Kartans nedbrytning

Inom matematiken är Cartan-nedbrytningen en nedbrytning av en halvenkel Lie-grupp eller Lie-algebra , som spelar en viktig roll i deras strukturteori och representationsteori . Det generaliserar den polära sönderdelningen eller singulära sönderdelningen av matriser. Dess historia kan spåras till 1880-talets arbete av Élie Cartan och Wilhelm Killing .

Cartan-involutioner på Lie-algebror

Låt vara en verklig halvenkel Lie-algebra och låt vara dess dödande form . En involution är en Lie algebra automorfism av vars kvadrat är lika med identiteten. En sådan involution kallas en Cartan-involution om är en positiv definitiv bilinjär form .

Två involutioner och anses likvärdiga om de skiljer sig endast genom en inre automorfism .

Varje verklig semisenkel Lie-algebra har en Cartan-involution, och alla två Cartan-involutioner är likvärdiga.

Exempel

  • En kartaninvolution på definieras av , där anger transponeringsmatrisen för .
  • Identitetskartan på är en involution. Det är den unika Cartan-involutionen av om och endast om Killing-formen av är negativ definitivt eller, på motsvarande sätt, om och endast om är Lie-algebra för en kompakt halvenkel Lie-grupp.
  • Låt vara komplexiseringen av en verklig semisenkel Lie-algebra , sedan komplex konjugation på är en involution på . Detta är Cartan-involutionen på om och endast om är Lie-algebra för en kompakt Lie-grupp.
  • Följande kartor är involutioner av Lie-algebra i den speciella enhetsgruppen SU(n) :
    1. Identitetsinvolutionen , vilket är den unika Cartan-involutionen i detta fall.
    2. Komplex konjugation , uttryckbar som .
    3. Om är udda, . Involutionerna (1), (2) och (3) är ekvivalenta, men inte ekvivalenta med identitetsinvolutionen eftersom .
    4. Om är jämn, finns det också .

Cartan par

Låt vara en involution på en Lie-algebra . Eftersom , har den linjära kartan de två egenvärdena . Om och betecknar egenrymden som motsvarar +1 respektive -1, då . Eftersom är en Lie-algebra-automorfism, finns Lie-parentesen för två av dess egenrum i det egenutrymme som motsvarar produkten av deras egenvärden. Det följer att

p och .

Således är en Lie-subalgebra, medan vilken subalgebra som helst av är kommutativ.

Omvänt, en sönderdelning med dessa extra egenskaper bestämmer en involution det vill säga och .

Ett sådant par kallas också ett Cartan-par av , och kallas ett symmetriskt par . Detta begrepp om ett Cartan-par här ska inte förväxlas med det distinkta begreppet som involverar den relativa Lie-algebra-kohomologin .

Nedbrytningen med en Cartan-involution kallas en Cartan-nedbrytning av . Det speciella med en Cartan-nedbrytning är att Killing-formen är negativ definit på och positiv definit på . Dessutom och ortogonala komplement till varandra med avseende på Killing-formen på .

Kartans sönderfall på Lie-gruppnivå

Låt vara en icke-kompakt halvenkel Lie-grupp och dess Lie-algebra. Låt vara en kartaninvolution på och låt vara det resulterande Cartan-paret. Låt vara den analytiska undergruppen av med Lie algebra . Sedan:

  • Det finns en Lie-gruppautomorfism med differential vid identiteten som uppfyller .
  • Undergruppen av element som fixeras av är ; i synnerhet en sluten undergrupp.
  • Mappningen ges av är en diffeomorfism .
  • Undergruppen är en maximal kompakt undergrupp av , närhelst mitten av G är ändlig.

Automorfismen kallas också för den globala Cartan-involutionen , och diffeomorfismen kallas den globala Cartan-nedbrytningen . Om vi ​​skriver säger detta att produktkartan är en diffeomorfism så .

För den allmänna linjära gruppen är en kartansk involution. [ förtydligande behövs ]

En förfining av Cartan-sönderdelningen för symmetriska utrymmen av kompakt eller icke-kompakt typ anger att de maximala Abeliska subalgebrorna i är unika upp till konjugation av . Dessutom,

där .

I det kompakta och icke-kompakta fallet innebär således den globala Cartan-nedbrytningen

Geometriskt är bilden av undergruppen i en helt geodetisk undergren.

Relation till polär nedbrytning

Betrakta med Cartan-involutionen . [ förtydligande behövs ] Då är den verkliga Lie-algebra för skevhet -symmetriska matriser, så att , medan är delrummet av symmetriska matriser. Således är den exponentiella kartan en diffeomorfism från till rymden av positiva bestämda matriser. Fram till denna exponentiella karta är den globala Cartan-nedbrytningen den polära nedbrytningen av en matris. Den polära nedbrytningen av en inverterbar matris är unik.

Se även

Anteckningar

  •    Helgason, Sigurdur (1978), Differentialgeometri, Lie groups, and symmetric spaces , Pure and Applied Mathematics, vol. 80, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7 , MR 0514561
  •    Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (red.). En historia om abstrakt algebra . Boston, MA: Birkhäuser. doi : 10.1007/978-0-8176-4685-1 . ISBN 978-0817646844 . MR 2347309 .
  •    Knapp, Anthony W. (2005) [1996]. Bas, Hyman ; Oesterlé, Joseph ; Alan, Weinstein (red.). Ligggrupper bortom en introduktion . Framsteg i matematik. Vol. 140 (andra upplagan). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5 . MR 1920389 .