta polynom på Lie-algebra av A , som i sig är en polynomring enligt Chevalley-Shephard-Todd-satsen om polynominvarianter av ändliga reflektionsgrupper . Den enklaste invarianta differentialoperatorn på G / K är den laplaciska operatorn ; upp till ett tecken är denna operator bara bilden under π av Casimir-operatorn i mitten av den universella omslutande algebra av G .

Således är en normaliserad positiv definitiv K -biinvariant funktion f på G en zonal sfärisk funktion om och endast om det för varje D i D ( G / K ) finns en konstant λ _D så att

$\displaystyle \pi (D)f=\lambda _{D}f,$

dvs f är en samtidig egenfunktion för operatorerna π( D ).

Om ψ är en zonal sfärisk funktion, då, betraktad som en funktion på G / K , är det en egenfunktion till Laplacian där, en elliptisk differentialoperator med reella analytiska koefficienter. Genom analytisk elliptisk regularitet är ψ en verklig analytisk funktion på G / K , och därmed G.

Harish-Chandra använde dessa fakta om strukturen hos de invarianta operatorerna för att bevisa att hans formel gav alla zonala sfäriska funktioner för verkliga halvenkla Lie-grupper. I själva verket innebär kommutativiteten hos kommutanten att de samtidiga egenrymden i algebra av invarianta differentialoperatorer alla har dimension ett; och polynomstrukturen hos denna algebra tvingar de samtidiga egenvärdena att vara exakt de som redan är associerade med Harish-Chandras formel.

Exempel: SL(2,C)

Se även: SL(2,C) ; Representationer för Lorentz-gruppen ; och spektralteori för vanliga differentialekvationer

Gruppen G = SL(2, C ) är komplexiseringen av den kompakta Lie-gruppen K = SU(2) och den dubbla täckningen av Lorentz-gruppen . De oändligt dimensionella representationerna av Lorentz-gruppen studerades först av Dirac 1945, som övervägde de diskreta serierepresentationerna, som han kallade expansorer . En systematisk studie togs upp kort därefter av Harish-Chandra, Gelfand–Naimark och Bargmann. De irreducibla representationerna av klass ett, motsvarande de zonala sfäriska funktionerna, kan enkelt bestämmas med hjälp av den radiella komponenten av den Laplacian-operatorn .

Faktum är att varje unimodulärt komplex 2×2 matris g medger en unik polär nedbrytning g = pv med v enhetlig och p positiv. I sin tur p = uau *, med u enhetlig och a en diagonal matris med positiva poster. Alltså g = uaw med w = u * v , så att varje K -biinvariant funktion på G motsvarar en funktion av diagonalmatrisen

$a={\begin{pmatrix}e^{r/2}&0\\0&e^{-r/2}\end{pmatrix}},$

invariant under Weyl-gruppen. Genom att identifiera G / K med hyperboliskt 3-mellanrum, motsvarar de zonala hyperboliska funktionerna ψ radiella funktioner som är egenfunktioner till Laplacian. Men i termer av den radiella koordinaten r ges Laplacian av

$L=-\partial _{r}^{2}-2\coth r\partial _{r}.$

Om du ställer in f ( r ) = sinh ( r )·ψ( r ), följer det att f är en udda funktion av r och en egenfunktion av $\partial _{r}^{2}$ .

Därav

$\varphi (r)={\sin(\ell r) \over \ell \sinh r}$

där $\ell$ är verklig.

⁰ Det finns en liknande elementär behandling för de generaliserade Lorentz-grupperna SO( N ,1) i Takahashi (1963) och Faraut & Korányi (1994) (kom ihåg att SO (3,1) = SL(2, C ) / ±I).

Komplext fodral

Om G är en komplex semisenkel Lie-grupp, är det komplexiseringen av dess maximala kompakta undergrupp K . Om ${\mathfrak {g}}$ och ${\mathfrak {k}}$ är deras Lie-algebror, då

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {k}}.$

Låt T vara en maximal torus i K med Lie-algebra ${\mathfrak {t}}$ . Sedan

$A=\exp i{\mathfrak {t}},\,\,P=\exp i{\mathfrak {k}}.$

Låta

$W=N_{K}(T)/T$

vara Weyl-gruppen av T i K . Återkallelsetecken i Hom( T , T ) kallas vikter och kan identifieras med element i viktgittret Λ i Hom( ${\mathfrak {t}}$ , R ) = ${\mathfrak {t}}^{*}$ . Det finns en naturlig ordning på vikter och varje finitdimensionell irreducerbar representation (π, V ) av K har en unik högsta vikt λ. Vikterna för den adjoint representationen av K på ${\mathfrak {k}}\ominus {\mathfrak {t}}$ kallas rötter och ρ används för att beteckna halva summan av de positiva rötterna α, Weyls teckenformel hävdar att för z = exp X i T

$\displaystyle \chi _{\lambda }(e^{X})\ ekvivalent {\rm {Tr}}\,\pi (z)=A_{\lambda +\rho }(e^{X})/A_{\rho }(e^{X}),$

där, för μ i ${\mathfrak {t}}^{*}$ , A _μ betecknar antisymmetriseringen

$\displaystyle A_{\mu }(e^{X})=\summa _{s\in W} \varepsilon (s)e^{i\mu (sX)},$

och e betecknar teckenkaraktären för den finita reflektionsgruppen W .

Weyls nämnarformel uttrycker nämnaren A _ρ som en produkt:

$\displaystyle A_{\rho }(e^{X})=e^{i \rho (X)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-i\alpha (X)}),$

där produkten ligger över de positiva rötterna.

Weyls dimensionsformel hävdar det

$\displaystyle \chi _{\lambda }(1)\equiv {\rm {dim}}\,V={\prod _{\alpha >0}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}.$

där den inre produkten på ${\mathfrak {t}}^{*}$ är den som är associerad med Killing-formen på ${\mathfrak {k}}$ .

Nu

• varje irreducerbar representation av K sträcker sig holomorft till komplexifieringen G
• varje irreducerbart tecken χ _λ ( k ) i K sträcker sig holomorft till komplexifieringen av K och ${\mathfrak {t}}^{*}$ .
• för varje λ i Hom( A , T ) = $i{\mathfrak {t}}^{*}$ finns det en zonsfärisk funktion φ _λ .

Berezin -Harish-Chandra-formeln hävdar att för X i $i{\mathfrak {t}}$

$\varphi _{\lambda }(e^{X})={\chi _{\lambda }(e^{X}) \over \chi _{\lambda }(1)}.$

Med andra ord:

• de zonsfäriska funktionerna på en komplex halvenkel Lie-grupp ges genom analytisk fortsättning av formeln för de normaliserade tecknen.

Ett av de enklaste bevisen för denna formel involverar den radiella komponenten på A av Laplacian på G , ett bevis formellt parallellt med Helgasons omarbetning av Freudenthals klassiska bevis för Weyl-teckenformeln, med hjälp av den radiella komponenten på T av Laplacian på K. .

I det senare fallet kan klassfunktionerna på K identifieras med W -invarianta funktioner på T . Den radiella komponenten av Δ _K på T är bara uttrycket för begränsningen av Δ _K till W -invarianta funktioner på T , där den ges av formeln

$\displaystyle \Delta _{K}=h^{-1}\circ \Delta _{T}\circ h+\|\rho \|^{2},$

var

$\displaystyle h(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})$

för X i ${\mathfrak {t}}$ . Om χ är ett tecken med högst vikt λ, följer det att φ = h ·χ uppfyller

$\Delta _{T}\varphi =(\|\lambda +\rho \|^{2}-\|\rho \|^{2})\varphi .$

Således för varje vikt μ med Fourierkoefficient som inte är noll i φ,

$\displaystyle \|\lambda +\rho \|^{2}=\|\mu +\rho \|^{2}.$

Freudenthals klassiska argument visar att μ + ρ måste ha formen s (λ + ρ) för vissa s i W , så teckenformeln följer av antisymmetrin i φ.

På liknande sätt kan K - biinvarianta funktioner på G identifieras med W ( A )-invarianta funktioner på A. Den radiella komponenten av Δ _G på A är bara uttrycket för begränsningen av Δ _G till W ( A )-invarianta funktioner på A . Det ges av formeln

$\displaystyle \Delta _{G}=H^{-1}\circ \Delta _{A}\circ H-\|\ rho \|^{2},$

var

$\displaystyle H(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})$

för X i $i{\mathfrak {t}}$ .

Berezin-Harish-Chandra-formeln för en zonal sfärisk funktion φ kan fastställas genom att introducera den antisymmetriska funktionen

$\displaystyle f=H\cdot \varphi ,$

som är en egenfunktion till Laplacian Δ _A . Eftersom K genereras av kopior av undergrupper som är homomorfa bilder av SU(2) som motsvarar enkla rötter , genereras dess komplexisering G av motsvarande homomorfa bilder av SL(2, C ). Formeln för zonsfäriska funktioner för SL(2, C ) antyder att f är en periodisk funktion på $i{\mathfrak {t}}$ med avseende på något subgitter . Antisymmetri under Weyl-gruppen och Freudenthals argument innebär återigen att ψ måste ha den angivna formen upp till en multiplikativ konstant, som kan bestämmas med Weyl-dimensionsformeln.

Exempel: SL(2,R)

Se även: SL(2,R) ; Representationsteori för SL2(R) ; och spektralteori för vanliga differentialekvationer

Teorin om zonala sfäriska funktioner för SL(2, R ) har sitt ursprung i Mehlers arbete 1881 om hyperbolisk geometri. Han upptäckte analogen till Plancherel-satsen, som återupptäcktes av Fock 1943. Den motsvarande egenfunktionsexpansionen kallas Mehler-Fock-transformen . Det sattes redan på en fast grund 1910 av Hermann Weyls viktiga arbete om spektralteorin om vanliga differentialekvationer . Den radiella delen av Laplacian leder i detta fall till en hypergeometrisk differentialekvation , vars teori behandlades i detalj av Weyl. Weyls tillvägagångssätt generaliserades därefter av Harish-Chandra för att studera zonsfäriska funktioner och motsvarande Plancherel-sats för mer generella semisimpla Lie-grupper. Efter Diracs arbete med de diskreta serierepresentationerna av SL(2, R ) , utvecklades den allmänna teorin om enhetliga irreducerbara representationer av SL(2, R ) oberoende av Bargmann, Harish-Chandra och Gelfand-Naimark. De irreducibla representationerna av klass ett, eller motsvarande teorin om zonsfäriska funktioner, utgör ett viktigt specialfall av denna teori.

Gruppen G = SL(2, R ) är en dubbel täckning av den 3-dimensionella Lorentz-gruppen SO(2,1), symmetrigruppen för det hyperboliska planet med dess Poincaré-metriska . Den agerar genom Möbius-transformationer . Det övre halvplanet kan identifieras med enhetsskivan genom Cayley-transformen . Under denna identifiering G identifierad med gruppen SU(1,1), som också agerar genom Möbius-transformationer. Eftersom handlingen är transitiv kan båda utrymmena identifieras med G / K , där K = SO(2) . Måttet är invariant under G och den associerade Laplacian är G -invariant, vilket sammanfaller med bilden av Casimir-operatorn . I den övre halvplansmodellen ges Laplacian av formeln

$\displaystyle \Delta =-4y^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}).$

Om s är ett komplext tal och z = x + iy med y > 0, funktionen

$\displaystyle f_{s}(z)=y^{s}=\exp({s}\cdot \log y) ,$

är en egenfunktion till Δ:

$\displaystyle \Delta f_{s}=4s(1-s)f_{s}.$

Eftersom Δ pendlar med G , är varje vänsteröversättning av f _s också en egenfunktion med samma egenvärde. I synnerhet, medelvärde över K , funktionen

$\varphi _{s}(z)=\int _{K}f_{s}(k\cdot z)\,dk$

är en K -invariant egenfunktion av Δ på G / K . När

$\displaystyle s={1 \over 2}+i\tau ,$

med τ real ger dessa funktioner alla zonsfäriska funktioner på G . Som med Harish-Chandras mer allmänna formel för halvenkla Lie-grupper, är φ _s en zonsfärisk funktion eftersom det är matriskoefficienten som motsvarar en vektor fixerad av K i huvudserien . Olika argument finns tillgängliga för att bevisa att det inte finns några andra. Ett av de enklaste klassiska Lie-algebraiska argumenten är att notera att eftersom Δ är en elliptisk operator med analytiska koefficienter, är varje egenfunktion med analytisk elliptisk regularitet nödvändigtvis reell analytisk. Därför, om den zonala sfäriska funktionen motsvarar matriskoefficienten för en vektor v och representation σ, är vektorn v en analytisk vektor för G och

$\displaystyle (\sigma (e^{X})v,v)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sigma (X)^{n}v,v)/n!$

för X i $i{\mathfrak {t}}$ . Den infinitesimala formen av de irreducerbara enhetsrepresentationerna med en vektor fixerad med K utarbetades klassiskt av Bargmann. De motsvarar exakt huvudserien av SL(2, R ). Det följer att den zonala sfäriska funktionen motsvarar en huvudserierepresentation.

Ett annat klassiskt argument fortsätter genom att visa att på radiella funktioner har Laplacian formen

$\displaystyle \Delta =-\partial _{r}^{2}-\coth(r)\cdot \partial _{r},$

så att, som en funktion av r , den zonsfäriska funktionen φ( r ) måste uppfylla den ordinarie differentialekvationen

$\displaystyle \varphi ^{\prime \prime }+\coth r\,\varphi ^{\prime }=\alpha \,\varphi$

för någon konstant α. Ändringen av variabler t = sinh r omvandlar denna ekvation till den hypergeometriska differentialekvationen . Den allmänna lösningen i termer av Legendre funktioner av komplext index ges av

$\varphi (r)=P_({\rho } \cosh r)={1 \över 2\pi }\int _{0}^{2\pi }(\cosh r+\sinh r\,\cos \theta )^{\rho }\,d\theta ,$

där a = ρ(ρ+1). Ytterligare restriktioner för ρ åläggs av begränsning och positiv-definititet av den zonala sfäriska funktionen på G .

Det finns ytterligare ett tillvägagångssätt, tack vare Mogens Flensted-Jensen, som härleder egenskaperna för de zonsfäriska funktionerna på SL(2, R ), inklusive Plancherel-formeln, från motsvarande resultat för SL(2, C ), som är enkla konsekvenser av Plancherel-formeln och Fourier-inversionsformeln för R . Denna "metod för nedstigning" fungerar mer allmänt, vilket gör att resultat för en verklig semisenkel Lie-grupp kan härledas från motsvarande resultat för dess komplexisering.

Ytterligare vägbeskrivningar

• Teorin om zonfunktioner som inte nödvändigtvis är positivt-definita. Dessa ges av samma formler som ovan, men utan begränsningar för den komplexa parametern s eller ρ. De motsvarar icke-enhetliga representationer.
• Harish-Chandras egenfunktionsexpansion och inversionsformel för sfäriska funktioner . Detta är ett viktigt specialfall av hans Plancherel-sats för verkliga halvenkla Lie-grupper.
• Strukturen av Hecke algebra . Harish-Chandra och Godement bevisade att det, som faltningsalgebror, finns naturliga isomorfismer mellan C _c ^∞ ( K \ G / K ) och C _c ^∞ ( A ) ^W , subalgebrainvarianten under Weyl-gruppen. Detta är enkelt att fastställa för SL(2, R ).
• Sfäriska funktioner för euklidiska rörelsegrupper och kompakta Lie-grupper .
• Sfäriska funktioner för p-adiska Lie-grupper . Dessa studerades ingående av Satake och Macdonald . Deras studie, och den av de associerade Hecke-algebrerna, var ett av de första stegen i den omfattande representationsteorin för semisenkla p-adiska Lie-grupper, ett nyckelelement i Langlands- programmet .

Se även

• Plancherelsats för sfäriska funktioner
• Hecke algebra av en lokalt kompakt grupp
• Representationer av Lie-grupper
• Icke-kommutativ harmonisk analys
• Tempererad representation
• Positiv bestämd funktion på en grupp
• Symmetriskt utrymme
• Gelfand par

Källor

•   Bargmann, V. (1947), "Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group", Annals of Mathematics , 48 (3): 568–640, doi : 10.2307/1969129 , JSTOR 1969129
• Barnett, Adam; Smart, Nigel P. (2003), "Mental Poker revisited, in Cryptography and Coding", Lecture Notes in Computer Science , 2898 : 370–383, doi : 10.1007/978-3-540-40974-8_29
•   Bateman, Harry ; Erdélyi, Arthur (1953), Högre transcendentala funktioner, Vol. I (PDF) , McGraw–Hill, ISBN 0-07-019546-3
• Berezin, FA (1956a), "Операторы Лапласа на полупростых группах" [Laplace-operatorer på semisenkla grupper], Doklady Akademii Nauk SSSR , 107 : 9–12.
• Berezin, FA (1956b), "Representation of complex semisimple Lie groups in Banach space", Doklady Akademii Nauk SSSR , 110 : 897–900
• Brychkov, Yu A.; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Sfäriska funktioner" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Cartier, Pierre (1954–1955), Structure topologique des groupes de Lie généraux, Exposé nr. 22 (PDF) , Séminaire "Sophus Lie", vol. 1 .
•   Davies, EB (1990), Heat Kernels and Spectral Theory , Cambridge University Press, ISBN 0-521-40997-7
• Dieudonné, Jean (1977), Treatise on Analysis, Vol. V , Academic Press
•   Dieudonné, Jean (1978), Treatise on Analysis, Vol. VI , Academic Press, ISBN 0-12-215506-8
• Dirac, PAM (1945), "Unitary representations of the Lorentz group", Proceedings of the Royal Society A , 183 (994): 284–295, doi : 10.1098/rspa.1945.0003
•   Dixmier, Jacques (1996), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien (algèbres de von Neumann) , Les Grands Classiques Gauthier-Villars., Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-012-8
•    Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994), Analysis on symmetric cones , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, ISBN 0-19-853477-9 , MR 1446489 , Kapitel XIV.
• Flensted-Jensen, Mogens (1978), "Sfäriska funktioner hos en verklig semisimple Lie-grupp. En metod för reduktion till det komplexa fallet", J. Funct. Anal. , 30 : 106–146, doi : 10.1016/0022-1236(78)90058-7
• Gelfand, IM ; Naimark, MA (1947), "Unitary representations of the Lorentz group", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matta. 37 : 411-504
• Gelfand, IM ; Naimark, MA (1948), "An analogue of Plancherels theorem for the complex unimodular group", Doklady Akademii Nauk SSSR , 63 : 609–612
• Gelfand, IM ; Naimark, MA (1952), "Enhetsrepresentationer av den unimodulära gruppen som innehåller identitetsrepresentationen av den enhetliga undergruppen", Trudy Moscov. Matta. Obšč. 1 : 423-475
•   Godement, Roger (1952), "A theory of sfäriska funktioner. I", Transactions of the American Mathematical Society , 73 (3): 496–556, doi : 10.2307/1990805 , JSTOR 1990805
•   Goodman, Roe; Wallach, Nolan (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66348-2
• Harish-Chandra (1947), "Infinite irreducible representations of the Lorentz group", Proceedings of the Royal Society A , 189 (1018): 372–401, doi : 10.1098/rspa.1947.0047
•   Harish-Chandra (1954a), "Representationer av halvenkla lögngrupper. II", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 76 (1): 26–65, doi : 10.2307/1990743 , JSTOR 1990743
•   Harish-Chandra (1954b), "Representationer av halvenkla lögngrupper. III", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 76 (2): 234–253, doi : 10.2307/1990767 , JSTOR 1990767 (Förenkling av formel för komplexa semisimple Lie-grupper)
•    Harish-Chandra (1954c), "Plancherel-formeln för komplexa semisimple Lie-grupper", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 76 (3): 485–528, doi : 10.2307/1990793 , JSTOR 1990793 , PMID 16589034 (Andra bevis på formel för komplexa semisimpla Lie-grupper)
•     Harish-Chandra (1958), "Sfäriska funktioner på en semisimple Lie grupp I, II", Amer. J. Math. , 80 (2): 241–310, 553–613, doi : 10.2307/2372786 , JSTOR 2372786 , PMC 528464 , PMID 16590028 (Bestämning av plancherelmått)
•   Helgason, Sigurdur (1978), Differentialgeometri, Liegrupper och symmetriska utrymmen , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
•   Helgason, Sigurdur (1984), Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3 – via Internet Archive
•   Helgason, Sigurdur (2001), Differentialgeometri and symmetric spaces (reprint of 1962 edition) , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2735-9
• Hochschild, Gerhard P. (1965), The structure of Lie groups , Holden–Day
•   Hur, Roger; Tan, Eng-chye (1992), Non-abelian Harmonic Analysis: Applications of SL(2, R ) , Universitext, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97768-6
• Kostant, Bertram (1969), "Om förekomsten och irreducerbarheten av vissa serier av representationer", Bull. Amer. Matematik. Soc. , 75 (4): 627–642, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12235-4
• Kunze, Raymond A. ; Stein, Elias M. (1961), "Analytisk fortsättning på huvudserien", Bull. Amer. Matematik. Soc. , 67 (6): 593–596, doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10705-2
•   Lang, Serge (1985), SL(2, R ) , Graduate Texts in Mathematics, vol. 105, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96198-4
• Macdonald, Ian G. (1971), Spherical Functions on a Group of P-adic Type, Publ. Ramanujan Institute, vol. 2, University of Madras
•   Satake, I. (1963), "Teori om sfäriska funktioner på reduktiva algebraiska grupper över p-adiska fält", Publ . Matematik. IHES , 18 : 5–70, doi : 10.1007/bf02684781 , S2CID 4666554
• Stein, Elias M. (1970), "Analytisk fortsättning av grupprepresentationer", Advances in Mathematics , 4 (2): 172–207, doi : 10.1016/0001-8708(70)90022-8
• Takahashi, R. (1963), "Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés", Bull. Soc. Matematik. Frankrike , 91 : 289–433, doi : 10.24033/bsmf.1598
•   Wallach, Nolan (1973), Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces , Marcel Decker, ISBN 0-8247-6010-7
•   Wallach, Nolan (1988), Real Reductive Groups I , Academic Press, ISBN 0-12-732960-9 – via Internet Archive

externa länkar

• Casselman, William, Anteckningar om sfäriska funktioner (PDF)